มีกฎเกณฑ์บางประการสำหรับการเปรียบเทียบตัวเลข ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

เมื่อวานเทอร์โมมิเตอร์แสดงอุณหภูมิ 15˚ C และวันนี้แสดงอุณหภูมิ 20˚ C วันนี้อุ่นกว่าเมื่อวาน เลข 15 น้อยกว่า 20 เราเขียนได้ดังนี้ 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

ตอนนี้ให้พิจารณาอุณหภูมิติดลบ เมื่อวานอุณหภูมิ -12˚ C และวันนี้ -8˚ C วันนี้อากาศอบอุ่นกว่าเมื่อวาน ดังนั้นให้พิจารณาว่าเลข -12 น้อยกว่าเลข -8 บนเส้นพิกัดแนวนอน จุดที่มีค่า -12 จะอยู่ที่ด้านซ้ายของจุดที่มีค่า -8 เราสามารถเขียนได้ดังนี้: -12< -8.

ดังนั้น หากเราเปรียบเทียบตัวเลขโดยใช้เส้นพิกัดแนวนอนของตัวเลขสองตัว ตัวเลขที่เล็กกว่าคือตัวเลขที่มีภาพบนเส้นพิกัดอยู่ทางด้านซ้าย และตัวเลขที่ใหญ่กว่าคือตัวเลขที่มีภาพอยู่ทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น เรามี A > B และ C ในรูป แต่ B > C

บนเส้นพิกัด ตัวเลขบวกจะอยู่ทางด้านขวาของศูนย์ และจำนวนลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์ ทุกจำนวนบวกมีค่ามากกว่าศูนย์ และค่าลบทุกค่าจะน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นทุกจำนวนลบจะน้อยกว่าทุก จำนวนบวก

ดังนั้น สิ่งแรกที่คุณต้องใส่ใจเมื่อเปรียบเทียบตัวเลขก็คือ สัญญาณของตัวเลขที่เปรียบเทียบ จำนวนที่มีค่าลบ (ลบ) จะน้อยกว่าจำนวนบวกเสมอ

หากเราเปรียบเทียบจำนวนลบสองตัว เราต้องเปรียบเทียบโมดูลัสของพวกมัน: ตัวเลขที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะมากกว่า และตัวเลขที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น -7 และ -5 ตัวเลขเปรียบเทียบเป็นลบ เปรียบเทียบโมดูล 5 และ 7 7 มากกว่า 5 ดังนั้น -7 จึงน้อยกว่า -5 หากเราทำเครื่องหมายตัวเลขติดลบสองตัวบนเส้นพิกัด ตัวเลขที่น้อยกว่าจะอยู่ทางซ้าย และตัวเลขที่มากกว่าจะอยู่ทางขวา -7 อยู่ทางด้านซ้ายของ -5 ดังนั้น -7< -5.

การเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญ

ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวที่มีตัวเศษน้อยกว่าจะน้อยกว่า และตัวที่มีตัวเศษมากกว่าจะมากกว่า

คุณเปรียบเทียบเศษส่วนกับตัวส่วนเดียวกันได้เท่านั้น

อัลกอริทึมสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญ

1) หากเศษส่วนมีส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม ให้เริ่มการเปรียบเทียบ เศษส่วนที่มากกว่าคือตัวที่มีส่วนจำนวนเต็มมากกว่า หากเศษส่วนไม่มีส่วนจำนวนเต็มหรือเท่ากัน ให้ไปยังขั้นตอนถัดไป

2) ถ้าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันต้องนำมารวมกับตัวส่วนร่วม

3) เปรียบเทียบตัวเศษของเศษส่วน เศษส่วนที่มากกว่าคือตัวที่มีตัวเศษมากกว่า

โปรดทราบว่าเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็มจะมากกว่าเศษส่วนที่ไม่มีส่วนจำนวนเต็มเสมอ

การเปรียบเทียบทศนิยม

ทศนิยมสามารถเปรียบเทียบได้เฉพาะกับจำนวนหลัก (หลัก) ทางด้านขวาของจุดทศนิยมเท่านั้น

อัลกอริทึมการเปรียบเทียบทศนิยม

1) ให้ความสนใจกับจำนวนอักขระทางด้านขวาของเครื่องหมายจุลภาค ถ้าจำนวนหลักเท่ากัน ก็เริ่มเทียบกันได้เลย หากไม่ ให้เพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการในเศษส่วนทศนิยมตัวใดตัวหนึ่ง

2) เปรียบเทียบทศนิยมจากซ้ายไปขวา: จำนวนเต็มกับจำนวนเต็ม, สิบกับสิบ, ร้อยกับร้อย ฯลฯ

3) เศษส่วนที่มากกว่าจะเป็นส่วนที่ส่วนใดส่วนหนึ่งมากกว่าเศษส่วนอื่น (เราเริ่มการเปรียบเทียบกับจำนวนเต็ม: ถ้าส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนหนึ่งมากกว่า เศษส่วนทั้งหมดจะมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น ลองเปรียบเทียบทศนิยม:

1) เพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการในเศษส่วนแรกเพื่อทำให้จำนวนทศนิยมเท่ากัน

57.300 และ 57.321

2) เราเริ่มเปรียบเทียบจากซ้ายไปขวา:

จำนวนเต็มที่มีจำนวนเต็ม: 57 = 57;

สิบกับสิบ: 3 = 3;

ร้อยกับร้อย: 0< 2.

เนื่องจากหนึ่งในร้อยของเศษส่วนทศนิยมแรกกลายเป็นน้อยกว่า เศษส่วนทั้งหมดจะน้อยลง:

57,300 < 57,321

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

การเปรียบเทียบตัวเลขเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ง่ายและสนุกที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามต้องบอกว่ามันไม่ง่ายอย่างนั้น ตัวอย่างเช่น มีเพียงไม่กี่คนที่มีปัญหาในการเปรียบเทียบตัวเลขบวกเดี่ยวหรือสองหลัก

แต่ตัวเลขที่มีเครื่องหมายจำนวนมากทำให้เกิดปัญหาแล้ว คนมักจะหลงทางเมื่อเปรียบเทียบตัวเลขติดลบและจำไม่ได้ว่าจะเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวกับ สัญญาณต่างๆ. เราจะพยายามตอบคำถามเหล่านี้ทั้งหมด

กฎการเปรียบเทียบจำนวนบวก

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด - ด้วยตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายใด ๆ อยู่ข้างหน้านั่นคือตัวเลขที่เป็นบวก

• ก่อนอื่น จำไว้เสมอว่าจำนวนบวกทั้งหมดนั้น ตามคำจำกัดความแล้ว มากกว่าศูนย์ แม้ว่า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับจำนวนเศษส่วนที่ไม่มีจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 0.2 จะมากกว่าศูนย์ เนื่องจากบนเส้นพิกัด จุดที่ตรงกับมันยังคงเป็นส่วนเล็กๆ สองส่วนห่างจากศูนย์
• หากเรากำลังพูดถึงการเปรียบเทียบตัวเลขบวกสองตัวกับจำนวนอักขระจำนวนมาก คุณจะต้องเปรียบเทียบตัวเลขแต่ละหลัก ตัวอย่างเช่น 32 และ 33 หลักสิบสำหรับตัวเลขเหล่านี้เหมือนกัน แต่หมายเลข 33 มีขนาดใหญ่กว่าเพราะในหน่วยหลัก "3" มากกว่า "2"
• คุณเปรียบเทียบทศนิยมสองตำแหน่งอย่างไร ที่นี่คุณต้องดูส่วนจำนวนเต็มเป็นอันดับแรก - ตัวอย่างเช่น เศษส่วนของ 3.5 จะน้อยกว่า 4.6 เกิดอะไรขึ้นถ้าส่วนจำนวนเต็มเหมือนกัน แต่ตำแหน่งทศนิยมต่างกัน ในกรณีนี้ กฎสำหรับจำนวนเต็มจะมีผลบังคับใช้ - คุณต้องเปรียบเทียบเครื่องหมายด้วยตัวเลขจนกว่าคุณจะพบส่วนที่สิบ ส่วนที่ร้อย หลักพัน ตัวอย่างเช่น 4.86 มากกว่า 4.75 เนื่องจากแปดในสิบมากกว่าเจ็ด

