พูดง่ายๆ ก็คือ ผักที่ปรุงในน้ำตามสูตรพิเศษ ฉันจะพิจารณาสององค์ประกอบเริ่มต้น (สลัดผักและน้ำ) และผลลัพธ์ที่ได้คือ Borscht ในเชิงเรขาคณิต นี่สามารถแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยที่ด้านหนึ่งหมายถึงผักกาดหอม อีกด้านหนึ่งหมายถึงน้ำ ผลรวมของทั้งสองข้างนี้จะแสดงถึง Borscht เส้นทแยงมุมและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า "บอร์ชท์" เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่เคยใช้ในสูตรบอร์ชท์

ผักกาดหอมและน้ำกลายเป็น Borscht ในแง่ของคณิตศาสตร์ได้อย่างไร ผลรวมของสองส่วนจะกลายเป็นตรีโกณมิติได้อย่างไร? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีฟังก์ชันมุมเชิงเส้น

คุณจะไม่พบอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันมุมเชิงเส้นในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ แต่หากไม่มีพวกเขา ก็ไม่มีคณิตศาสตร์ กฎของคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับกฎธรรมชาติ ทำงานไม่ว่าเราจะรู้ว่ามีอยู่จริงหรือไม่ก็ตาม

ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นคือกฎของการบวกดูว่าพีชคณิตเปลี่ยนเป็นเรขาคณิตได้อย่างไร และเรขาคณิตเปลี่ยนเป็นตรีโกณมิติได้อย่างไร

เป็นไปได้ไหมที่จะทำโดยไม่มีฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น? คุณสามารถทำได้เพราะนักคณิตศาสตร์ยังคงจัดการได้โดยไม่มีพวกเขา เคล็ดลับของนักคณิตศาสตร์อยู่ที่การที่พวกเขามักจะบอกเราเกี่ยวกับปัญหาที่พวกเขาแก้ได้ด้วยตัวเองเท่านั้น และไม่เคยบอกเราเกี่ยวกับปัญหาที่พวกเขาแก้ไม่ได้ ดู. หากเราทราบผลลัพธ์ของการบวกและเทอมหนึ่ง เราจะใช้การลบเพื่อหาอีกเทอมหนึ่ง ทุกอย่าง. เราไม่ทราบปัญหาอื่น ๆ และเราไม่สามารถแก้ไขได้ จะทำอย่างไรถ้าเรารู้เพียงผลลัพธ์ของการบวกและไม่รู้ทั้งสองคำ? ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการบวกจะต้องแยกออกเป็นสองพจน์โดยใช้ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น นอกจากนี้ เราเองก็เลือกพจน์หนึ่งที่สามารถเป็นได้ และฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นแสดงว่าเทอมที่สองควรเป็นเท่าใด เพื่อให้ผลลัพธ์ของการบวกกลายเป็นสิ่งที่เราต้องการอย่างแท้จริง สามารถมีจำนวนคู่ของเงื่อนไขดังกล่าวได้เป็นอนันต์ วี ชีวิตประจำวันเราทำได้ดีมากโดยไม่แยกย่อยผลรวม การลบก็เพียงพอแล้วสำหรับเรา แต่ที่ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์กฎธรรมชาติ การสลายตัวของผลรวมเป็นเงื่อนไขมีประโยชน์มาก

กฎการบวกอีกข้อที่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบพูดถึง (เคล็ดลับอีกอย่างของพวกเขา) กำหนดให้เงื่อนไขต้องมีหน่วยวัดเหมือนกัน สำหรับผักกาดหอม น้ำ และบอร์ช อาจเป็นหน่วยน้ำหนัก ปริมาตร ต้นทุน หรือหน่วยวัด

