บทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ในหัวข้อ

“สลายตัวเป็น ปัจจัยสำคัญ»

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

เพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ ความสามารถในการใช้อัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ

เพื่อสร้างทักษะและความสามารถของการใช้เครื่องหมายการหารลงตัวเมื่อแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

กำลังพัฒนา:

พัฒนาทักษะการคำนวณ ความสามารถในการสรุป วิเคราะห์ ระบุรูปแบบ เปรียบเทียบ

เกี่ยวกับการศึกษา:

เพื่อปลูกฝังความสนใจ วัฒนธรรมการคิดเชิงคณิตศาสตร์ ทัศนคติที่จริงจังต่องานการศึกษา

เนื้อหาบทเรียน:

1. บัญชีปากเปล่า

2. การทำซ้ำของวัสดุที่ครอบคลุม

3. คำอธิบายของวัสดุใหม่

4. แก้ไขวัสดุ

5. การสะท้อนกลับ

6. สรุปบทเรียน

ระหว่างเรียน

แรงจูงใจ (ความมุ่งมั่นในตนเอง) สำหรับกิจกรรมการเรียนรู้

บทนำ:

สวัสดีทุกคน. หัวข้อของบทเรียนของเราคือ "การสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยเฉพาะ" บางท่านคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว และเพื่อให้กำหนดเป้าหมายของบทเรียนได้ดีขึ้น เราจะทำงานร่วมกับคุณด้วยวาจาเล็กน้อย

ลงมือทำ (วาจา) .

คำนวณ:

1. 15 x (325 -325) + 236x1 - 30: 1 206

2. 207 - (0 x4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 - 0:60) + (150:1 -48x0) 210

4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212

การทำซ้ำของวัสดุที่ศึกษา

ต่อชุดผลลัพธ์สำหรับ 3 หมายเลข

(206; 208;210; 212;214;216;218)

เลือกจากตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อ: 2 (206; 208; 210; 212; 214; 216; 218)

โดย 3: (210;216)

โดย 9: (216)

โดย 5: (210)

โดย 4: (208; 212; 216)

กำหนดสัญลักษณ์ของการหาร

คำถาม: 1. ตัวเลขใดที่เรียกว่าจำนวนเฉพาะ

2. ตัวเลขอะไรเรียกว่าประกอบ?

3. หมายเลข 1 คืออะไร?

4. ตั้งชื่อจำนวนเฉพาะของสองหลักสิบแรก

5. เท่าไหร่ จำนวนเฉพาะ?

6. หมายเลข 32 เป็นไพรม์หรือไม่?

7. เลข 73 เป็นไพรม์หรือไม่?

คำอธิบายของวัสดุใหม่

มาแก้ปัญหาที่น่าสนใจมากกันเถอะ

มีชีวิตอยู่มีปัญหาและยาย พวกเขามีไก่ Ryaba แม่ไก่ออกไข่ทองคำทุกๆ ฟองที่เจ็ด และทุกๆ ที่สามเป็นเงิน มันอาจจะเป็น?

(คำตอบ: ไม่ เพราะอัณฑะ 21 ตัวสามารถเป็นทองและเงินได้) ทำไม?

เราควรเรียนรู้อะไรในบทเรียนวันนี้? (แยกจำนวนใดๆ เป็นตัวประกอบเฉพาะ)

ทำไมคุณถึงคิดว่าเราต้องการสิ่งนี้ (เพื่อแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นและยังลดเศษส่วน)

วันนี้หัวข้อบทเรียนของเราจะช่วยให้เราเข้าใจและแก้ปัญหาดังกล่าวได้ดีขึ้น

แก้ปัญหา: จำเป็นต้องจัดสรรที่ดินสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 18 ตารางเมตร ม. ม. ขนาดของพื้นที่นี้จะเป็นอย่างไรถ้าต้องแสดงเป็นตัวเลขธรรมชาติ?

วิธีแก้ไข: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3

2. 18= 2 x 9 = 2x3x3

3. 18=3 x 6 = 3 x2x 3

ทำงานเป็นคู่.

เราทำอะไรลงไปบ้าง? (แสดงเป็นผลิตภัณฑ์หรือแฟกเตอร์). เป็นไปได้ไหมที่จะย่อยสลายต่อไป? แต่ในฐานะ? คุณได้อะไร

คำถาม: สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับตัวคูณเหล่านี้?

ตัวประกอบทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ

เปิดตำรา ต้องทำอย่างไร? ใครสามารถอธิบายให้ฉันฟังว่ามันทำอย่างไร (สนทนาเป็นคู่)

จากตัวอย่างที่วิเคราะห์ เราแยกจำนวน 84 เป็นปัจจัยสำคัญ (อัลกอริทึมการสลาย):

84 2 756 2 - ครูแสดงบนกระดานดำ

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3

แยกตัวประกอบจำนวน 756 เป็นตัวประกอบเฉพาะ เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน คุณสังเกตเห็นอะไร

ในหน้า 194 ให้ค้นหาคำตอบของคำถามต่อไปนี้?