การเปรียบเทียบจำนวนลบ

หากเรามีตัวเลข -a และ -c อยู่ในปัญหา และเราจำเป็นต้องพิจารณาว่าตัวเลขใดมีค่ามากกว่า กฎสากลก็จะมีผลบังคับใช้ ขั้นแรก ให้เขียนโมดูลของตัวเลขเหล่านี้ - |a| และ |c| - และนำมาเปรียบเทียบกัน จำนวนที่มีค่าโมดูลัสมากกว่าจะน้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับจำนวนลบ และในทางกลับกัน จำนวนที่มากกว่าจะเป็นจำนวนที่โมดูลัสน้อยกว่า

ถ้าคุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนลบกับจำนวนบวกล่ะ

กฎข้อเดียวเท่านั้นที่ใช้ได้ผลที่นี่ และเป็นกฎพื้นฐาน ตัวเลขที่เป็นบวกมักจะมากกว่าตัวเลขที่มีเครื่องหมายลบเสมอ ไม่ว่ามันจะเป็นอะไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น ตัวเลข "1" จะมากกว่าตัวเลข "-1458" เสมอ เพียงเพราะหน่วยอยู่ทางขวาของศูนย์บนเส้นพิกัด

คุณต้องจำไว้ว่าจำนวนลบใด ๆ จะน้อยกว่าศูนย์เสมอ

เราศึกษาจำนวนตรรกยะต่อไป ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีเปรียบเทียบ

จากบทเรียนที่แล้ว เราเรียนรู้ว่ายิ่งตัวเลขอยู่บนเส้นพิกัดทางขวามากเท่าไร ตัวเลขก็จะยิ่งมากเท่านั้น ดังนั้น ยิ่งตัวเลขอยู่ทางซ้ายบนเส้นพิกัดมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งมีขนาดเล็กเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากคุณเปรียบเทียบตัวเลข 4 กับ 1 คุณสามารถตอบได้ทันทีว่า 4 มากกว่า 1 นี่เป็นข้อความที่มีเหตุผลและทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนี้

หลักฐานคือเส้นพิกัด แสดงว่าสี่อยู่ทางด้านขวาของหน่วย

สำหรับกรณีนี้มีกฎที่คุณสามารถใช้ได้หากต้องการ ดูเหมือนว่านี้:

จากจำนวนบวกสองตัว จำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่าจะมากกว่า

ในการตอบคำถามว่าจำนวนใดมากกว่าและน้อยกว่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาโมดูลของตัวเลขเหล่านี้ เปรียบเทียบโมดูลเหล่านี้ แล้วตอบคำถาม

ตัวอย่างเช่น ลองเปรียบเทียบตัวเลข 4 กับ 1 ที่เหมือนกันโดยใช้กฎข้างต้น

ค้นหาโมดูลของตัวเลข:

|4| = 4

|1| = 1

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ:

4 > 1

เราตอบคำถาม:

4 > 1

สำหรับจำนวนลบ มีกฎอีกข้อหนึ่ง มีลักษณะดังนี้:

จากจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะมากกว่า

ตัวอย่างเช่น ลองเปรียบเทียบตัวเลข -3 กับ -1

ค้นหาโมดูลของตัวเลข

|−3| = 3

|−1| = 1

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ:

3 > 1

เราตอบคำถาม:

−3 < −1

อย่าสับสนระหว่างโมดูลัสของตัวเลขกับตัวของมันเอง ข้อผิดพลาดทั่วไปที่มือใหม่หลายคนทำ ตัวอย่างเช่น หากโมดูลัสของจำนวน -3 มากกว่าโมดูลัสของจำนวน -1 ไม่ได้หมายความว่าจำนวน -3 มากกว่าจำนวน -1

หมายเลข -3 น้อยกว่าหมายเลข -1 สามารถเข้าใจได้โดยใช้เส้นพิกัด

จะเห็นว่าเลข -3 อยู่ทางซ้ายมากกว่า -1 และเรารู้ว่ายิ่งชิดซ้ายมากเท่าไหร่

หากคุณเปรียบเทียบจำนวนลบกับจำนวนบวก คำตอบก็จะแนะนำตัวมันเอง จำนวนลบใด ๆ จะน้อยกว่าจำนวนบวกใด ๆ ตัวอย่างเช่น −4 น้อยกว่า 2

จะเห็นได้ว่า -4 อยู่ทางซ้ายมากกว่า 2 และเรารู้ว่า "ยิ่งชิดซ้ายยิ่งน้อย"

ก่อนอื่นคุณต้องดูสัญญาณของตัวเลข เครื่องหมายลบนำหน้าตัวเลขแสดงว่าจำนวนนั้นเป็นลบ หากไม่มีเครื่องหมายของตัวเลข แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นบวก แต่คุณสามารถจดไว้เพื่อความชัดเจน จำได้ว่านี่คือเครื่องหมายบวก

เราพิจารณาเป็นตัวอย่างจำนวนเต็มของรูปแบบ -4, -3 -1, 2 ไม่ยากในการเปรียบเทียบตัวเลขดังกล่าว รวมทั้งแสดงบนเส้นพิกัด

การเปรียบเทียบตัวเลขประเภทอื่นๆ เป็นเรื่องยากกว่ามาก เช่น เศษส่วน จำนวนคละ และทศนิยม ซึ่งบางค่าเป็นค่าลบ โดยหลักแล้ว คุณจะต้องใช้กฎ เพราะไม่สามารถแสดงตัวเลขดังกล่าวบนเส้นพิกัดได้อย่างถูกต้องเสมอไป ในบางกรณี อาจต้องใช้ตัวเลขเพื่อให้เปรียบเทียบและทำความเข้าใจได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ

ดังนั้น จำเป็นต้องเปรียบเทียบจำนวนลบกับจำนวนบวก จำนวนลบใด ๆ น้อยกว่าจำนวนบวกใด ๆ เลยตอบไปว่าน้อยกว่า

ตัวอย่าง 2

คุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนลบสองตัว จากจำนวนลบสองจำนวน ค่าที่มากกว่าคือจำนวนที่มีโมดูลัสน้อยกว่า

ค้นหาโมดูลของตัวเลข:

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ:

ตัวอย่างที่ 3เปรียบเทียบตัวเลข 2.34 กับ

คุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนบวกกับจำนวนลบ จำนวนบวกใดๆ มากกว่าจำนวนลบใดๆ จึงไม่เสียเวลาเราตอบได้ว่า 2.34 มีค่ามากกว่า

ตัวอย่างที่ 4เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับ

ค้นหาโมดูลของตัวเลข:

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ แต่ก่อนอื่น เรามาในรูปแบบที่เข้าใจกันก่อนดีกว่า เพื่อให้เปรียบเทียบได้ง่ายขึ้น กล่าวคือ เราจะแปลมันเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

ตามกฎของจำนวนลบสองตัวจำนวนที่มากกว่าคือจำนวนที่โมดูลัสน้อยกว่า ตรรกยะจึงมากกว่าเพราะว่าโมดูลัสของจำนวนน้อยกว่าโมดูลัสของจำนวน

ตัวอย่างที่ 5

คุณต้องการเปรียบเทียบศูนย์กับจำนวนลบ ศูนย์มากกว่าจำนวนลบใด ๆ ดังนั้นโดยไม่เสียเวลาเราตอบว่า 0 มากกว่า