รูปแสดงความแตกต่างสองระดับสำหรับคณิตศาสตร์ ระดับแรกคือความแตกต่างในด้านตัวเลขซึ่งระบุไว้ เอ, ข, ค. นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ ระดับที่สองคือความแตกต่างในพื้นที่ของหน่วยวัดซึ่งแสดงในวงเล็บเหลี่ยมและระบุด้วยตัวอักษร ยู. นี่คือสิ่งที่นักฟิสิกส์ทำ เราสามารถเข้าใจระดับที่สาม - ความแตกต่างในขอบเขตของวัตถุที่อธิบายไว้ วัตถุที่แตกต่างกันสามารถมีจำนวนหน่วยวัดเท่ากันได้ เรื่องนี้สำคัญแค่ไหน เราสามารถเห็นได้จากตัวอย่างตรีโกณมิติ Borscht หากเราเพิ่มตัวห้อยลงในสัญกรณ์เดียวกันสำหรับหน่วยการวัดของวัตถุต่างๆ เราสามารถพูดได้อย่างชัดเจนว่าปริมาณทางคณิตศาสตร์ใดที่อธิบายวัตถุนั้น ๆ และการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปหรือเกี่ยวข้องกับการกระทำของเราอย่างไร จดหมาย Wฉันจะทำเครื่องหมายน้ำด้วยตัวอักษร สฉันจะทำเครื่องหมายสลัดด้วยตัวอักษร บี- บอร์ช นี่คือหน้าตาของฟังก์ชันมุมเชิงเส้นของบอร์ชท์

ถ้าเรานำน้ำบางส่วนและบางส่วนของสลัดมารวมกันจะกลายเป็น Borscht หนึ่งเสิร์ฟ ที่นี่ฉันแนะนำให้คุณหยุดพักจาก Borscht และระลึกถึงวัยเด็กอันห่างไกลของคุณ จำได้ไหมว่าเราถูกสอนให้รวมกระต่ายกับเป็ดเข้าด้วยกันได้อย่างไร? จำเป็นต้องค้นหาว่าจะมีสัตว์กี่ตัว แล้วเราถูกสอนให้ทำอะไร? เราถูกสอนให้แยกหน่วยจากตัวเลขและบวกตัวเลข ใช่ คุณสามารถเพิ่มหมายเลขใด ๆ ลงในหมายเลขอื่นได้ เป็นทางตรงสู่ออทิสติก คณิตศาสตร์สมัยใหม่- เราไม่เข้าใจว่าอะไร ไม่ชัดเจนว่าทำไม และเราเข้าใจได้ไม่ดีนักว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความเป็นจริงอย่างไร เนื่องจากความแตกต่างสามระดับ นักคณิตศาสตร์จึงดำเนินการเพียงระดับเดียวเท่านั้น จะถูกต้องมากขึ้นในการเรียนรู้วิธีการย้ายจากหน่วยการวัดหนึ่งไปยังอีกหน่วยหนึ่ง

และกระต่าย เป็ด และสัตว์เล็กๆ ก็สามารถแบ่งได้เป็นชิ้นๆ หน่วยวัดทั่วไปหนึ่งหน่วยสำหรับวัตถุต่างๆ ช่วยให้เรารวมเข้าด้วยกันได้ นี่เป็นปัญหารุ่นเด็ก ลองดูปัญหาที่คล้ายกันสำหรับผู้ใหญ่ คุณจะได้อะไรเมื่อคุณเพิ่มกระต่ายและเงิน? มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สองวิธีที่นี่

ตัวเลือกแรก. เรากำหนดมูลค่าตลาดของกระต่ายและเพิ่มเป็นเงินสดที่มีอยู่ เราได้รับมูลค่ารวมของความมั่งคั่งของเราในแง่ของเงิน

ตัวเลือกที่สอง. คุณสามารถเพิ่มจำนวนกระต่ายในจำนวนธนบัตรที่เรามีได้ เราจะได้จำนวนสังหาริมทรัพย์เป็นชิ้นๆ

อย่างที่คุณเห็น กฎการบวกเดียวกันอนุญาตให้คุณได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราต้องการทราบ

แต่กลับไปที่ Borscht ของเรา ตอนนี้เราสามารถเห็นสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ ความหมายต่างกันมุมของฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น

