ใด ๆ ตัวเลขธรรมชาติสามารถย่อยสลายเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะ หากคุณไม่ชอบจัดการกับตัวเลขจำนวนมากเช่น 5733 ให้เรียนรู้วิธีแยกย่อยออกเป็น ปัจจัยสำคัญ(v กรณีนี้นั่นคือ 3 x 3 x 7 x 7 x 13) งานที่คล้ายกันนี้มักพบในการเข้ารหัส ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาความปลอดภัยของข้อมูล หากคุณยังไม่พร้อมที่จะสร้างระบบอีเมลที่ปลอดภัยของคุณเอง ให้เรียนรู้วิธีแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยสำคัญก่อน

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1

การหาปัจจัยสำคัญ

1. เริ่มกับ หมายเลขเดิม. เลือกจำนวนประกอบที่มากกว่า 3 มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะเอาจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมันหารด้วยตัวมันเองกับหนึ่งเท่านั้น

   • ตัวอย่าง: เราแยกจำนวน 24 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

2. ให้เราแยกจำนวนนี้เป็นผลคูณของสองปัจจัยหาจำนวนที่น้อยกว่าสองตัวที่มีผลลัพธ์เท่ากับจำนวนเดิม คุณสามารถใช้ตัวคูณอะไรก็ได้ แต่การหาจำนวนเฉพาะจะง่ายกว่า วิธีหนึ่งที่ดีคือลองหารจำนวนเดิมด้วย 2 ก่อน จากนั้นด้วย 3 จากนั้นด้วย 5 แล้วดูว่าจำนวนเฉพาะตัวใดที่หารด้วยลงตัว

   • ตัวอย่าง: หากคุณไม่ทราบปัจจัยของจำนวน 24 ลองหารด้วยจำนวนเฉพาะน้อยๆ ดังนั้นคุณจะพบว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วย 2: 24 = 2 x 12. นี่เป็นการเริ่มต้นที่ดี
   • ตั้งแต่ 2 คือ จำนวนเฉพาะเป็นการดีที่จะใช้เมื่อสลายเลขคู่

3. เริ่มสร้างต้นไม้ทวีคูณขั้นตอนง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ในการเริ่มต้น ให้วาด "สาขา" สองสาขาจากตัวเลขเดิม ที่ส่วนท้ายของแต่ละสาขา ให้เขียนตัวคูณที่พบ

   • ตัวอย่าง:

4. แยกตัวประกอบแถวของตัวเลขต่อไปนี้ดูตัวเลขใหม่สองตัว (แถวที่สองของแผนภูมิตัวคูณ) ทั้งคู่เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ หากตัวใดตัวหนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้แยกตัวประกอบเป็นสองตัวด้วย วาดกิ่งเพิ่มอีกสองกิ่งแล้วเขียนตัวคูณใหม่สองตัวในบรรทัดที่สามของต้นไม้

   • ตัวอย่าง: 12 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จึงต้องแยกตัวประกอบ เราใช้การสลายตัว 12 = 2 x 6 และเขียนไว้ในบรรทัดที่สามของต้นไม้:
   • 2x6

5. เดินลงต้นไม้ไปเรื่อยๆหากตัวประกอบใหม่ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ให้วาด "สาขา" หนึ่งอันจากนั้นเขียนตัวเลขเดียวกันที่ส่วนท้าย จำนวนเฉพาะจะไม่ถูกแยกออกเป็นปัจจัยที่มีขนาดเล็กลง ดังนั้นเพียงแค่โอนไปยังระดับด้านล่าง

   • ตัวอย่าง: 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพียงย้าย 2 จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม:
   • 2 2 6

6. เก็บตัวเลขแฟคตอริ่งไว้จนกว่าคุณจะเหลือเฉพาะจำนวนเฉพาะตรวจสอบแต่ละบรรทัดใหม่ของต้นไม้ หากตัวประกอบใหม่อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ให้แยกตัวประกอบและเขียนขึ้นบรรทัดใหม่ สุดท้ายจะเหลือแต่จำนวนเฉพาะ

   • ตัวอย่าง: 6 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงควรแยกตัวประกอบด้วย ในเวลาเดียวกัน 2 เป็นจำนวนเฉพาะ และเรายก 2s สองตัวไปยังระดับถัดไป:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. เขียนบรรทัดสุดท้ายเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะสุดท้ายจะเหลือแต่จำนวนเฉพาะ เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น การแยกตัวประกอบเฉพาะจะสมบูรณ์ บรรทัดสุดท้ายคือชุดของจำนวนเฉพาะที่ผลิตภัณฑ์ให้หมายเลขเดิม