ตัวอย่างที่ 6เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ 0 และ

จำเป็นต้องเปรียบเทียบศูนย์กับจำนวนบวก ศูนย์มีค่าน้อยกว่าจำนวนบวกใด ๆ ดังนั้นโดยไม่เสียเวลาเราตอบว่า 0 น้อยกว่า

ตัวอย่าง 7. เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ 4.53 และ 4.403

จำเป็นต้องเปรียบเทียบจำนวนบวกสองจำนวน จากจำนวนบวกสองตัว จำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่าจะมากกว่า

ลองทำจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมให้เท่ากันในเศษส่วนทั้งสอง ในการทำเช่นนี้ในส่วน 4.53 ให้เพิ่มศูนย์หนึ่งตัวที่ส่วนท้าย

ค้นหาโมดูลของตัวเลข

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ:

ตามกฎของจำนวนบวกสองตัว จำนวนที่มากกว่าคือจำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่า ดังนั้นจำนวนตรรกยะ 4.53 มากกว่า 4.403 เนื่องจากโมดูลัสของ 4.53 มากกว่าโมดูลัสของ 4.403

ตัวอย่างที่ 8เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะกับ

คุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนลบสองตัว จากจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะมากกว่า

ค้นหาโมดูลของตัวเลข:

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ แต่ก่อนอื่น เรามาดูในรูปแบบที่เข้าใจได้ง่ายเพื่อให้เปรียบเทียบได้ง่ายขึ้น กล่าวคือ เราจะแปลจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

ตามกฎของจำนวนลบสองตัวจำนวนที่มากกว่าคือจำนวนที่โมดูลัสน้อยกว่า ตรรกยะจึงมากกว่าเพราะว่าโมดูลัสของจำนวนน้อยกว่าโมดูลัสของจำนวน

การเปรียบเทียบทศนิยมทำได้ง่ายกว่าการเปรียบเทียบเศษส่วนร่วมและจำนวนคละ ในบางกรณี การดูส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนนั้น คุณสามารถตอบคำถามได้ทันทีว่าเศษส่วนใดที่มากกว่าและส่วนใดที่น้อยกว่า

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเปรียบเทียบโมดูลของส่วนจำนวนเต็ม นี้จะช่วยให้คุณตอบคำถามในปัญหาได้อย่างรวดเร็ว อย่างที่คุณทราบ ส่วนจำนวนเต็มในเศษส่วนทศนิยมมีน้ำหนักมากกว่าเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 9เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ 15.4 และ 2.1256

โมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน 15.4 มากกว่าโมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน 2.1256

ดังนั้นเศษ 15.4 จึงมากกว่าเศษส่วน 2.1256

15,4 > 2,1256

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราไม่ต้องใช้เวลาบวกศูนย์กับเศษส่วน 15.4 และเปรียบเทียบเศษส่วนที่ได้ผลลัพธ์เหมือนตัวเลขธรรมดา

154000 > 21256

กฎการเปรียบเทียบยังคงเหมือนเดิม ในกรณีของเรา เราเปรียบเทียบจำนวนบวก

ตัวอย่าง 10เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ -15.2 และ −0.152

คุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนลบสองตัว จากจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะมากกว่า แต่เราจะเปรียบเทียบเฉพาะโมดูลของส่วนจำนวนเต็ม

เราจะเห็นว่าโมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน -15.2 นั้นมากกว่าโมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน −0.152

ซึ่งหมายความว่าตรรกยะ −0.152 มากกว่า -15.2 เนื่องจากโมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของ −0.152 น้อยกว่าโมดูลัสของส่วนจำนวนเต็มของ -15.2

−0,152 > −15,2

ตัวอย่างที่ 11เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ −3.4 และ −3.7

คุณต้องการเปรียบเทียบจำนวนลบสองตัว จากจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจะมากกว่า แต่เราจะเปรียบเทียบเฉพาะโมดูลของชิ้นส่วนทั้งหมดเท่านั้น แต่ปัญหาคือว่ามอดูลีของจำนวนเต็มเท่ากัน:

ในกรณีนี้ คุณจะต้องใช้วิธีเดิม: ค้นหาโมดูลของจำนวนตรรกยะและเปรียบเทียบโมดูลเหล่านี้

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ:

ตามกฎของจำนวนลบสองตัวจำนวนที่มากกว่าคือจำนวนที่โมดูลัสน้อยกว่า ตรรกยะ −3.4 มากกว่า −3.7 เนื่องจากโมดูลัสของ −3.4 น้อยกว่าโมดูลัสของ −3.7

−3,4 > −3,7

ตัวอย่างที่ 12เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ 0,(3) และ

จำเป็นต้องเปรียบเทียบจำนวนบวกสองจำนวน และเปรียบเทียบเศษส่วนเป็นระยะกับเศษส่วนอย่างง่าย

ลองแปลเศษส่วนเป็นระยะ 0, (3) เป็นเศษส่วนธรรมดาแล้วเปรียบเทียบกับเศษส่วนกัน หลังจากแปลงเศษส่วนคาบ 0, (3) เป็นเศษส่วนธรรมดาแล้ว มันจะกลายเป็นเศษส่วน

ค้นหาโมดูลของตัวเลข:

เปรียบเทียบโมดูลที่พบ แต่ก่อนอื่น เรามาในรูปแบบที่เข้าใจกันก่อน เพื่อให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบ กล่าวคือ เราจะนำพวกเขาไปสู่ตัวส่วนร่วม:

ตามกฎของจำนวนบวกสองตัว จำนวนที่มากกว่าคือจำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่า ดังนั้นจำนวนตรรกยะจึงมากกว่า 0,(3) เนื่องจากโมดูลัสของจำนวนนั้นมากกว่าโมดูลัสของจำนวน 0,(3)

คุณชอบบทเรียนไหม
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่

เมื่อแก้สมการและอสมการ ตลอดจนปัญหาของโมดูล จำเป็นต้องหารากที่พบในเส้นจริง ดังที่คุณทราบ รากที่พบอาจแตกต่างกัน พวกเขาสามารถเป็นแบบนี้: หรือพวกเขาอาจเป็นแบบนี้:,.

ดังนั้น หากตัวเลขไม่สมเหตุสมผลแต่ไม่สมเหตุสมผล (ถ้าคุณลืมว่ามันคืออะไร ให้ดูในหัวข้อ) หรือเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน การวางบนเส้นจำนวนนั้นเป็นปัญหามาก นอกจากนี้ ไม่สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการสอบได้ และการคำนวณโดยประมาณไม่ได้ให้การรับประกัน 100% ว่าจำนวนหนึ่งจะน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่ง (จะเกิดอะไรขึ้นหากตัวเลขที่เปรียบเทียบมีความแตกต่างกันจะเป็นอย่างไร)

แน่นอน คุณรู้ว่าจำนวนบวกมากกว่าจำนวนลบเสมอ และถ้าเราแทนแกนตัวเลข เมื่อเปรียบเทียบ ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดจะตั้งอยู่ทางขวามือกว่าที่เล็กที่สุด: ; ; ฯลฯ

แต่มันมักจะง่ายเสมอ? ที่เส้นจำนวนที่เราทำเครื่องหมาย .

จะเปรียบเทียบกับตัวเลขได้อย่างไร? นั่นคือที่ถู...)