มุมเป็นศูนย์ มีสลัดแต่ไม่มีน้ำ เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ ปริมาณ Borscht ยังเป็นศูนย์ นี่ไม่ได้หมายความว่าศูนย์ Borscht เท่ากับศูนย์น้ำ Zero borsch สามารถเป็นศูนย์สลัดได้ (มุมขวา)

สำหรับฉันเป็นการส่วนตัว นี่คือข้อพิสูจน์หลักทางคณิตศาสตร์ว่า ศูนย์ไม่เปลี่ยนหมายเลขเมื่อเพิ่ม นี่เป็นเพราะการเพิ่มตัวเองเป็นไปไม่ได้ถ้ามีเพียงหนึ่งเทอมและไม่มีเทอมที่สอง คุณสามารถเชื่อมโยงสิ่งนี้ได้ตามที่คุณต้องการ แต่จำไว้ - การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่มีศูนย์นั้นถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์เอง ดังนั้นให้ทิ้งตรรกะของคุณและยัดเยียดคำจำกัดความที่นักคณิตศาสตร์คิดค้นขึ้นอย่างโง่เขลา: "การหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้", "จำนวนใด ๆ ที่คูณด้วยศูนย์ เท่ากับศูนย์" , "หลังจุดศูนย์" และเรื่องไร้สาระอื่นๆ พอจะจำได้เมื่อศูนย์ไม่ใช่ตัวเลขและคุณจะไม่มีคำถามว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่เพราะคำถามดังกล่าวโดยทั่วไปจะสูญเสียความหมายทั้งหมด: เราจะพิจารณาตัวเลขที่ไม่ใช่ตัวเลขได้อย่างไร . มันเหมือนกับการถามว่าสีอะไรเป็นแอตทริบิวต์สีที่มองไม่เห็น การเพิ่มศูนย์ให้กับตัวเลขก็เหมือนกับการระบายสีที่ไม่มีอยู่จริง พวกเขาโบกแปรงแห้งและบอกทุกคนว่า "เราทาสีแล้ว" แต่ฉันพูดเพ้อเจ้อเล็กน้อย

มุมมีค่ามากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าสี่สิบห้าองศา ผักสลัดมีเยอะแต่น้ำน้อย เป็นผลให้เราได้รับ Borscht หนา

มุมคือสี่สิบห้าองศา เรามีน้ำและผักกาดหอมในปริมาณที่เท่ากัน นี่คือ Borscht ที่สมบูรณ์แบบ (ขอให้พ่อครัวยกโทษให้ฉันมันเป็นแค่คณิตศาสตร์)

มุมมีค่ามากกว่าสี่สิบห้าองศาแต่น้อยกว่าเก้าสิบองศา เรามีน้ำเยอะและผักกาดน้อย รับของเหลว Borscht

มุมฉาก. เรามีน้ำ เหลือแต่ความทรงจำของผักกาดหอม เมื่อเราวัดมุมจากเส้นที่เคยทำเครื่องหมายผักกาดหอมต่อไป เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ ปริมาณ Borscht เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ให้ถือและดื่มน้ำในขณะที่มี)))

ที่นี่. บางอย่างเช่นนี้ ฉันสามารถเล่าเรื่องอื่น ๆ ที่นี่ที่จะเกินความเหมาะสมได้ที่นี่

เพื่อนทั้งสองมีส่วนแบ่งในธุรกิจร่วมกัน หลังจากการสังหารหนึ่งในนั้น ทุกสิ่งทุกอย่างก็ไปสู่อีกคนหนึ่ง

การเกิดขึ้นของคณิตศาสตร์บนโลกของเรา

เรื่องราวทั้งหมดนี้เล่าในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น คราวหน้าผมจะแสดงให้คุณเห็นตำแหน่งที่แท้จริงของฟังก์ชันเหล่านี้ในโครงสร้างของคณิตศาสตร์ ในระหว่างนี้ ให้กลับไปที่ตรีโกณมิติของ Borscht และพิจารณาการคาดคะเน