   • ตรวจสอบคำตอบของคุณ: คูณตัวเลขในบรรทัดสุดท้าย ผลลัพธ์ควรเป็นตัวเลขดั้งเดิม
   • ตัวอย่าง: แถวสุดท้ายของแผนผังแฟคเตอร์มีตัวเลข 2 และ 3 ทั้งสองจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นการขยายจึงสมบูรณ์ ดังนั้นการสลายตัวของจำนวน 24 เป็นปัจจัยเฉพาะมีรูปแบบดังต่อไปนี้: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • ลำดับของตัวคูณไม่สำคัญ การขยายสามารถเขียนเป็น 2 x 3 x 2 x 2 ได้

8. หากต้องการ ให้ลดความซับซ้อนของคำตอบโดยใช้สัญกรณ์ยกกำลังหากคุณคุ้นเคยกับการบวกเลขยกกำลัง คุณสามารถเขียนคำตอบด้วยวิธีที่ง่ายกว่า จำไว้ว่าฐานถูกเขียนไว้ด้านล่าง และหมายเลขตัวยกจะแสดงจำนวนครั้งที่ฐานนี้ควรคูณด้วยตัวมันเอง

   • ตัวอย่าง: จำนวน 2 ปรากฏในการขยายที่พบ 2 x 2 x 2 x 3 กี่ครั้ง สามครั้ง ดังนั้นนิพจน์ 2 x 2 x 2 สามารถเขียนเป็น 2 3 ได้ ในสัญกรณ์แบบง่าย เราจะได้ 23x3.

   ตอนที่ 2

   การใช้ตัวประกอบเฉพาะตัว

   1. หาตัวหารร่วมมากของจำนวนสองตัว.ตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขสองตัวคือจำนวนสูงสุดที่ตัวเลขทั้งสองตัวหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะเพื่อค้นหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ 30 และ 36

      • ลองแยกจำนวนทั้งสองตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะกัน สำหรับหมายเลข 30 การขยายคือ 2 x 3 x 5 หมายเลข 36 แบ่งออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ 2 x 2 x 3 x 3
      • ค้นหาตัวเลขที่เกิดขึ้นในการขยายทั้งสอง เราขีดหมายเลขนี้ในทั้งสองรายการแล้วเขียนขึ้นบรรทัดใหม่ ตัวอย่างเช่น 2 เกิดขึ้นในสองส่วนขยาย ดังนั้นเราจึงเขียน 2 ในบรรทัดใหม่ หลังจากนั้นก็เหลือ 30 = 2 x 3 x 5 และ 36 = 2 x 2 x 3 x 3
      • ทำซ้ำการดำเนินการนี้จนกว่าจะไม่มีปัจจัยทั่วไปเหลืออยู่ในส่วนขยาย ทั้งสองรายการยังมีหมายเลข 3 ดังนั้นในบรรทัดใหม่เราสามารถเขียนได้ 2 และ 3 . หลังจากนั้น ให้เปรียบเทียบการขยายอีกครั้ง: 30 = 2 x 3 x 5 และ 36 = 2 x 2 x 3 x 3 อย่างที่คุณเห็น ไม่มีปัจจัยทั่วไปเหลืออยู่
      • ในการหาตัวหารร่วมมาก คุณต้องหาผลคูณของตัวประกอบร่วมทั้งหมด ในตัวอย่างของเราคือ 2 และ 3 ดังนั้น gcd คือ 2 x 3 = 6 . นี้ จำนวนมากที่สุดโดยที่ตัวเลข 30 และ 36 หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.

   2. GCD สามารถใช้เพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นหากคุณสงสัยว่าเศษส่วนสามารถลดลงได้ ให้ใช้ตัวหารร่วมมากยิ่ง ใช้ขั้นตอนข้างต้นเพื่อค้นหา GCD ของตัวเศษและตัวส่วน จากนั้นนำตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนมาหารด้วยจำนวนนั้น เป็นผลให้คุณจะได้เศษส่วนเดียวกันในรูปแบบที่ง่ายกว่า

      • ตัวอย่างเช่น ลองลดรูปเศษส่วน 30/36 กัน ตามที่เราระบุไว้ข้างต้น สำหรับ 30 และ 36 GCD คือ 6 ดังนั้นเราจึงหารตัวเศษและส่วนด้วย 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขสองตัวคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขที่ให้มาทั้งสองตัว ตัวอย่างเช่น LCM ของ 2 และ 3 คือ 6 เนื่องจากเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการค้นหา LCM โดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ:

      • เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบสองตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 126 การขยายสามารถเขียนเป็น 2 x 3 x 3 x 7 ได้ หมายเลข 84 ถูกแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะในรูปแบบ 2 x 2 x 3 x 7
      • ลองเปรียบเทียบจำนวนครั้งที่แต่ละปัจจัยเกิดขึ้นในการขยาย เลือกรายการที่ตัวคูณเกิดขึ้นเป็นจำนวนครั้งสูงสุด และวงกลมที่นี่ ตัวอย่างเช่น หมายเลข 2 เกิดขึ้นหนึ่งครั้งในการขยายสำหรับ 126 และสองครั้งในรายการสำหรับ 84 ดังนั้น วงกลม 2x2ในรายการตัวคูณที่สอง
      • ทำซ้ำการกระทำนี้สำหรับตัวคูณแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น 3 เกิดขึ้นบ่อยขึ้นในการขยายครั้งแรก ดังนั้นจงวงกลมมัน 3x3. เลข 7 ปรากฏครั้งเดียวในทั้งสองรายการ ดังนั้น วงกลม 7 (ไม่สำคัญว่าจะอยู่ในรายการใด หากปัจจัยที่กำหนดเกิดขึ้นในทั้งสองรายการ จำนวนครั้งเท่ากัน)
      • หากต้องการหา LCM ให้คูณตัวเลขในวงกลมทั้งหมด ในตัวอย่างของเรา ตัวคูณร่วมน้อยของ 126 และ 84 คือ 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. นี่คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 126 และ 84 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ.

   4. ใช้ LCM ในการบวกเศษส่วนเวลาบวกเศษส่วนสองส่วน คุณต้องนำเศษส่วนมาหารด้วยตัวส่วนร่วม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค้นหา LCM ของตัวส่วนสองตัว จากนั้นคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยจำนวนที่ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับ LCM หลังจากนั้นคุณสามารถเพิ่มเศษส่วนได้

      • ตัวอย่างเช่น คุณต้องหาผลรวมของ 1 / 6 + 4 / 21 .
      • โดยใช้วิธีการข้างต้น คุณจะพบ LCM สำหรับ 6 และ 21 ซึ่งเท่ากับ 42
      • แปลงเศษส่วน 1/6 เพื่อให้ตัวส่วนเป็น 42 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร 42 ด้วย 6: 42 ÷ 6 = 7 ทีนี้คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 7: 1/6 x 7/7 = 7/ 42.
      • เมื่อต้องการนำเศษส่วนที่สองไปยังตัวส่วน 42 ให้หาร 42 ด้วย 21: 42 ÷ 21 = 2 คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42
      • หลังจากที่เศษส่วนถูกลดตัวลงเป็นตัวส่วนเดียวกัน ก็สามารถบวกเข้าไปได้อย่างง่ายดาย: 7/42 + 8/42 = 15/42

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1050 = 2 3 5 5 7 .

สำหรับตัวเลขขนาดเล็กการสลายตัวนี้ง่าย จะทำบนพื้นฐานตารางสูตรคูณ สำหรับจำนวนมาก เราแนะนำให้ใช้วิธีการต่อไปนี้ ซึ่งเราจะพิจารณาใช้ตัวอย่างเฉพาะ ลองแยกตัวประกอบจำนวน 1463 กัน. ในการทำเช่นนี้ ใช้ตารางจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

เราจัดเรียงตัวเลขในตารางนี้และหยุดที่ตัวเลขที่เป็นตัวหารของตัวเลขนี้ ในตัวอย่างของเรา นี่คือ 7 เราหาร 1463 ด้วย 7 และรับ 209 ตอนนี้ เราทำซ้ำกระบวนการจัดเรียงตามจำนวนเฉพาะสำหรับ 209 และหยุดที่หมายเลข 11 ซึ่งเป็นตัวหาร (ดู) เราหาร 209 ด้วย 11 และเราได้ 19 ซึ่งตามตารางเดียวกัน เป็นจำนวนเฉพาะ ทางนี้, เรามี:

มาแยกเลข 120 เป็นตัวประกอบสำคัญกัน

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

สารละลาย
มาขยายจำนวน 120 . กันเถอะ

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
30: 2 = 15 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
15: 3 = 5
เราทำการหารจนเสร็จ เนื่องจาก 5 เป็นจำนวนเฉพาะ

คำตอบ: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5

มาแยกเลข 246 เป็นตัวประกอบสำคัญกัน

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

สารละลาย
มาขยายเลข 246 . กันเถอะ เป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นเป็นสีเขียว เราเริ่มเลือกตัวหารจากจำนวนเฉพาะ เริ่มจากจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด 2 จนกระทั่งผลหารเป็นจำนวนเฉพาะ