ในการเริ่มต้น เรามาคุยกันในแง่ทั่วไปเกี่ยวกับวิธีและสิ่งที่จะเปรียบเทียบกัน

สำคัญ: ควรทำการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง!นั่นคือ ในระหว่างการแปลง ไม่ควรคูณด้วยจำนวนลบ และ เป็นสิ่งต้องห้ามยกกำลังสองถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งเป็นค่าลบ

การเปรียบเทียบเศษส่วน

ดังนั้น เราต้องเปรียบเทียบเศษส่วนสองส่วน: และ

มีหลายตัวเลือกสำหรับวิธีการทำเช่นนี้

ตัวเลือกที่ 1 นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ลองเขียนเป็นเศษส่วนธรรมดากัน:

- (อย่างที่คุณเห็น ฉันยังลดตัวเลขและตัวส่วนด้วย)

ตอนนี้เราต้องเปรียบเทียบเศษส่วน:

ตอนนี้เราสามารถเปรียบเทียบต่อไปได้สองวิธี เราสามารถ:

1. แค่ลดทุกอย่างให้เป็นตัวส่วนร่วม โดยเสนอเศษส่วนทั้งสองว่าไม่เหมาะสม (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน):

   จำนวนใดมากกว่ากัน? ถูกแล้ว ตัวที่มีตัวเศษมากกว่า นั่นคือ ตัวแรก

2. “ทิ้ง” (สมมติว่าเราลบหนึ่งจากเศษส่วนแต่ละส่วนและอัตราส่วนของเศษส่วนต่อกันตามลำดับไม่มีการเปลี่ยนแปลง) และเราจะเปรียบเทียบเศษส่วน:

   นอกจากนี้เรายังนำพวกเขาไปสู่ตัวส่วนร่วม:

   เราได้ผลลัพธ์เหมือนเดิมทุกประการกับกรณีก่อนหน้านี้ - ตัวเลขแรกมากกว่าตัวที่สอง:

   เรามาเช็คกันด้วยว่าเราได้ลบหนึ่งอย่างถูกต้องหรือไม่? มาคำนวณความแตกต่างในตัวเศษในการคำนวณครั้งแรกและครั้งที่สอง:
   1)
   2)

เราจึงมาดูวิธีเปรียบเทียบเศษส่วน โดยนำมาเป็นตัวส่วนร่วม เรามาดูวิธีอื่นกันดีกว่า - เปรียบเทียบเศษส่วนโดยนำไปรวมกับ ... ตัวเศษ

ตัวเลือกที่ 2 การเปรียบเทียบเศษส่วนโดยการลดจำนวนลงเป็นตัวเศษร่วม

ใช่ ๆ. นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ที่โรงเรียน วิธีนี้ไม่ค่อยมีใครสอนให้ใครรู้ แต่บ่อยครั้งวิธีนี้สะดวกมาก เพื่อให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของมันอย่างรวดเร็ว ฉันจะถามคำถามเดียวกับคุณ - "ในกรณีใดที่ค่าเศษส่วนจะมากที่สุด" แน่นอน คุณจะพูดว่า "เมื่อตัวเศษมีขนาดใหญ่ที่สุด และตัวส่วนมีขนาดเล็กที่สุด"

เช่น คุณจะพูดว่า True? และถ้าเราต้องเปรียบเทียบเศษส่วนดังกล่าว: ฉันคิดว่าคุณจะใส่ป้ายอย่างถูกต้องทันทีเพราะในกรณีแรกพวกเขาจะแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และในส่วนที่สองเป็นทั้งหมดซึ่งหมายความว่าในกรณีที่สองชิ้นส่วนมีขนาดเล็กมากและตามลำดับ: . อย่างที่คุณเห็น ตัวส่วนต่างกันที่นี่ แต่ตัวเศษเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม เพื่อเปรียบเทียบเศษส่วนทั้งสองนี้ คุณไม่จำเป็นต้องหาตัวส่วนร่วม แม้ว่า ... หาและดูว่าเครื่องหมายเปรียบเทียบยังผิดอยู่หรือไม่?

แต่เครื่องหมายก็เหมือนกัน

กลับไปที่งานเดิมของเรา - เพื่อเปรียบเทียบและ เราจะเปรียบเทียบและ เรานำเศษส่วนเหล่านี้ไม่ใช่ตัวส่วนร่วม แต่ให้ตัวเศษร่วม สำหรับสิ่งนี้มันง่าย ตัวเศษและตัวส่วนคูณเศษส่วนแรกด้วย เราได้รับ:

และ. เศษส่วนใดใหญ่กว่า ถูกต้องคนแรก

ตัวเลือกที่ 3 การเปรียบเทียบเศษส่วนโดยใช้การลบ

จะเปรียบเทียบเศษส่วนโดยใช้การลบได้อย่างไร ใช่ง่ายมาก เราลบอีกอันจากเศษส่วนหนึ่ง หากผลลัพธ์เป็นบวก เศษส่วนแรก (ลดลง) จะมากกว่าส่วนที่สอง (ลบออก) และหากเป็นลบ ให้ในทางกลับกัน

ในกรณีของเรา ให้ลองลบเศษส่วนแรกออกจากส่วนที่สอง:

ตามที่คุณเข้าใจแล้ว เรายังแปลเป็นเศษส่วนธรรมดาและได้ผลลัพธ์เหมือนกัน - การแสดงออกของเราจะกลายเป็น:

นอกจากนี้ เรายังต้องหันไปใช้การลดลงเป็นตัวส่วนร่วม คำถามคืออย่างไร: ในวิธีแรก แปลงเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง หรือในวิธีที่สอง ราวกับว่า "ลบ" หน่วย? อย่างไรก็ตาม การกระทำนี้มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ดู:

ฉันชอบตัวเลือกที่สองมากกว่า เนื่องจากการคูณในตัวเศษเมื่อลดให้เหลือตัวส่วนร่วมจะง่ายขึ้นหลายเท่า

เรานำมาสู่ตัวส่วนร่วม:

สิ่งสำคัญที่นี่คือไม่ต้องสับสนเกี่ยวกับจำนวนและเราลบออกจากที่ใด ดูแนวทางการแก้ปัญหาอย่างระมัดระวังและอย่าสับสนกับสัญญาณโดยไม่ได้ตั้งใจ เราลบตัวแรกออกจากจำนวนที่สองและได้คำตอบที่เป็นลบ .. ถูกตัอง ตัวเลขแรกมากกว่าตัวที่สอง

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบเศษส่วน:

หยุด หยุด อย่ารีบเร่งที่จะนำตัวส่วนร่วมหรือการลบออก ดู: มันสามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้อย่างง่ายดาย มันจะเป็นเท่าไหร่? ใช่ไหม. อะไรจะมากขึ้น?

นี่เป็นอีกทางเลือกหนึ่ง - เปรียบเทียบเศษส่วนโดยลดเป็นทศนิยม

ตัวเลือกที่ 4 การเปรียบเทียบเศษส่วนโดยใช้การหาร

ใช่ ๆ. และมันก็เป็นไปได้เช่นกัน ตรรกะง่ายๆ คือ เมื่อเราหารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า เราจะได้จำนวนที่มากกว่าหนึ่งในคำตอบ และหากเราหารจำนวนที่น้อยกว่าด้วยจำนวนที่มากกว่า คำตอบจะอยู่ในช่วงจาก ถึง

เพื่อจำกฎข้อนี้ ให้เปรียบเทียบสองอันใดก็ได้ จำนวนเฉพาะตัวอย่างเช่น ผม คุณรู้อะไรเพิ่มเติมหรือไม่? ทีนี้มาหารกัน คำตอบของเราคือ ดังนั้นทฤษฎีนี้จึงถูกต้อง ถ้าเราหารด้วย สิ่งที่เราได้จะน้อยกว่าหนึ่ง ซึ่งจะเป็นการยืนยันว่าอันที่จริงแล้วน้อยกว่านั้น

ลองใช้กฎนี้กับเศษส่วนธรรมดากัน เปรียบเทียบ:

หารเศษส่วนแรกด้วยวินาที:

มาย่อกันทีละนิด

ผลลัพธ์ที่ได้น้อยกว่า ดังนั้นเงินปันผลจึงน้อยกว่าตัวหาร นั่นคือ:

เราได้วิเคราะห์ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วน อย่างที่คุณเห็นมี 5 คน:

• ลดลงเป็นตัวส่วนร่วม;
• การลดลงเป็นตัวเศษร่วม
• การลดรูปของเศษส่วนทศนิยม
• การลบ;
• แผนก.