วันเสาร์ที่ 26 ตุลาคม 2019

วันพุธที่ 7 สิงหาคม 2019

เมื่อจบการสนทนาเกี่ยวกับ เราต้องพิจารณาเซตอนันต์ ให้แนวคิดว่า "อินฟินิตี้" มีผลกับนักคณิตศาสตร์ เหมือนงูเหลือมบนกระต่าย ความน่ากลัวที่สั่นไหวของอินฟินิตี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ขาดสามัญสำนึก นี่คือตัวอย่าง:

แหล่งที่มาเดิมตั้งอยู่ อัลฟ่าหมายถึงจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นระบุว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์ให้กับอนันต์ ไม่มีอะไรจะเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์จะเป็นอนันต์เดียวกัน หากเราใช้เซตจำนวนนับไม่ถ้วนเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้:

เพื่อพิสูจน์กรณีของพวกเขาด้วยสายตา นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดมาจากความจริงที่ว่าห้องพักบางห้องไม่ได้ถูกครอบครองและมีแขกใหม่เข้ามาตั้งรกราก หรือแขกบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (อย่างมนุษย์ปุถุชน) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันขึ้นอยู่กับอะไร? การย้ายผู้เข้าชมจำนวนไม่ จำกัด ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ หลังจากที่เราออกจากห้องพักแขกห้องแรกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาอาจถูกมองข้ามไปอย่างโง่เขลา แต่สิ่งนี้จะมาจากหมวดหมู่ของ "กฎหมายไม่ได้เขียนขึ้นสำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: การปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

"โรงแรมไม่มีที่สิ้นสุด" คืออะไร? อินน์แบบอินฟินิตี้คือโรงแรมขนาดเล็กที่มีจำนวนตำแหน่งว่างเสมอ ไม่ว่าจะมีห้องว่างกี่ห้องก็ตาม หากห้องทั้งหมดในโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุด "สำหรับผู้มาเยี่ยม" ถูกครอบครอง มีโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกแห่งที่มีห้องสำหรับ "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุด ในเวลาเดียวกัน "โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด" มีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนไม่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนอนันต์ในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยพระเจ้าจำนวนอนันต์ ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถย้ายออกจากปัญหาซ้ำซากจำเจในแต่ละวัน: พระเจ้าอัลลอฮ์ - พระพุทธเจ้าเป็นเพียงแห่งเดียวเสมอ โรงแรมเป็นหนึ่ง ทางเดินเป็นเพียงแห่งเดียว ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงพยายามเล่นปาหี่เลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่าเป็นไปได้ที่จะ "ผลักห้องที่ยังไม่ได้ผลัก"

ฉันจะสาธิตตรรกะของการให้เหตุผลกับคุณโดยใช้ตัวอย่างชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์ ก่อนอื่น คุณต้องตอบคำถามง่ายๆ ก่อน: มีชุดจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งชุดหรือหลายชุด ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราเป็นผู้คิดค้นตัวเลขขึ้นมาเอง จึงไม่มีตัวเลขในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติรู้วิธีนับอย่างสมบูรณ์แบบ แต่สำหรับสิ่งนี้ เธอใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ตามที่ธรรมชาติคิด ฉันจะบอกคุณอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลข เราเองจะเป็นผู้กำหนดจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่จำนวนกี่ชุด พิจารณาทั้งสองทางเลือก เนื่องจากเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง "ให้เราได้รับ" ชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวที่วางอยู่บนหิ้งอย่างสงบ เรานำชุดนี้จากชั้นวาง แค่นั้นแหละ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่น ๆ เหลืออยู่บนหิ้งและไม่มีที่ไหนเลยที่จะนำไปใช้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งชุดในชุดนี้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว ถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถนำหน่วยจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วกลับไปที่หิ้งได้ หลังจากนั้นเราสามารถนำหน่วยจากชั้นวางและเพิ่มไปยังสิ่งที่เราเหลือได้ เป็นผลให้เราได้รับชุดจำนวนธรรมชาติที่ไม่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนการปรับเปลี่ยนทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันได้เขียนการดำเนินการในรูปแบบพีชคณิตและสัญกรณ์ทฤษฎีเซต โดยแสดงรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าชุดของจำนวนธรรมชาติจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อถูกลบออกจากมันและเพิ่มจำนวนเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดตัวเลขธรรมชาติมากมายหลายชุดบนหิ้ง ฉันขอเน้นย้ำว่า - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกก็ตาม เราใช้หนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำตัวเลขธรรมชาติชุดหนึ่งมาบวกกับชุดที่เราถ่ายไปแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้อีกด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มชุดหนึ่งไปยังชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์จะเป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วย แต่จะไม่เหมือนกับชุดเดิม หากมีการเพิ่มชุดอนันต์ชุดหนึ่งไปยังชุดอนันต์ชุดอื่น ผลลัพธ์จะเป็นชุดอนันต์ชุดใหม่ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของสองชุดแรก

ชุดของตัวเลขธรรมชาติใช้สำหรับการนับในลักษณะเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณได้บวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัดแล้ว นี่จะเป็นบรรทัดอื่นแล้วไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉัน - นี่คือธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาว่าคุณกำลังอยู่บนเส้นทางของการใช้เหตุผลผิดๆ หรือไม่ ซึ่งถูกเหยียบย่ำโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่น ท้ายที่สุด ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ อย่างแรกเลย สร้างแบบแผนที่มั่นคงของการคิดในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตให้กับเรา (หรือในทางกลับกัน พวกเขากีดกันการคิดอย่างอิสระ)

pozg.ru

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับและเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีที่ร่ำรวยของคณิตศาสตร์ของบาบิโลนไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนเป็นชุดของเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหน และมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด การที่เรามองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันนั้นยังอ่อนแออยู่หรือไม่? การถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย โดยส่วนตัว ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้:

พื้นฐานทางทฤษฎีที่เข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดขนาดให้เป็นชุดของส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มีภาษาและอนุสัญญาที่แตกต่างจากภาษาและอนุสัญญาของสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย ชื่อเดียวกันในสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกัน ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เจอกันเร็วๆนี้.

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณต้องป้อนหน่วยวัดใหม่ ซึ่งมีอยู่ในองค์ประกอบบางอย่างของชุดที่เลือก ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง.

ขอให้มีกันเยอะๆนะครับ อาประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้สร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" มากำหนดองค์ประกอบของชุดนี้ผ่านตัวอักษร เอตัวห้อยที่มีตัวเลขจะแสดงเลขลำดับของแต่ละคนในชุดนี้ มาแนะนำหน่วยวัดใหม่ "ลักษณะทางเพศ" และแสดงด้วยตัวอักษร ข. เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบของชุด อาเกี่ยวกับเพศ ข. สังเกตว่าชุด "คน" ของเราตอนนี้กลายเป็นชุด "คนที่มีเพศ" แล้ว หลังจากนั้นเราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศเป็นเพศชายได้ bmและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้ เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่สำคัญว่าตัวผู้หรือตัวเมียตัวใด หากมีอยู่ในบุคคล เราก็คูณมันด้วยหนึ่ง ถ้าไม่มีเครื่องหมายดังกล่าว เราจะคูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนตามปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราได้ชุดย่อยสองชุด: ชุดย่อยเพศผู้ bmและส่วนย่อยของผู้หญิง bw. ในทำนองเดียวกันนักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ให้เราลงรายละเอียด แต่ให้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์แก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและกลุ่มย่อยของผู้หญิง" โดยปกติคุณอาจมีคำถามว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ในการแปลงข้างต้นได้ถูกต้องเพียงใด? ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าอันที่จริงการแปลงนั้นทำถูกต้องแล้ว การรู้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตบูลีน และส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? คราวหน้าจะเล่าให้ฟังค่ะ

สำหรับ supersets เป็นไปได้ที่จะรวมสองชุดเป็น superset เดียวโดยเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของสองชุดนี้