จำนวนใดๆ ถูกย่อยสลายเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะ

วิธีเดียว

การรวมวัสดุที่ศึกษา .

1. แยกตัวประกอบตัวเลข: 20; 188; 254.

มาเช็คกัน สไลด์ 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

มีการ์ดให้ทุกคน นักเรียนตัดสินใจและตรวจสอบกับต้นฉบับซึ่งวางอยู่บนโต๊ะทำงานของครู หากคุณทำถูกต้อง ให้ใส่เครื่องหมายบวกลงในตารางสาระสำคัญ (แก้โดย 3)

บัตรหมายเลข 2 แยกตัวประกอบตัวเลข: 30; 136; 438.

บัตรหมายเลข 3 แยกตัวประกอบตัวเลข: 40; 125; 326.

บัตรหมายเลข 4 แยกตัวประกอบตัวเลข: 50; 78; 285.

บัตรหมายเลข 5 แยกตัวประกอบตัวเลข: 60; 654; 99.

บัตรหมายเลข 6 แยกตัวประกอบตัวเลข: 70; 65; 136.

หลังจากทำงานเสร็จแล้วเราจะตรวจสอบ

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

ผล.

การแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร

(ย่อยสลาย ตัวเลขธรรมชาติปัจจัยเฉพาะหมายถึงการแสดงตัวเลขเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ)

2) การสลายตัวของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวประกอบเฉพาะหรือไม่?

(ไม่ว่าวิธีใดที่การแยกตัวของจำนวนธรรมชาติไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ เราจะแยกตัวประกอบเฉพาะออกมา ลำดับของตัวประกอบจะไม่ถูกนำมาพิจารณา)

การบ้าน.

แยกตัวประกอบตัวเลข 4 ตัวใดๆ เป็นตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบหมายความว่าอย่างไร ทำอย่างไร? สามารถเรียนรู้อะไรได้บ้างจากการย่อยสลายตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้แสดงตัวอย่างเฉพาะ

คำจำกัดความ:

จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวหารต่างกันสองตัวพอดี

จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว

การแยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ

การแยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติเป็นตัวประกอบเฉพาะหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

หมายเหตุ:

• ในการขยายจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง และอีกตัวหนึ่งเท่ากับจำนวนนี้เอง
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงการสลายตัวของความสามัคคีเป็นปัจจัย
• จำนวนประกอบสามารถแบ่งออกเป็นตัวประกอบได้ โดยแต่ละจำนวนจะแตกต่างจาก 1

	ลองแยกตัวประกอบเลข 150 กัน. ตัวอย่างเช่น 150 คือ 15 คูณ 10 15 เป็นจำนวนประกอบ สามารถย่อยสลายเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 3 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถย่อยสลายเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 เมื่อเขียนการขยายออกเป็นปัจจัยเฉพาะแทนที่จะเป็น 15 และ 10 เราก็ได้การสลายตัวของจำนวน 150
	ตัวเลข 150 สามารถแยกตัวประกอบในอีกทางหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น 150 เป็นผลคูณของตัวเลข 5 และ 30 5 เป็นจำนวนเฉพาะ 30 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแสดงเป็นผลคูณของ 10 และ 3 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถย่อยสลายเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 เราได้การสลายตัวของจำนวน 150 เป็นตัวประกอบสำคัญในอีกทางหนึ่ง
	โปรดทราบว่าการขยายครั้งแรกและครั้งที่สองจะเหมือนกัน ต่างกันแค่ลำดับของตัวคูณเท่านั้น เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนปัจจัยในลำดับจากน้อยไปมาก
จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้ตามลำดับปัจจัย

เมื่อแยกจำนวนจำนวนมากออกเป็นปัจจัยเฉพาะ รายการคอลัมน์จะถูกใช้:

	จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่ 216 หารด้วย 2 ลงตัวคือ 2 หาร 216 ด้วย 2 เราได้ 108
	จำนวนผลลัพธ์ 108 หารด้วย 2 ลงตัว มาทำการหารกันเถอะ เราได้ 54 เป็นผล
	จากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว หมายเลข 54 หารด้วย 2 ลงตัว หลังจากแบ่งเราจะได้ 27
	เลข 27 ลงท้ายด้วยเลข 7 เลขคี่ มัน หารด้วย 2 ไม่ลงตัว จำนวนเฉพาะตัวต่อไปคือ 3 หาร 27 ด้วย 3 เราได้ 9 ไพรม์ที่เล็กที่สุด จำนวนที่ 9 หารด้วย 3 ลงตัวคือ 3 สามตัวเป็นจำนวนเฉพาะ หารด้วยตัวมันเองและหารด้วยหนึ่งลงตัว มาแบ่ง 3 ตัวกัน เป็นผลให้เราได้รับ 1

• ตัวเลขหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของการขยายเท่านั้น
• ตัวเลขหารด้วยจำนวนประกอบเหล่านั้นเท่านั้น การสลายตัวของปัจจัยเฉพาะมีอยู่อย่างสมบูรณ์ในนั้น

พิจารณาตัวอย่าง:

	4900 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2, 5 และ 7 ลงตัว (รวมอยู่ในการขยายเลข 4900) แต่หารด้วย 13 ไม่ได้
	11 550 75 ที่เป็นเช่นนี้เพราะการขยายตัวของหมายเลข 75 มีอยู่ในการขยายตัวของหมายเลข 11550 อย่างสมบูรณ์ ผลลัพธ์ของการหารจะเป็นผลคูณของตัวประกอบ 2, 7 และ 11 11550 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะมี 2 เกินมาในการขยายของ 4

จงหาผลหารของการหารจำนวน a ด้วยจำนวน b ถ้าตัวเลขเหล่านี้ถูกแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	การสลายตัวของหมายเลข b มีอยู่ในการสลายตัวของหมายเลข a อย่างสมบูรณ์
	ผลลัพธ์ของการหาร a ด้วย b เป็นผลคูณของตัวเลขสามตัวที่เหลืออยู่ในการบวกขยายของ a ดังนั้น คำตอบคือ: 30.

บรรณานุกรม

1. Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - ม.: มนีโมไซน์, 2555.
2. Merzlyak A.G. , Polonsky V.V. , Yakir M.S. คณิต ม.6. - ยิมเนเซียม. 2549.
3. Depman I.Ya. , Vilenkin N.Ya. เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - ม.: ตรัสรู้, 1989.
4. Rurukin A.N. , Tchaikovsky I.V. งานสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 - ม.: ZSh MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N. , Sochilov S.V. , Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6. คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนจดหมายโต้ตอบ MEPHI - ม.: ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N. , Gein A.G. , Koryakov I.O. , Volkov M.V. คณิตศาสตร์ : หนังสือเรียน-คู่สนทนา สำหรับ ม.5-6 - ม.: การศึกษา, ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์, 2532.

1. อินเทอร์เน็ตพอร์ทัล Matematika-na.ru ()
2. อินเทอร์เน็ตพอร์ทัล Math-portal.ru ()

การบ้าน

1. Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. คณิตศาสตร์ 6 - ม.: Mnemozina, 2012. หมายเลข 127, หมายเลข 129, หมายเลข 141.
2. งานอื่นๆ: หมายเลข 133, หมายเลข 144.

บทความนี้ให้คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบตัวเลขออกเป็นแผ่นงาน พิจารณาแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับการสลายตัวพร้อมตัวอย่าง ให้เราวิเคราะห์รูปแบบบัญญัติของการสลายตัวและอัลกอริทึมของมัน วิธีทางเลือกทั้งหมดจะถูกพิจารณาโดยใช้เครื่องหมายหารและตารางสูตรคูณ

การแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร

มาดูแนวคิดของปัจจัยเฉพาะกัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวประกอบเฉพาะทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ ในผลคูณของรูปแบบ 2 7 7 23 เรามีตัวประกอบเฉพาะ 4 ตัวในรูปแบบ 2 , 7 , 7 , 23

แฟคตอริ่งเกี่ยวข้องกับการแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะ หากคุณต้องการสลายจำนวน 30 เราก็ได้ 2, 3, 5 รายการจะอยู่ในรูปแบบ 30 = 2 3 5 . เป็นไปได้ที่ตัวคูณสามารถทำซ้ำได้ ตัวเลขอย่าง 144 มี 144 = 2 2 2 2 3 3

ไม่ใช่ทุกตัวเลขที่มีแนวโน้มที่จะสลายตัว ตัวเลขที่มากกว่า 1 และเป็นจำนวนเต็มสามารถแยกตัวประกอบได้ จำนวนเฉพาะหารด้วย 1 เท่านั้นและหารด้วยตัวมันเองเมื่อสลายตัว ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนตัวเลขเหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์

เมื่อ z อ้างถึงจำนวนเต็ม มันจะแสดงเป็นผลคูณของ a และ b โดยที่ z ถูกหารด้วย a และ b ตัวเลขประกอบถูกแบ่งออกเป็นปัจจัยเฉพาะโดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต หากตัวเลขมากกว่า 1 แสดงว่าแยกตัวประกอบ p 1 , p 2 , … , p n ใช้รูปแบบ a = p 1 , p 2 , … , p n . การสลายตัวจะถือว่าอยู่ในตัวแปรเดียว

การสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

ปัจจัยสามารถทำซ้ำได้ระหว่างการสลายตัว พวกเขาจะเขียนกระชับโดยใช้องศา หากเมื่อสลายตัวเลข a เรามีตัวประกอบ p 1 ซึ่งเกิดขึ้น s 1 ครั้งและต่อไปเรื่อยๆ p n - s n ครั้ง ดังนั้นการสลายตัวจะอยู่ในรูป a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. รายการนี้เรียกว่าการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะ

เมื่อสลายตัวเลข 609840 เราจะได้ 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 รูปแบบบัญญัติจะเป็น 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 การใช้การขยายมาตรฐาน คุณสามารถค้นหาตัวหารทั้งหมดของตัวเลขและตัวเลขได้

ในการแยกตัวประกอบอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ ประเด็นคือการได้ตัวหารจำนวนต่อเนื่องของรูปแบบ p 1 , p 2 , … , p n ตัวเลข a , a 1 , a 2 , … , a n - 1นี้ทำให้สามารถได้รับ a = p 1 a 1โดยที่ a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2 โดยที่ a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. pn an ที่ไหน n = n - 1: p n. เมื่อได้รับ n = 1แล้วความเท่าเทียมกัน a = p 1 p 2 … p nเราได้รับการสลายตัวที่จำเป็นของจำนวน a เป็นปัจจัยเฉพาะ สังเกตว่า p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

ในการหาตัวหารร่วมน้อย คุณต้องใช้ตารางจำนวนเฉพาะ ทำได้โดยใช้ตัวอย่างการหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน z เมื่อนำจำนวนเฉพาะ 2, 3, 5, 11 และอื่นๆ มาหารจำนวน z ด้วยพวกมัน เนื่องจาก z ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ โปรดจำไว้ว่าตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดจะไม่มากกว่า z จะเห็นได้ว่าไม่มีตัวหารของ z แล้วเป็นที่ชัดเจนว่า z เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1

ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง​ของ​เลข 87. เมื่อหารด้วย 2 เรามี 87: 2 \u003d 43 เหลือเศษ 1 มันตามมาว่า 2 ไม่สามารถเป็นตัวหารได้ ต้องทำการหารทั้งหมด เมื่อหารด้วย 3 เราได้ 87: 3 = 29 ดังนั้นข้อสรุป - 3 เป็นตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน 87

เมื่อสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ จำเป็นต้องใช้ตารางจำนวนเฉพาะ โดยที่ a. เมื่อสลายตัว 95 ควรใช้ไพรม์ประมาณ 10 ไพรม์ และเมื่อสลายตัว 846653 ประมาณ 1,000 ตัว

พิจารณาอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบเฉพาะ:

• การหาตัวประกอบที่เล็กที่สุดด้วยตัวหาร p 1 ของจำนวน เอโดยสูตร a 1 \u003d a: p 1 เมื่อ a 1 \u003d 1 แล้ว a เป็นจำนวนเฉพาะและรวมอยู่ในการแยกตัวประกอบเมื่อไม่เท่ากับ 1 แล้ว a \u003d p 1 a 1 และปฏิบัติตามประเด็นด้านล่าง
• การหาตัวหารเฉพาะ p 2 ของ 1 โดยการแจงนับจำนวนเฉพาะโดยใช้ a 2 = a 1: p 2 , เมื่อ 2 = 1 , จากนั้นการขยายตัวจะอยู่ในรูปแบบ a = p 1 p 2 , เมื่อ 2 \u003d 1 แล้ว a \u003d p 1 p 2 a 2 , และเราได้ทำการเปลี่ยนไปสู่ขั้นตอนต่อไป
• การวนซ้ำจำนวนเฉพาะและการหาตัวหารเฉพาะ หน้า 3ตัวเลข 2ตามสูตร a 3 \u003d a 2: p 3 เมื่อ 3 \u003d 1 , แล้วเราจะได้ว่า a = p 1 p 2 p 3 , เมื่อไม่เท่ากับ 1 แล้ว a = p 1 p 2 p 3 a 3 และดำเนินการในขั้นตอนต่อไป
• หาตัวหารเฉพาะ พีนตัวเลข n - 1โดยการนับจำนวนเฉพาะด้วย p n - 1, เช่นเดียวกับ n = n - 1: p n, โดยที่ n = 1 , ขั้นตอนถือเป็นที่สิ้นสุด, เป็นผลให้เราได้ว่า a = p 1 p 2 … p n .