พร้อมที่จะออกกำลังกาย? เปรียบเทียบเศษส่วนในวิธีที่ดีที่สุด:

มาเปรียบเทียบคำตอบกัน:

1. (- แปลงเป็นทศนิยม)
2. (หารเศษส่วนด้วยอีกเศษหนึ่งและลดลงด้วยตัวเศษและตัวส่วน)
3. (เลือกทั้งส่วนและเปรียบเทียบเศษส่วนตามหลักการตัวเศษเดียวกัน)
4. (หารเศษส่วนด้วยอีกเศษหนึ่งและลดลงด้วยตัวเศษและตัวส่วน)

2. การเปรียบเทียบองศา

ทีนี้ลองนึกภาพว่าเราต้องเปรียบเทียบไม่ใช่แค่ตัวเลข แต่นิพจน์ที่มีดีกรี ()

แน่นอนคุณสามารถใส่เครื่องหมาย:

ท้ายที่สุด หากเราแทนที่ดีกรีด้วยการคูณ เราจะได้:

จากตัวอย่างขนาดเล็กและดั้งเดิมนี้ กฎดังต่อไปนี้:

ทีนี้ลองเปรียบเทียบสิ่งต่อไปนี้: . คุณยังสามารถใส่เครื่องหมาย:

เพราะถ้าเราแทนที่การยกกำลังด้วยการคูณ...

โดยทั่วไปแล้วคุณเข้าใจทุกอย่างและไม่ยากเลย

ความยากจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อองศามีฐานและตัวชี้วัดต่างกันเท่านั้น ในกรณีนี้จำเป็นต้องพยายามนำมาเป็นพื้นฐานร่วมกัน ตัวอย่างเช่น:

แน่นอน คุณรู้ว่าสิ่งนี้ ดังนั้น นิพจน์จึงมีรูปแบบดังนี้:

เปิดวงเล็บและเปรียบเทียบสิ่งที่เกิดขึ้น:

กรณีพิเศษที่ค่อนข้างพิเศษคือเมื่อฐานของดีกรี () น้อยกว่าหนึ่ง

ถ้าตั้งแต่สององศาขึ้นไป อันที่มีตัวบ่งชี้น้อยกว่า

มาลองพิสูจน์กฎนี้กัน ปล่อยให้เป็น

มาแนะนำกันหน่อย ตัวเลขธรรมชาติเป็นความแตกต่างระหว่างและ.

ตรรกะใช่ไหม?

ทีนี้มาดูเงื่อนไขกัน - .

ตามลำดับ: . เพราะเหตุนี้, .

ตัวอย่างเช่น:

ตามที่คุณเข้าใจ เราได้พิจารณากรณีที่ฐานของพลังเท่ากัน ทีนี้มาดูกันว่าเมื่อใดที่ฐานอยู่ในช่วงตั้งแต่ ถึง แต่เลขชี้กำลังเท่ากัน ทุกอย่างง่ายมากที่นี่

จำไว้ว่าจะเปรียบเทียบสิ่งนี้กับตัวอย่างได้อย่างไร:

แน่นอนคุณคำนวณอย่างรวดเร็ว:

ดังนั้น เมื่อคุณพบปัญหาที่คล้ายคลึงกันในการเปรียบเทียบ ให้นึกถึงตัวอย่างง่ายๆ ที่คล้ายกันซึ่งคุณสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็ว และจากตัวอย่างนี้ ให้ใส่เครื่องหมายในรูปแบบที่ซับซ้อนกว่า

เมื่อทำการแปลง จำไว้ว่าถ้าคุณคูณ บวก ลบ หรือหาร การกระทำทั้งหมดจะต้องทำทั้งด้านซ้ายและด้านขวา (ถ้าคุณคูณด้วย คุณต้องคูณทั้งสอง)

นอกจากนี้ยังมีบางครั้งที่การยักย้ายถ่ายเทใด ๆ ก็ไม่มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น คุณต้องเปรียบเทียบ ใน กรณีนี้, การเพิ่มพลังนั้นไม่ยากนักและจัดเรียงสัญลักษณ์ตามสิ่งนี้:

มาฝึกกันเถอะ เปรียบเทียบองศา:

พร้อมเปรียบเทียบคำตอบแล้วหรือยัง? นั่นคือสิ่งที่ฉันทำ:

1. - เหมือนกับ
2. - เหมือนกับ
3. - เหมือนกับ
4. - เหมือนกับ

3. การเปรียบเทียบตัวเลขกับรูท

มาเริ่มกันที่รากคืออะไร? คุณจำรายการนี้ได้หรือไม่

รากของจำนวนจริงคือตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกัน

รากมีดีกรีเป็นคี่สำหรับจำนวนลบและบวกและ แม้แต่ราก- สำหรับบวกเท่านั้น

ค่าของรูทมักจะเป็นทศนิยมอนันต์ ซึ่งทำให้ยากต่อการคำนวณอย่างแม่นยำ ดังนั้นการเปรียบเทียบรูตจึงเป็นสิ่งสำคัญ

ถ้าลืมไปว่ามันคืออะไร กินกับอะไร -. หากคุณจำทุกอย่างได้ เรามาเรียนรู้การเปรียบเทียบรากทีละขั้นตอนกัน

สมมติว่าเราต้องเปรียบเทียบ:

เพื่อเปรียบเทียบรากทั้งสองนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณใดๆ เพียงแค่วิเคราะห์แนวคิดของ "ราก" เข้าใจสิ่งที่ฉันพูดถึง? ใช่ เกี่ยวกับสิ่งนี้ มิฉะนั้น มันสามารถเขียนเป็นกำลังสามของจำนวนหนึ่ง เท่ากับนิพจน์ราก

อะไรอีก? หรือ? แน่นอนว่าคุณสามารถเปรียบเทียบได้โดยไม่ยาก ยิ่งเราเพิ่มจำนวนเป็นกำลังมากเท่าใด ค่าก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้น. มาทำความเข้าใจกฎกัน

หากเลขชี้กำลังของรากเหมือนกัน (ในกรณีของเรา นี่คือ) จำเป็นต้องเปรียบเทียบนิพจน์ราก (และ) - ยิ่งจำนวนรูทมาก ค่าของรูทที่มีตัวบ่งชี้ที่เท่ากันก็จะยิ่งมากขึ้น

จำยาก? จากนั้นให้เก็บตัวอย่างไว้ในใจและ มากกว่านั้น?

เลขชี้กำลังของรากจะเท่ากัน เนื่องจากรากเป็นกำลังสอง นิพจน์รากของตัวเลขหนึ่งตัว () มากกว่าอีกตัวหนึ่ง () ซึ่งหมายความว่ากฎนั้นเป็นจริง

แต่ถ้านิพจน์รากศัพท์เหมือนกัน แต่ดีกรีของรากต่างกันล่ะ ตัวอย่างเช่น: .

เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อทำการแยกรากในระดับที่มากกว่า จะได้รับจำนวนที่น้อยกว่า ยกตัวอย่าง:

ระบุค่าของรูทแรกเป็น และค่าที่สอง - เป็น จากนั้น:

คุณสามารถเห็นได้โดยง่ายว่าควรมีมากกว่านั้นในสมการเหล่านี้ ดังนั้น:

หากนิพจน์รากเหมือนกัน(ในกรณีของเรา) และเลขชี้กำลังของรากต่างกัน(ในกรณีของเรานี่คือและ) จึงจำเป็นต้องเปรียบเทียบเลขชี้กำลัง(และ) - ยิ่งเลขชี้กำลังมาก นิพจน์ที่กำหนดก็จะยิ่งเล็กลง.

ลองเปรียบเทียบรากต่อไปนี้:

มาเปรียบเทียบผลลัพธ์กัน?

เราจัดการกับสิ่งนี้ได้สำเร็จ :) มีคำถามอีกประการหนึ่งว่า ถ้าเราทุกคนต่างกันจะเป็นยังไง? และดีกรี และการแสดงออกที่รุนแรง? ไม่ใช่ทุกอย่างจะยาก เราแค่ต้อง ... "กำจัด" ราก ใช่ ๆ. กำจัดมัน.)