อย่างที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นอดีตไปแล้ว สัญญาณที่บ่งบอกว่าทฤษฎีเซตไม่ดีนักก็คือนักคณิตศาสตร์ได้ใช้ภาษาและสัญกรณ์สำหรับทฤษฎีเซตขึ้นมาเอง นักคณิตศาสตร์ทำในสิ่งที่หมอผีเคยทำ หมอผีเท่านั้นที่รู้วิธี "ใช้" อย่าง "ถูกต้อง" อย่าง "ความรู้" "ความรู้" นี้สอนเรา

สุดท้ายนี้ ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการอย่างไร

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกชื่อ Zeno แห่ง Elea ได้คิดค้น aporias ที่มีชื่อเสียงของเขา ซึ่งมีชื่อเสียงมากที่สุดคือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือเสียง:

สมมติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่า

เหตุผลนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นหลังทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... ทั้งหมดนี้ถือว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ถือว่าอาพอเรียของซีโน ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีใครกลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะปกติของเรานำเราไปสู่กับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะค่อยๆ ช้าลงจนหยุดนิ่งในขณะที่ Achilles ไล่ตามเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละส่วนจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะแซงเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยของเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนเป็นค่าส่วนกลับ ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก จุดอ่อนจะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้ Achilles เร็วกว่าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีข้อขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจเทียบได้นั้นคล้ายกับคำว่าอคิลลีสกับเต่าของซีโนมาก เรายังไม่ได้ศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างของ Zeno เล่าถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากในแต่ละช่วงเวลามันหยุดนิ่ง และเนื่องจากมันหยุดนิ่งในทุกช่วงเวลา มันจึงหยุดนิ่งอยู่เสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะอย่างง่ายดาย - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว มีจุดอื่นที่จะสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายรถหนึ่งภาพบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศพร้อมกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่จากจุดเหล่านั้นได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) . สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นโดยเฉพาะคือจุดสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน
ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่าง เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในเวลาเดียวกันเราจะเห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีคันธนูและไม่มีคันธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "ด้วยธนู" นี่คือวิธีที่หมอดูเลี้ยงตัวเองโดยเชื่อมโยงทฤษฎีเซตกับความเป็นจริง

ตอนนี้มาทำเคล็ดลับเล็กน้อย ลองใช้ "ก้อนสิวด้วยธนู" และรวม "ทั้งหมด" เหล่านี้ด้วยสีโดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้เป็นคำถามที่ยาก: ชุดที่ได้รับ "พร้อมคันธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดต่างกันหรือไม่ หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตนั้นไร้ประโยชน์อย่างสิ้นเชิงเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "สิวสีแดงที่มีธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นตามหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง), ความแข็งแรง (ของแข็ง), ความหยาบ (เป็นรอย), ของประดับตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดของหน่วยวัดเท่านั้นที่ทำให้สามารถอธิบายวัตถุจริงในภาษาของคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ. นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยวัดที่ต่างกัน ในวงเล็บ จะเน้นหน่วยของการวัดตามที่มีการจัดสรร "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้น หน่วยวัดตามที่ตั้งชุดนั้นถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา หมอผีสามารถ "โดยสัญชาตญาณ" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์แบบเดียวกัน โดยโต้แย้งด้วย "ความชัดเจน" เนื่องจากหน่วยการวัดไม่รวมอยู่ในคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

ด้วยความช่วยเหลือของหน่วยการวัด มันง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซุปเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

ประวัติศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติเริ่มขึ้นในสมัยดึกดำบรรพ์ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนนับสิ่งของ ตัวอย่างเช่น ในการค้าขาย จำเป็นต้องมีบัญชีสินค้าโภคภัณฑ์ หรือในการก่อสร้าง บัญชีวัสดุ ใช่ แม้กระทั่งในชีวิตประจำวัน ฉันต้องนับสิ่งของ ผลิตภัณฑ์ ปศุสัตว์ ในตอนแรก ตัวเลขถูกใช้สำหรับการนับในชีวิตเท่านั้น ในทางปฏิบัติ แต่ต่อมาด้วยการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ พวกมันจึงกลายเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์