ผลลัพธ์ของอัลกอริธึมถูกเขียนในรูปแบบของตารางที่มีปัจจัยแยกส่วนโดยมีแถบแนวตั้งเรียงตามลำดับในคอลัมน์ พิจารณารูปด้านล่าง

อัลกอริธึมที่ได้สามารถนำไปใช้โดยแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

เมื่อแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ ควรใช้อัลกอริธึมพื้นฐาน

ตัวอย่าง 2

แยกจำนวน 78 เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

สารละลาย

ในการหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุด จำเป็นต้องแจกแจงจำนวนเฉพาะทั้งหมดใน 78 นั่นคือ 78: 2 = 39 การหารโดยไม่มีเศษ, นี่คือตัวหารเฉพาะตัวแรก, ซึ่งเราแทนเป็น p 1 เราจะได้ว่า a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 เรามาถึงความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a = p 1 a 1 , โดยที่ 78 = 2 39 . จากนั้น a 1 = 39 นั่นคือคุณควรไปยังขั้นตอนถัดไป

มาโฟกัสที่การหาตัวหารเฉพาะกัน p2ตัวเลข 1 = 39. คุณควรแยกจำนวนเฉพาะออก นั่นคือ 39: 2 = 19 (เหลือ 1) เนื่องจากการหารมีเศษเหลือ 2 จึงไม่ใช่ตัวหาร เมื่อเลือกหมายเลข 3 เราได้ 39: 3 = 13 ซึ่งหมายความว่า p 2 = 3 เป็นตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของ 39 โดย a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 เราได้รับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a = p 1 p 2 a 2ในรูปแบบ 78 = 2 3 13 . เรามี 2 = 13 ไม่เท่ากับ 1 แล้วเราควรไปต่อ

ตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน a 2 = 13 หาได้จากการแจกแจงตัวเลข โดยเริ่มจาก 3 เราได้ 13: 3 = 4 (ส่วนที่เหลือ 1) นี่แสดงว่า 13 ไม่หารด้วย 5, 7, 11 เพราะ 13: 5 = 2 (พัก 3), 13: 7 = 1 (พัก 6) และ 13: 11 = 1 (พัก 2) จะเห็นว่า 13 เป็นจำนวนเฉพาะ สูตรมีลักษณะดังนี้: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1 เราได้ 3 = 1 ซึ่งหมายถึงจุดสิ้นสุดของอัลกอริทึม ตอนนี้ตัวประกอบถูกเขียนเป็น 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3)

ตอบ: 78 = 2 3 13 .

ตัวอย่างที่ 3

แยกจำนวน 83,006 เป็นตัวประกอบสำคัญ

สารละลาย

ขั้นตอนแรกเกี่ยวข้องกับแฟคตอริ่ง หน้า 1 = 2และ a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503โดยที่ 83 006 = 2 41 503

ขั้นตอนที่สองถือว่า 2 , 3 และ 5 ไม่ใช่ตัวหารเฉพาะสำหรับ 1 = 41503 แต่ 7 เป็นตัวหารเฉพาะเพราะ 41503: 7 = 5929 เราได้ p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929 แน่นอน 83 006 = 2 7 5 929 .

การหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุด p 4 ถึงจำนวน a 3 = 847 คือ 7 จะเห็นได้ว่า a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121 ดังนั้น 83 006 \u003d 2 7 7 7 121

ในการหาตัวหารเฉพาะของจำนวน a 4 = 121 เราใช้เลข 11 นั่นคือ p 5 = 11 จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของรูปแบบ a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11และ 83 006 = 2 7 7 7 11 11

สำหรับหมายเลข 5 = 11ตัวเลข p6 = 11เป็นตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุด ดังนั้น 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1 แล้ว 6 = 1 สิ่งนี้บ่งชี้จุดสิ้นสุดของอัลกอริทึม ตัวคูณจะถูกเขียนเป็น 83006 = 2 7 7 7 11 11

สัญกรณ์บัญญัติของคำตอบจะอยู่ในรูปแบบ 83 006 = 2 7 3 11 2

ตอบ: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

ตัวอย่างที่ 4

แยกตัวประกอบตัวเลข 897 924 289

สารละลาย

ในการหาตัวประกอบเฉพาะตัวแรก ให้วนซ้ำผ่านจำนวนเฉพาะที่ขึ้นต้นด้วย 2 สิ้นสุดการแจงนับตรงกับหมายเลข 937 จากนั้น p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 และ 897 924 289 = 937 958 297

ขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมคือการแจกแจงจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่า นั่นคือเราเริ่มต้นด้วยหมายเลข 937 จำนวน 967 ถือเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากเป็นตัวหารเฉพาะของจำนวน a 1 = 958 297 จากที่นี่เราจะได้ p 2 \u003d 967 จากนั้น a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 และ 897 924 289 \u003d 937 967 991

ขั้นตอนที่สามบอกว่า 991 เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีตัวหารเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 991 ค่าโดยประมาณของนิพจน์รากคือ 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . จากนี้จะเห็นได้ว่า p 3 \u003d 991 และ 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1 เราได้การสลายตัวของจำนวน 897 924 289 เป็นตัวประกอบสำคัญได้เป็น 897 924 289 \u003d 937 967 991

ตอบ: 897 924 289 = 937 967 991 .

การใช้การทดสอบการหารสำหรับการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ คุณต้องทำตามอัลกอริทึม เมื่อมีตัวเลขน้อยก็สามารถใช้ตารางสูตรคูณและเครื่องหมายหารได้ ลองดูสิ่งนี้พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

หากจำเป็นต้องแยกตัวประกอบ 10 ตารางจะแสดง: 2 5 \u003d 10 ผลลัพธ์จำนวน 2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นตัวประกอบเฉพาะสำหรับจำนวน 10

ตัวอย่างที่ 6

หากจำเป็นต้องสลายตัวเลข 48 ตารางจะแสดง: 48 \u003d 6 8 แต่ 6 และ 8 ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะ เนื่องจากพวกมันสามารถย่อยสลายได้เป็น 6 = 2 3 และ 8 = 2 4 จากนั้นการสลายตัวทั้งหมดจากที่นี่จะได้เป็น 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . สัญกรณ์บัญญัติจะอยู่ในรูปแบบ 48 = 2 4 3

ตัวอย่าง 7

เมื่อสลายตัวเลข 3400 คุณสามารถใช้เครื่องหมายหาร ใน กรณีนี้เครื่องหมายของการหารด้วย 10 และ 100 มีความเกี่ยวข้อง จากที่นี่เราจะได้ 3400 \u003d 34 100 โดยที่ 100 สามารถหารด้วย 10 นั่นคือเขียนเป็น 100 \u003d 10 10 ซึ่งหมายความว่า 3400 \u003d 34 10 10 จากเครื่องหมายของการหาร เราได้ 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . ปัจจัยทั้งหมดเป็นเรื่องง่าย การขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติอยู่ในรูปแบบ 3400 = 2 3 5 2 17.

เมื่อเราพบตัวประกอบเฉพาะ จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายหารและตารางการคูณ หากคุณแทนเลข 75 เป็นผลคูณของปัจจัย คุณต้องคำนึงถึงกฎการหารด้วย 5 เราได้ 75 = 5 15 และ 15 = 3 5 นั่นคือการสลายตัวที่ต้องการเป็นตัวอย่างของรูปแบบของผลิตภัณฑ์ 75 = 5 · 3 · 5 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถย่อยสลายเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะได้ หากคุณไม่ชอบจัดการกับตัวเลขจำนวนมาก เช่น 5733 ให้เรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ (ในกรณีนี้คือ 3 x 3 x 7 x 7 x 13) งานที่คล้ายกันนี้มักพบในการเข้ารหัส ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาความปลอดภัยของข้อมูล หากคุณยังไม่พร้อมที่จะสร้างระบบอีเมลที่ปลอดภัยของคุณเอง ให้เรียนรู้วิธีแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยสำคัญก่อน

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1

การหาปัจจัยสำคัญ

1. เริ่มกับ หมายเลขเดิม. เลือกจำนวนประกอบที่มากกว่า 3 มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะเอาจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมันหารด้วยตัวมันเองกับหนึ่งเท่านั้น

   • ตัวอย่าง: เราแยกจำนวน 24 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

2. ให้เราแยกจำนวนนี้เป็นผลคูณของสองปัจจัยหาจำนวนที่น้อยกว่าสองตัวที่มีผลลัพธ์เท่ากับจำนวนเดิม คุณสามารถใช้ตัวคูณอะไรก็ได้ แต่การหาจำนวนเฉพาะจะง่ายกว่า วิธีหนึ่งที่ดีคือลองหารจำนวนเดิมด้วย 2 ก่อน จากนั้นด้วย 3 จากนั้นด้วย 5 แล้วดูว่าจำนวนเฉพาะตัวใดที่หารด้วยลงตัว

   • ตัวอย่าง: หากคุณไม่ทราบปัจจัยของจำนวน 24 ลองหารด้วยจำนวนเฉพาะน้อยๆ ดังนั้นคุณจะพบว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วย 2: 24 = 2 x 12. นี่เป็นการเริ่มต้นที่ดี
   • เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จึงควรใช้เมื่อสลายเลขคู่

3. เริ่มสร้างต้นไม้ทวีคูณขั้นตอนง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ในการเริ่มต้น ให้วาด "สาขา" สองสาขาจากตัวเลขเดิม ที่ส่วนท้ายของแต่ละสาขา ให้เขียนตัวคูณที่พบ

   • ตัวอย่าง:

4. แยกตัวประกอบแถวของตัวเลขต่อไปนี้ดูตัวเลขใหม่สองตัว (แถวที่สองของแผนภูมิตัวคูณ) ทั้งคู่เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ หากตัวใดตัวหนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้แยกตัวประกอบเป็นสองตัวด้วย วาดกิ่งเพิ่มอีกสองกิ่งแล้วเขียนตัวคูณใหม่สองตัวในบรรทัดที่สามของต้นไม้

   • ตัวอย่าง: 12 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จึงต้องแยกตัวประกอบ เราใช้การสลายตัว 12 = 2 x 6 และเขียนไว้ในบรรทัดที่สามของต้นไม้:
   • 2x6

5. เดินลงต้นไม้ไปเรื่อยๆหากตัวประกอบใหม่ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ให้วาด "สาขา" หนึ่งอันจากนั้นเขียนตัวเลขเดียวกันที่ส่วนท้าย จำนวนเฉพาะจะไม่ถูกแยกออกเป็นปัจจัยที่มีขนาดเล็กลง ดังนั้นเพียงแค่โอนไปยังระดับด้านล่าง

   • ตัวอย่าง: 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพียงย้าย 2 จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม:
   • 2 2 6

6. เก็บตัวเลขแฟคตอริ่งไว้จนกว่าคุณจะเหลือเฉพาะจำนวนเฉพาะตรวจสอบแต่ละบรรทัดใหม่ของต้นไม้ หากตัวประกอบใหม่อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้แยกตัวประกอบและเขียนขึ้นบรรทัดใหม่ สุดท้ายจะเหลือแต่จำนวนเฉพาะ

   • ตัวอย่าง: 6 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงควรแยกตัวประกอบด้วย ในเวลาเดียวกัน 2 เป็นจำนวนเฉพาะ และเรายก 2s สองตัวไปที่ระดับถัดไป:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. เขียนบรรทัดสุดท้ายเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะสุดท้ายจะเหลือแต่จำนวนเฉพาะ เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น การแยกตัวประกอบเฉพาะจะสมบูรณ์ บรรทัดสุดท้ายคือชุดของจำนวนเฉพาะที่ผลิตภัณฑ์ให้หมายเลขเดิม

   • ตรวจสอบคำตอบของคุณ: คูณตัวเลขในบรรทัดสุดท้าย ผลลัพธ์ควรเป็นตัวเลขดั้งเดิม
   • ตัวอย่าง: แถวสุดท้ายของโครงสร้างแฟกเตอร์มีตัวเลข 2 และ 3 ทั้งสองจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นการขยายจึงสมบูรณ์ ดังนั้นการสลายตัวของจำนวน 24 เป็นปัจจัยเฉพาะมีรูปแบบดังต่อไปนี้: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • ลำดับของตัวคูณไม่สำคัญ การขยายสามารถเขียนเป็น 2 x 3 x 2 x 2 ได้

8. หากต้องการ ให้ลดความซับซ้อนของคำตอบโดยใช้สัญกรณ์ยกกำลังหากคุณคุ้นเคยกับการบวกเลขยกกำลัง คุณสามารถเขียนคำตอบด้วยวิธีที่ง่ายกว่า จำไว้ว่าฐานถูกเขียนไว้ด้านล่าง และหมายเลขตัวยกจะแสดงจำนวนครั้งที่ฐานนี้ควรคูณด้วยตัวมันเอง

   • ตัวอย่าง: จำนวน 2 ปรากฏในการขยายที่พบ 2 x 2 x 2 x 3 กี่ครั้ง? สามครั้ง ดังนั้นนิพจน์ 2 x 2 x 2 สามารถเขียนเป็น 2 3 ได้ ในสัญกรณ์แบบง่าย เราจะได้ 23x3.

   ตอนที่ 2

   การใช้ตัวประกอบเฉพาะตัว

   1. หาตัวหารร่วมมากของจำนวนสองตัว.ตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขสองตัวคือจำนวนสูงสุดที่ตัวเลขทั้งสองตัวหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะเพื่อค้นหาตัวหารร่วมมากของ 30 และ 36

      • ลองแยกจำนวนทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะกัน สำหรับหมายเลข 30 การขยายคือ 2 x 3 x 5 ตัวเลข 36 แบ่งออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ 2 x 2 x 3 x 3
      • ค้นหาตัวเลขที่เกิดขึ้นในการขยายทั้งสอง เราขีดหมายเลขนี้ในทั้งสองรายการแล้วเขียนขึ้นบรรทัดใหม่ ตัวอย่างเช่น 2 เกิดขึ้นในสองส่วนขยาย ดังนั้นเราจึงเขียน 2 ในบรรทัดใหม่ หลังจากนั้นก็เหลือ 30 = 2 x 3 x 5 และ 36 = 2 x 2 x 3 x 3
      • ทำซ้ำการดำเนินการนี้จนกว่าจะไม่มีปัจจัยทั่วไปเหลืออยู่ในส่วนขยาย ทั้งสองรายการยังมีหมายเลข 3 ดังนั้นในบรรทัดใหม่เราสามารถเขียนได้ 2 และ 3 . หลังจากนั้น ให้เปรียบเทียบการขยายอีกครั้ง: 30 = 2 x 3 x 5 และ 36 = 2 x 2 x 3 x 3 อย่างที่คุณเห็น ไม่มีปัจจัยทั่วไปเหลืออยู่
      • ในการหาตัวหารร่วมมาก คุณต้องหาผลคูณของตัวประกอบร่วมทั้งหมด ในตัวอย่างของเราคือ 2 และ 3 ดังนั้น gcd คือ 2 x 3 = 6 . นี้ จำนวนมากที่สุดโดยที่ตัวเลข 30 และ 36 หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.

   2. GCD สามารถใช้เพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นหากคุณสงสัยว่าเศษส่วนสามารถลดลงได้ ให้ใช้ตัวหารร่วมมากยิ่ง ใช้ขั้นตอนข้างต้นเพื่อค้นหา GCD ของตัวเศษและตัวส่วน จากนั้นนำตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนมาหารด้วยจำนวนนั้น เป็นผลให้คุณจะได้เศษส่วนเดียวกันในรูปแบบที่ง่ายกว่า

      • ตัวอย่างเช่น ลองลดรูปเศษส่วน 30/36 กัน ตามที่เราระบุไว้ข้างต้น สำหรับ 30 และ 36 GCD คือ 6 ดังนั้นเราจึงหารตัวเศษและส่วนด้วย 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขสองตัวคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขที่ให้มาทั้งสองตัว ตัวอย่างเช่น LCM ของ 2 และ 3 คือ 6 เนื่องจากเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการค้นหา LCM โดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ:

      • เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบสองตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 126 การขยายสามารถเขียนเป็น 2 x 3 x 3 x 7 ได้ หมายเลข 84 ถูกแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะในรูปแบบ 2 x 2 x 3 x 7
      • ลองเปรียบเทียบจำนวนครั้งที่แต่ละปัจจัยเกิดขึ้นในการขยาย เลือกรายการที่ตัวคูณเกิดขึ้นเป็นจำนวนครั้งสูงสุด และวงกลมที่นี่ ตัวอย่างเช่น หมายเลข 2 เกิดขึ้นหนึ่งครั้งในการขยายสำหรับ 126 และสองครั้งในรายการสำหรับ 84 ดังนั้น วงกลม 2x2ในรายการตัวคูณที่สอง
      • ทำซ้ำการกระทำนี้สำหรับตัวคูณแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น 3 เกิดขึ้นบ่อยขึ้นในการขยายครั้งแรก ดังนั้นจงวงกลมมัน 3x3. เลข 7 ปรากฏครั้งเดียวในทั้งสองรายการ ดังนั้น วงกลม 7 (ไม่สำคัญว่าจะอยู่ในรายการใด หากปัจจัยที่กำหนดเกิดขึ้นในทั้งสองรายการ จำนวนครั้งเท่ากัน)
      • หากต้องการหา LCM ให้คูณตัวเลขในวงกลมทั้งหมด ในตัวอย่างของเรา ตัวคูณร่วมน้อยของ 126 และ 84 คือ 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. นี่คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 126 และ 84 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ.

   4. ใช้ LCM ในการบวกเศษส่วนเวลาบวกเศษส่วนสองส่วน คุณต้องนำเศษส่วนมาหารด้วยตัวส่วนร่วม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค้นหา LCM ของตัวส่วนสองตัว จากนั้นคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยจำนวนที่ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับ LCM หลังจากนั้นคุณสามารถเพิ่มเศษส่วนได้

      • ตัวอย่างเช่น คุณต้องหาผลรวมของ 1 / 6 + 4 / 21 .
      • โดยใช้วิธีการข้างต้น คุณจะพบ LCM สำหรับ 6 และ 21 ซึ่งเท่ากับ 42
      • แปลงเศษส่วน 1/6 เพื่อให้ตัวส่วนเป็น 42 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร 42 ด้วย 6: 42 ÷ 6 = 7 ทีนี้คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 7: 1/6 x 7/7 = 7/ 42.
      • เมื่อต้องการนำเศษส่วนที่สองไปยังตัวส่วน 42 ให้หาร 42 ด้วย 21: 42 ÷ 21 = 2 คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42
      • หลังจากที่เศษส่วนถูกลดตัวลงเป็นตัวส่วนเดียวกันแล้ว ก็สามารถบวกเข้าไปได้อย่างง่ายดาย: 7/42 + 8/42 = 15/42