ถ้าเรามีดีกรีและนิพจน์รุนแรงต่างกัน เราต้องหาตัวคูณร่วมน้อย (อ่านหัวข้อเกี่ยวกับ) สำหรับเลขชี้กำลังราก และเพิ่มนิพจน์ทั้งสองให้เป็นกำลังเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยที่น้อยที่สุด

ว่าเราทุกคนเป็นทั้งคำพูดและคำพูด นี่คือตัวอย่าง:

1. เราดูที่ตัวบ่งชี้ของราก - และ ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันคือ
2. ยกทั้งสองนิพจน์เป็นกำลัง:
3. มาแปลงนิพจน์และขยายวงเล็บ (รายละเอียดเพิ่มเติมในบท):
4. ให้เราพิจารณาสิ่งที่เราได้ทำและใส่เครื่องหมาย:

4. การเปรียบเทียบลอการิทึม

ดังนั้น อย่างช้าๆ แต่แน่นอน เราเข้าหาคำถามเปรียบเทียบลอการิทึม หากคุณจำไม่ได้ว่านี่คือสัตว์ชนิดใด เราขอแนะนำให้คุณอ่านทฤษฎีจากหัวข้อนี้ก่อน อ่าน? จากนั้นตอบคำถามสำคัญบางข้อ:

1. อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมคืออะไรและฐานของมันคืออะไร?
2. อะไรเป็นตัวกำหนดว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง?

หากคุณจำทุกอย่างและเรียนรู้ได้ดี - เริ่มกันเลย!

เพื่อเปรียบเทียบลอการิทึมกัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียง 3 เทคนิคเท่านั้น:

• ลดลงเป็นฐานเดียวกัน
• ชี้ไปที่อาร์กิวเมนต์เดียวกัน
• เปรียบเทียบกับตัวเลขที่สาม

อันดับแรก ให้ความสนใจกับฐานของลอการิทึม คุณจำได้ว่าถ้ามันน้อยกว่า ฟังก์ชันก็ลดลง และถ้ามันมากกว่า ฟังก์ชันก็จะลดลง นี่คือสิ่งที่การตัดสินของเราจะขึ้นอยู่กับ

พิจารณาเปรียบเทียบลอการิทึมที่ลดรูปแล้วให้เป็นฐานหรืออาร์กิวเมนต์เดียวกัน

ในการเริ่มต้น เรามาลดความซับซ้อนของปัญหากัน: ให้เปรียบเทียบลอการิทึม ความเท่าเทียมกัน. แล้ว:

1. ฟังก์ชัน เมื่อเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา จาก หมายถึง โดยนิยาม แล้ว (“การเปรียบเทียบโดยตรง”)
2. ตัวอย่าง:- ฐานเหมือนกัน ตามลำดับ เราเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์: , ดังนั้น:
3. ฟังก์ชัน at ลดลงตามช่วงเวลา จาก ซึ่งหมายความว่าตามคำจำกัดความ จากนั้น (“การเปรียบเทียบแบบย้อนกลับ”) - ฐานเหมือนกันตามลำดับเราเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์: อย่างไรก็ตามเครื่องหมายของลอการิทึมจะเป็น "ย้อนกลับ" เนื่องจากฟังก์ชันลดลง: .

พิจารณากรณีที่ฐานต่างกัน แต่ข้อโต้แย้งเหมือนกัน

1. ฐานมีขนาดใหญ่กว่า
   • . ในกรณีนี้ เราใช้ "การเปรียบเทียบแบบย้อนกลับ" ตัวอย่างเช่น: - อาร์กิวเมนต์เหมือนกันและ เราเปรียบเทียบฐาน: อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายของลอการิทึมจะเป็น "ย้อนกลับ":
2. ฐาน a อยู่ระหว่าง
   • . ในกรณีนี้ เราใช้ "การเปรียบเทียบโดยตรง" ตัวอย่างเช่น:
   • . ในกรณีนี้ เราใช้ "การเปรียบเทียบแบบย้อนกลับ" ตัวอย่างเช่น:

มาเขียนทุกอย่างในรูปแบบตารางทั่วไปกัน:

, โดยที่	, โดยที่

ตามที่คุณเข้าใจแล้ว เมื่อเปรียบเทียบลอการิทึม เราจำเป็นต้องนำฐานเดียวกันหรืออาร์กิวเมนต์ เรามาที่ฐานเดียวกันโดยใช้สูตรสำหรับการย้ายจากฐานหนึ่งไปยังฐานอื่น

คุณยังสามารถเปรียบเทียบลอการิทึมกับตัวเลขที่สามได้ และจากข้อมูลนี้ ให้อนุมานว่าอะไรน้อยกว่าและมากกว่านั้น ตัวอย่างเช่น ลองคิดดูว่าจะเปรียบเทียบลอการิทึมทั้งสองนี้ได้อย่างไร

คำแนะนำเล็กน้อย - สำหรับการเปรียบเทียบ ลอการิทึมจะช่วยคุณได้มาก โดยอาร์กิวเมนต์จะเท่ากัน

คิด? มาตัดสินใจร่วมกัน

เราสามารถเปรียบเทียบลอการิทึมทั้งสองนี้กับคุณได้อย่างง่ายดาย:

ไม่รู้ยังไง? ดูด้านบน. เราก็แค่แยกมันออกจากกัน จะมีป้ายอะไรบ้าง? ใช่ไหม:

ตกลง?

ลองเปรียบเทียบกัน:

คุณควรได้รับสิ่งต่อไปนี้:

ตอนนี้รวมข้อสรุปทั้งหมดของเราเข้าเป็นหนึ่งเดียว เกิดขึ้น?

5. การเปรียบเทียบนิพจน์ตรีโกณมิติ

ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์คืออะไร? วงกลมหน่วยคืออะไรและจะหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างไร หากคุณไม่ทราบคำตอบของคำถามเหล่านี้ เราขอแนะนำให้คุณอ่านทฤษฎีในหัวข้อนี้ และถ้าคุณรู้ การเปรียบเทียบนิพจน์ตรีโกณมิติกับกันและกันก็ไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณ!

มาฟื้นฟูความจำกันสักหน่อย ลองวาดวงกลมตรีโกณมิติหนึ่งหน่วยและสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ คุณจัดการหรือไม่ ทีนี้ ให้ทำเครื่องหมายว่าด้านไหนที่เรามีโคไซน์ และด้านไหน โดยใช้ด้านของสามเหลี่ยม (แน่นอน คุณจำได้ว่าไซน์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์ของด้านประชิด?) คุณวาด? ดี! สัมผัสสุดท้าย - วางลงที่เราจะได้มันที่ไหนและอื่นๆ วางลง? วุ้ย) เปรียบเทียบสิ่งที่เกิดขึ้นกับฉันและคุณ

วุ้ย เริ่มการเปรียบเทียบกันเลย!