จำนวนเต็มคือตัวเลขที่เราใช้นับสิ่งของ

ตัวอย่างเช่น: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

ศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดหรือที่เรียกว่าชุดของตัวเลขธรรมชาตินั้นแสดงด้วยสัญลักษณ์ N

ตารางตัวเลขธรรมชาติ

แถวธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติที่เขียนจากน้อยไปหามากในรูปแบบแถว ซีรีย์ธรรมชาติหรือ ชุดของจำนวนธรรมชาติ

คุณสมบัติของชุดธรรมชาติ:

• จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคือหนึ่ง
• ในอนุกรมธรรมชาติ ตัวเลขถัดไปจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าทีละตัว (1, 2, 3, …) จะใช้สามจุดหรือสามจุดหากไม่สามารถเรียงลำดับตัวเลขได้สำเร็จ
• ซีรีย์ธรรมชาติไม่มีจำนวนที่มากที่สุด มันคืออนันต์

ตัวอย่าง # 1:
เขียนตัวเลขธรรมชาติ 5 ตัวแรก
สารละลาย:
ตัวเลขธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหนึ่ง
1, 2, 3, 4, 5

ตัวอย่าง #2:
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่?
คำตอบ: ไม่

ตัวอย่าง #3:
หมายเลขแรกในอนุกรมธรรมชาติคืออะไร?
คำตอบ: จำนวนธรรมชาติเริ่มต้นด้วยหนึ่ง

ตัวอย่าง #4:
ตัวเลขสุดท้ายในอนุกรมธรรมชาติคืออะไร? จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร?
คำตอบ: จำนวนธรรมชาติเริ่มจากหนึ่ง ตัวเลขถัดไปแต่ละตัวมีค่ามากกว่าตัวก่อนหน้าทีละตัว ดังนั้นจึงไม่มีหมายเลขสุดท้าย ตัวเขาเอง จำนวนมากไม่.

ตัวอย่าง #5:
หน่วยในอนุกรมธรรมชาติมีตัวเลขก่อนหน้าหรือไม่?
คำตอบ: ไม่ เพราะหนึ่งคือตัวเลขแรกในอนุกรมธรรมชาติ

ตัวอย่าง #6:
ตั้งชื่อหมายเลขถัดไปในอนุกรมธรรมชาติตามตัวเลข: a) 5, b) 67, c) 9998
คำตอบ: ก) 6, ข) 68, ค) 9999

ตัวอย่าง #7:
จำนวนตัวเลขที่อยู่ในอนุกรมธรรมชาติระหว่างตัวเลข: a) 1 และ 5, b) 14 และ 19
สารละลาย:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - ตัวเลขสามตัวอยู่ระหว่างตัวเลข 1 และ 5
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - ตัวเลขสี่ตัวอยู่ระหว่างตัวเลข 14 และ 19

ตัวอย่าง #8:
ตั้งชื่อหมายเลขก่อนหน้าหลังหมายเลข 11
คำตอบ: 10.

ตัวอย่าง #9:
ใช้ตัวเลขอะไรในการนับวัตถุ?
คำตอบ: ตัวเลขธรรมชาติ

ตัวเลขที่ง่ายที่สุดคือ ตัวเลขธรรมชาติ. ใช้ในชีวิตประจำวันสำหรับการนับ รายการคือ เพื่อคำนวณจำนวนและลำดับ

จำนวนธรรมชาติคืออะไร: ตัวเลขธรรมชาติตั้งชื่อตัวเลขที่ใช้สำหรับ การนับรายการหรือเพื่อระบุหมายเลขลำดับของรายการใด ๆ จากที่เป็นเนื้อเดียวกันทั้งหมดรายการ

จำนวนเต็มเป็นตัวเลขที่เริ่มจากหนึ่ง พวกมันถูกสร้างขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับเช่น 1,2,3,4,5... -ตัวเลขธรรมชาติตัวแรก

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด- หนึ่ง. ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด เมื่อนับเลข ไม่ใช้ศูนย์ ดังนั้นศูนย์จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ

ชุดตัวเลขธรรมชาติคือลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด เขียนตัวเลขธรรมชาติ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ในจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขแต่ละตัวจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าหนึ่งจำนวน