246: 2 = 123 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
123: 3 = 41 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 3 ลงตัว
เราทำการหารจนเสร็จ เนื่องจาก 41 เป็นจำนวนเฉพาะ

คำตอบ: 246 = 2 ∙ 3 ​​​​∙ 41

มาแยกเลข 1463 เป็นตัวประกอบสำคัญกัน

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

สารละลาย
มาขยายเลข1463 เป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นเป็นสีเขียว เราเริ่มเลือกตัวหารจากจำนวนเฉพาะ เริ่มจากจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด 2 จนกระทั่งผลหารเป็นจำนวนเฉพาะ

1463: 7 = 209 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 7 . ลงตัว
209: 11 = 19
เราทำการหารจนเสร็จ เนื่องจาก 19 เป็นจำนวนเฉพาะ

คำตอบ: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

มาแยกเลข 1268 เป็นตัวประกอบสำคัญกัน

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

สารละลาย
มาขยายเลข1268 .กันเถอะ เป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นเป็นสีเขียว เราเริ่มเลือกตัวหารจากจำนวนเฉพาะ เริ่มจากจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด 2 จนกระทั่งผลหารเป็นจำนวนเฉพาะ

1268: 2 = 634 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
634: 2 = 317 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 ลงตัว
เราทำการหารจนเสร็จ เนื่องจาก 317 เป็นจำนวนเฉพาะ

คำตอบ: 1268 = 2 2 317

มาแยกเลข 442464 เป็นตัวประกอบสำคัญ

442464

สารละลาย
มาขยายเบอร์ 442464 . กันเถอะ เป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นเป็นสีเขียว เราเริ่มเลือกตัวหารจากจำนวนเฉพาะ เริ่มจากจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด 2 จนกระทั่งผลหารเป็นจำนวนเฉพาะ

442464: 2 = 221232 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
221232: 2 = 110616 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
110616: 2 = 55308 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
55308: 2 = 27654 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
27654: 2 = 13827 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2 . ลงตัว
13827: 3 = 4609 - หารด้วยจำนวนเฉพาะ 3
4609: 11 = 419 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 11 ลงตัว
เราทำการหารจนเสร็จ เนื่องจาก 419 เป็นจำนวนเฉพาะ

คำตอบ: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้ มีหลายวิธีในการสลายตัว ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน

วิธีแยกตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะในวิธีที่สะดวกที่สุด? ลองพิจารณาว่าจะทำอย่างไรให้ดีขึ้นโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง. 1) แยกจำนวน 1400 เป็นตัวประกอบเฉพาะ

1400 หารด้วย 2. ลงตัว 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ไม่ต้องแยกตัวประกอบ. เราได้ 700 เราหารด้วย 2 เราได้ 350 นอกจากนี้เรายังหาร 350 ด้วย 2 ผลลัพธ์ที่ได้ 175 หารด้วย 5. ผลลัพธ์คือ z5 - เราหารด้วย 5 อีกครั้ง รวม - 7 ได้เท่านั้น หารด้วย 7 เราได้ 1 หารเสร็จแล้ว

จำนวนเดียวกันสามารถแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้แตกต่างกัน:

1400 หารด้วย 10 อย่างสะดวก 10 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จึงต้องแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ: 10=2∙5 ผลลัพธ์คือ 140 เราหารด้วย 10=2∙5 อีกครั้ง เราได้ 14 ถ้า 14 หารด้วย 14 ก็ควรถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะ: 14=2∙7

ดังนั้นเราจึงมาถึงการสลายตัวแบบเดียวกับในกรณีแรก แต่เร็วกว่า

สรุป: เมื่อสลายตัวเลข ไม่จำเป็นต้องหารด้วยตัวหารเฉพาะ เราหารด้วยสิ่งที่สะดวกกว่า เช่น ด้วย 10 เราแค่ต้องจำไว้ว่าให้แยกตัวหารแบบผสมเป็นตัวประกอบอย่างง่าย

2) แยกจำนวน 1620 เป็นปัจจัยเฉพาะ

จำนวน 1620 หารด้วย 10 อย่างสะดวกที่สุด เนื่องจาก 10 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เราจึงแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ: 10=2∙5 เราได้ 162 หารด้วย 2 ได้สะดวก ผลลัพธ์คือ 81 เลข 81 หารด้วย 3 ได้ แต่ 9 สะดวกกว่า เนื่องจาก 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เราจึงแยกเป็น 9=3∙3 เราได้ 9 เรายังหารมันด้วย 9 และสลายมันเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