สมมติว่าเราต้องเปรียบเทียบ และ . วาดมุมเหล่านี้โดยใช้ข้อความแจ้งในกล่อง (ที่เราทำเครื่องหมายไว้) วางจุดบนวงกลมหน่วย คุณจัดการหรือไม่ นั่นคือสิ่งที่ฉันทำ

ทีนี้ลองลดแนวตั้งฉากจากจุดที่เราทำเครื่องหมายบนวงกลมไปที่แกน ... อันไหน? แกนใดแสดงค่าของไซน์ ใช่ไหม, . นี่คือสิ่งที่คุณควรได้รับ:

ดูจากรูปนี้อันไหนใหญ่กว่ากัน หรื? แน่นอน เพราะจุดอยู่เหนือจุด

ในทำนองเดียวกัน เราเปรียบเทียบค่าของโคไซน์ เราลดฉากตั้งฉากลงบนแกนเท่านั้น ... ใช่แล้ว . ดังนั้นเราจึงดูว่าจุดใดอยู่ทางขวา (ดี หรือสูงกว่า เช่น ในกรณีของไซน์) ค่าก็จะมากกว่า

คุณคงรู้วิธีเปรียบเทียบแทนเจนต์อยู่แล้วใช่ไหม สิ่งที่คุณต้องรู้คือสิ่งที่แทนเจนต์ แล้วแทนเจนต์คืออะไร) ใช่แล้ว อัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์

เพื่อเปรียบเทียบแทนเจนต์ เรายังวาดมุมดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ สมมติว่าเราต้องเปรียบเทียบ:

คุณวาด? ตอนนี้เรายังทำเครื่องหมายค่าของไซน์บนแกนพิกัด ข้อสังเกต? และตอนนี้ระบุค่าของโคไซน์บนเส้นพิกัด เกิดขึ้น? มาเปรียบเทียบกัน:

ตอนนี้วิเคราะห์สิ่งที่คุณเขียน - เราแบ่งส่วนใหญ่เป็นส่วนเล็ก คำตอบจะเป็นค่าที่มากกว่าหนึ่งพอดี ใช่ไหม?

และเมื่อเราแบ่งตัวเล็กด้วยตัวใหญ่ คำตอบจะเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าหนึ่งอย่างแน่นอน

แล้วค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติใดมีค่ามากกว่ากัน?

ใช่ไหม:

ตามที่คุณเข้าใจแล้ว การเปรียบเทียบโคแทนเจนต์ก็เหมือนกัน เพียงแต่ในทางกลับกัน เรามองว่าเซ็กเมนต์ที่กำหนดโคไซน์และไซน์มีความสัมพันธ์กันอย่างไร

ลองเปรียบเทียบนิพจน์ตรีโกณมิติต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง.

คำตอบ

การเปรียบเทียบตัวเลข ระดับเฉลี่ย

ตัวเลขใดมากกว่า: หรือ? คำตอบนั้นชัดเจน และตอนนี้: หรือ? ไม่ชัดเจนอีกต่อไปใช่มั้ย? แล้ว: หรือ?

บ่อยครั้งคุณจำเป็นต้องรู้ว่านิพจน์ตัวเลขใดมากกว่ากัน ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน ให้วางจุดบนแกนในลำดับที่ถูกต้อง

ตอนนี้ฉันจะสอนให้คุณเปรียบเทียบตัวเลขดังกล่าว

หากคุณต้องการเปรียบเทียบตัวเลขและใส่เครื่องหมายระหว่างตัวเลข (มาจากคำภาษาละติน Versus หรือตัวย่อ vs. - ต่อ):. เครื่องหมายนี้แทนที่เครื่องหมายอสมการที่ไม่รู้จัก () นอกจากนี้ เราจะทำการแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะเป็นที่ชัดเจนว่าควรใส่เครื่องหมายใดระหว่างตัวเลข

สาระสำคัญของการเปรียบเทียบตัวเลขมีดังนี้: เราปฏิบัติต่อเครื่องหมายเสมือนว่าเป็นเครื่องหมายอสมการ และด้วยนิพจน์นี้ เราสามารถทำทุกสิ่งที่เรามักจะทำกับความไม่เท่าเทียมกันได้:

• บวกเลขใด ๆ ทั้งสองส่วน (และลบแน่นอนเราก็ทำได้)
• “ย้ายทุกอย่างไปในทิศทางเดียว” นั่นคือลบหนึ่งในนิพจน์ที่เปรียบเทียบออกจากทั้งสองส่วน แทนที่นิพจน์ที่ถูกลบจะยังคงอยู่: .
• คูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน หากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ เครื่องหมายอสมการจะกลับกัน:
• ยกทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน ถ้ายกกำลังนี้เป็นเลขคู่ คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองส่วนมีเครื่องหมายเหมือนกัน ถ้าทั้งสองส่วนเป็นค่าบวก เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเมื่อยกกำลังขึ้น และหากเป็นค่าลบ เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้าม
• หยั่งรากในระดับเดียวกันจากทั้งสองส่วน ถ้าเราแยกรากของดีกรีคู่ ก่อนอื่นคุณต้องแน่ใจว่านิพจน์ทั้งสองไม่เป็นค่าลบ
• การเปลี่ยนแปลงอื่นใดที่เทียบเท่ากัน

สำคัญ: ควรทำการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง! นั่นคือในระหว่างการแปลง การคูณด้วยจำนวนลบเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนา และเป็นไปไม่ได้ที่จะยกกำลังสองถ้าส่วนหนึ่งส่วนใดเป็นค่าลบ

ลองดูสถานการณ์ทั่วไปสองสามอย่าง

1. การยกกำลัง

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

เนื่องจากทั้งสองข้างของอสมการเป็นค่าบวก เราสามารถยกกำลังสองเพื่อกำจัดรูท:

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

ตรงนี้ เราสามารถยกกำลังสองได้ แต่นี่จะช่วยเรากำจัดสแควร์รูทเท่านั้น ที่นี่จำเป็นต้องยกระดับให้รากทั้งสองหายไป ซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังของดีกรีนี้ต้องหารด้วยทั้งคู่ (ดีกรีของรากแรก) และหารด้วย ตัวเลขนี้คือ ดังนั้นเราจึงยกกำลัง th:

2. การคูณด้วยคอนจูเกต

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

คูณและหารผลต่างแต่ละส่วนด้วยผลรวมคอนจูเกต:

แน่นอน ตัวส่วนทางด้านขวามากกว่าตัวส่วนทางด้านซ้าย ดังนั้นเศษส่วนทางขวาจะน้อยกว่าทางซ้าย:

3. การลบ

ให้จำไว้ว่า

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

แน่นอน เราสามารถจัดวางทุกอย่าง จัดกลุ่มใหม่ และจัดกลุ่มใหม่อีกครั้ง แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ชาญฉลาดกว่านั้นได้:

จะเห็นว่าแต่ละเทอมทางด้านซ้ายน้อยกว่าแต่ละเทอมทางด้านขวา

ดังนั้น ผลรวมของเทอมทั้งหมดทางด้านซ้ายจะน้อยกว่าผลรวมของเทอมทั้งหมดทางด้านขวา

แต่ระวัง! เราถูกถามเพิ่มเติม...

ด้านขวามีขนาดใหญ่ขึ้น

ตัวอย่าง.

เปรียบเทียบตัวเลขและ.

สารละลาย.

จำสูตรตรีโกณมิติ:

ให้เราตรวจสอบว่าจุดไหนอยู่ในวงกลมตรีโกณมิติ

4.กอง.

ที่นี่เรายังใช้กฎง่ายๆ: .

ด้วยหรือนั่นคือ

เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนไป: .

ตัวอย่าง.

ทำการเปรียบเทียบ: .

สารละลาย.

5. เปรียบเทียบตัวเลขกับตัวเลขที่สาม

ถ้า และ แล้ว (กฎแห่งการเปลี่ยนผ่าน)

ตัวอย่าง.

เปรียบเทียบ.

สารละลาย.

ลองเปรียบเทียบตัวเลขไม่ใช่กับแต่ละอื่น ๆ แต่กับตัวเลข

เห็นได้ชัดว่า

ในทางกลับกัน, .

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

ตัวเลขทั้งสองมีขนาดใหญ่กว่าแต่เล็กกว่า เลือกตัวเลขที่มากกว่าหนึ่งแต่น้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น, . มาตรวจสอบกัน:

6. จะทำอย่างไรกับลอการิทึม?