อนุกรมธรรมชาติมีตัวเลขกี่ตัว? อนุกรมธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด

ทศนิยมตั้งแต่ 10 หน่วยของหมวดหมู่ใด ๆ จาก 1 หน่วยของคำสั่งสูงสุด ตำแหน่งดังนั้น ค่าของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งในตัวเลขเช่นไร จากหมวดที่บันทึกไว้

คลาสของจำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้เลขอารบิก 10 ตัว:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

หากต้องการอ่านจำนวนธรรมชาติ ให้แบ่งโดยเริ่มจากด้านขวาออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก 3 ก่อน ตัวเลขทางขวาคือคลาสของหน่วย 3 ถัดไปคือคลาสของหลักพัน จากนั้นคลาสของล้าน พันล้าน และเป็นต้น ตัวเลขแต่ละตัวในคลาสเรียกว่าปล่อย.

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

จากจำนวนธรรมชาติ 2 ตัว จำนวนที่เรียกก่อนหน้านี้ในการนับจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 7 น้อย 11 (เขียนแบบนี้7 < 11 ). เมื่อจำนวนหนึ่งมากกว่าสอง จะเขียนดังนี้:386 > 99 .

ตารางตัวเลขและคลาสของตัวเลข

ยูนิตชั้นหนึ่ง	หลักหน่วยที่ 1 อันดับที่ 2 สิบ อันดับ 3 หลักร้อย
ชั้นสองพัน	หน่วยหลักที่ 1 ของหลักพัน ตัวที่ 2 หลักหมื่น อันดับ 3 หลักแสน
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 ล้าน	หลักที่ 1 ล้าน ตัวที่ 2 หลักสิบล้าน หลัก3หลักร้อยล้าน
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 พันล้าน	หลักที่ 1 พันล้าน หลักที่ 2 หมื่นล้าน หลักที่ 3 แสนล้าน

ตัวเลขตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ขึ้นไปเป็นตัวเลขขนาดใหญ่ หน่วยของชั้นที่ 5 - ล้านล้าน, 6th ชั้น - สี่พันล้าน, ชั้นที่ 7 - quintillions, ชั้นที่ 8 - sextillions, ชั้นที่ 9 -ล้านล้าน คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนธรรมชาติ การเปลี่ยนแปลงของการบวก . a + b = b + a การเปลี่ยนแปลงของการคูณ ab=ba การเชื่อมโยงของการบวก (a + b) + c = a + (b + c) ความสัมพันธ์ของการคูณ การกระจายของการคูณด้วยการบวก: การกระทำกับจำนวนธรรมชาติ 4. การหารจำนวนธรรมชาติเป็นการดำเนินการผกผันกับการคูณ ถ้า ข ∙ c \u003d a, แล้ว สูตรหาร: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (เอ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (เอ∙ b) : c = (b:c) ∙ a นิพจน์ตัวเลขและความเท่าเทียมกันของตัวเลข สัญกรณ์ที่ตัวเลขเชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณการกระทำคือ นิพจน์เชิงตัวเลข. ตัวอย่างเช่น 10∙3+4; (60-2∙5):10. รายการที่เครื่องหมายเท่ากับเชื่อมนิพจน์ตัวเลข 2 นิพจน์คือ ความเท่าเทียมกันทางตัวเลข. ความเท่าเทียมกันมีด้านซ้ายและด้านขวา ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกและการลบตัวเลขเป็นการดำเนินการของดีกรีที่หนึ่ง ในขณะที่การคูณและการหารคือการดำเนินการของดีกรีที่สอง เมื่อนิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยการกระทำเพียงระดับเดียว นิพจน์เหล่านี้จะถูกดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา. เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยการกระทำในระดับที่หนึ่งและสองเท่านั้น การกระทำนั้นจะถูกดำเนินการก่อน ระดับที่สองแล้ว - การกระทำของระดับแรก เมื่อมีวงเล็บในนิพจน์ การดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ตัวอย่างเช่น 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21