ไม่มีอะไรพิเศษ. วิธีกำจัดลอการิทึมมีรายละเอียดอยู่ในหัวข้อ กฎพื้นฐานคือ:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

เรายังสามารถเพิ่มกฎเกี่ยวกับลอการิทึมที่มีฐานต่างกันและอาร์กิวเมนต์เดียวกันได้:

อธิบายได้ดังนี้ ยิ่งฐานใหญ่ยิ่งต้องยกน้อยเพื่อให้ได้ฐานเดียวกัน ถ้าฐานมีขนาดเล็กกว่า ตรงกันข้ามจะเป็นจริง เนื่องจากฟังก์ชันที่สอดคล้องกันจะลดลงแบบโมโนโทน

ตัวอย่าง.

เปรียบเทียบตัวเลข: ผม.

สารละลาย.

ตามกฎข้างต้น:

และตอนนี้สูตรขั้นสูง

กฎสำหรับการเปรียบเทียบลอการิทึมสามารถเขียนให้สั้นลงได้เช่นกัน:

ตัวอย่าง.

อันไหนมากกว่า: หรือ?

สารละลาย.

ตัวอย่าง.

เปรียบเทียบว่าตัวเลขใดมากกว่า: .

สารละลาย.

การเปรียบเทียบตัวเลข สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

1. การยกกำลัง

หากอสมการทั้งสองข้างเป็นบวก สามารถยกกำลังสองเพื่อกำจัดราก

2. การคูณด้วยคอนจูเกต

คอนจูเกตเป็นตัวคูณที่เสริมนิพจน์ให้กับสูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสอง: - คอนจูเกตสำหรับและในทางกลับกันเพราะ .

3. การลบ

4. กอง

ที่หรือนั่นคือ

เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนไป:

5. เปรียบเทียบกับตัวเลขที่สาม

ถ้าแล้ว

6. การเปรียบเทียบลอการิทึม

กฎพื้นฐาน:

ลอการิทึมที่มีฐานต่างกันและมีอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน

หัวข้อ

ประเภทบทเรียน

• การศึกษาและการดูดซึมเบื้องต้นของวัสดุใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

แผนการเรียน

1. บทนำ.
2. ส่วนทฤษฎี
3. ส่วนปฏิบัติ
4. การบ้าน.
5. คำถาม

บทนำ

มาดูกัน วีดีโอวิธีจัดเรียงตัวเลขติดลบ

ตอนนี้จัดเรียงตัวเลขติดลบและถอดรหัสหัวข้อของบทเรียน:

คำตอบ: คำว่า "การเปรียบเทียบ"

ส่วนทฤษฎี

การเปรียบเทียบตัวเลข กฎ

เมื่อเปรียบเทียบตัวเลขสองจำนวน สิ่งแรกที่ต้องดูคือสัญญาณของตัวเลขที่นำมาเปรียบเทียบ จำนวนที่มีค่าลบ (ลบ) จะน้อยกว่าจำนวนบวกเสมอ

หากตัวเลขที่เปรียบเทียบทั้งคู่มีเครื่องหมายลบ (เชิงลบ) เราต้องเปรียบเทียบโมดูลของพวกมัน นั่นคือ เปรียบเทียบพวกมันโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายลบ จำนวนที่โมดูลัสออกมามากกว่านั้นจริง ๆ แล้วน้อยกว่า

ตัวอย่างเช่น -3 และ -5 ตัวเลขที่เปรียบเทียบเป็นลบ ลองเปรียบเทียบโมดูล 3 กับ 5 กัน 5 มากกว่า 3 ดังนั้น -5 จึงน้อยกว่า -3

หากหนึ่งในจำนวนที่เปรียบเทียบเป็นศูนย์ จำนวนลบจะน้อยกว่าศูนย์ (-3 < 0) และบวกมากขึ้น (3 > 0)

คุณยังสามารถเปรียบเทียบตัวเลขโดยใช้เส้นพิกัดแนวนอนได้อีกด้วย ตัวเลขทางซ้ายน้อยกว่าตัวเลขทางขวา กฎที่ตรงกันข้ามก็ใช้เช่นกัน จุดที่มีพิกัดใหญ่กว่าบนเส้นพิกัดจะอยู่ทางขวามากกว่าจุดที่มีพิกัดน้อยกว่า

ตัวอย่างเช่น ในรูป จุด E อยู่ทางขวาของจุด A และพิกัดจะใหญ่กว่า (5 > 1)

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

การเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์ (โมดูล) ของตัวเลข

ความไม่เท่าเทียมกันของโมดูโล

ภาคปฏิบัติ

การเปรียบเทียบตัวเลขบนเส้นจำนวน

งาน

1. อธิบายว่าทำไม:
-5 น้อยกว่า -1,
-2 มากกว่า -16,
-25 น้อยกว่า 3,
0 เพิ่มเติม - 9

2. เปรียบเทียบ:
ตัวเลขจะแสดงบนเส้นพิกัด: 0; แต่; ใน; จาก. เปรียบเทียบ:

1) > 0; 2) ใน< 0; 3) 0 >จาก.
ตัวเลขจะแสดงบนเส้นพิกัด: 0; แต่; ใน; จาก. เปรียบเทียบพวกเขา:

1) a > b; 2) กับ< а; 3) в < с.

3. ความไม่เท่าเทียมกันข้อใดเป็นจริง
ตัวเลข a และ b เป็นค่าลบ | a | > | ใน |.
ก) a > b; ข) ก< в.

4. เปรียบเทียบโมดูลัสของตัวเลข a และ b
ตัวเลข a และ b เป็นค่าลบ แต่< в.

5. ความไม่เท่าเทียมกันข้อใดเป็นความจริง
a เป็นจำนวนบวก
c เป็นจำนวนลบ
ก) a > b; ข) ก< в?

6. เปรียบเทียบ:

การบ้าน

1. เปรียบเทียบตัวเลข

2. คำนวณ

3. เรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปมาก

คำถาม

พิกัดของจุดบนเส้นตรงแสดงอะไร
โมดูลัสของตัวเลขจากมุมมองทางเรขาคณิตคืออะไร?
โมดูลัสของจำนวนบวกคืออะไร?
โมดูลัสของจำนวนลบคืออะไร?
โมดูลัสของศูนย์คืออะไร?
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ สามารถเป็นค่าลบได้หรือไม่?
อะไรคือจำนวนตรงข้ามของ 5?
ตัวเลขใดที่ตรงข้ามกับตัวมันเอง?

เอาท์พุต

จำนวนลบใด ๆ น้อยกว่าจำนวนบวกใด ๆ

จากจำนวนลบสองตัว ตัวที่มีโมดูลัสมากกว่ามีค่าน้อยกว่า

ศูนย์มีค่ามากกว่าจำนวนลบใดๆ แต่น้อยกว่าจำนวนบวกใดๆ

บนเส้นพิกัดแนวนอน จุดที่มีพิกัดใหญ่กว่าจะอยู่ทางด้านขวาของจุดที่มีพิกัดน้อยกว่า

รายการแหล่งที่ใช้

1. สารานุกรมคณิตศาสตร์ (ใน 5 เล่ม) - ม.: สารานุกรมโซเวียต, 2002. - ต. 1
2. "คู่มือเด็กนักเรียนล่าสุด" "ศตวรรษที่ XXI บ้าน" 2008
3. สรุปบทเรียนในหัวข้อ "การเปรียบเทียบตัวเลข" ผู้แต่ง: Petrova V.P. , ครูคณิตศาสตร์ (เกรด 5-9), Kyiv
4. N.Ya. Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, คณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6, ตำราเรียนสำหรับโรงเรียนมัธยม

ทำงานในบทเรียน
เปาทิงก้า เอ.วี.
Petrova V.P.

เรียบเรียงและเรียบเรียงโดย A.V. Pautinka

สามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับการศึกษาสมัยใหม่ แสดงความคิดเห็น หรือแก้ปัญหาเร่งด่วนได้ที่ ฟอรั่มการศึกษาที่ซึ่งสภาการศึกษาแห่งความคิดและการกระทำที่สดใหม่มาบรรจบกันในระดับสากล ได้สร้าง