คำถามถึงนักวิทยาศาสตร์:— ฉันได้ยินมาว่าผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดคือ −1/12 นี่เป็นกลอุบายบางอย่างหรือเป็นจริง?

การตอบสนองจากบริการกด MIPT- ใช่ ผลลัพธ์ดังกล่าวสามารถรับได้โดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการขยายอนุกรมของฟังก์ชัน

คำถามที่ผู้อ่านถามนั้นค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเราจึงตอบไม่ใช่ด้วยข้อความปกติสำหรับคอลัมน์ "คำถามถึงนักวิทยาศาสตร์" ในหลายย่อหน้า แต่ด้วยความคล้ายคลึงกันของบทความทางคณิตศาสตร์ที่เรียบง่ายมาก

ใน บทความทางวิทยาศาสตร์ในคณิตศาสตร์ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ซับซ้อนบางเรื่องเรื่องราวจะถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วนและในนั้นก็สามารถพิสูจน์ประโยคเสริมต่างๆได้ เราถือว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับหลักสูตรคณิตศาสตร์เกรด 9 อยู่แล้ว ดังนั้นเราจึงขออภัยล่วงหน้าสำหรับผู้ที่พบว่าเรื่องราวง่ายเกินไป ผู้สำเร็จการศึกษาสามารถอ้างอิงถึง http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation ได้ทันที

ผลรวมทั้งหมด

เรามาเริ่มด้วยการพูดถึงวิธีการบวกจำนวนธรรมชาติทั้งหมดกันก่อน จำนวนเต็ม- นี่คือตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุทั้งหมด - เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดและไม่เป็นลบ เป็นตัวเลขธรรมชาติที่เด็กเรียนรู้ก่อน: 1, 2, 3 และอื่นๆ ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะเป็นนิพจน์ในรูปแบบ 1+2+3+... = และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ชุดของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ หรือจะพิสูจน์โดยพลการก็ได้ จำนวนมากคุณสามารถเพิ่มหนึ่งรายการได้ตลอดเวลา หรือแม้แต่คูณตัวเลขนี้ด้วยตัวเอง หรือแม้แต่คำนวณแฟกทอเรียล เห็นได้ชัดว่าคุณจะได้ค่าที่มากกว่า ซึ่งจะเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย

การดำเนินการทั้งหมดที่มีปริมาณมากอย่างไม่สิ้นสุดจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่ตอนนี้เพื่อให้ผู้ที่ยังไม่ผ่านหลักสูตรนี้เข้าใจเรา เราจะทำให้สาระสำคัญง่ายขึ้น สมมุติว่าอนันต์ที่ถูกบวกเข้าไป อนันต์ที่เป็นกำลังสอง หรือแฟกทอเรียลของอนันต์ยังคงเป็นอนันต์ เราสามารถพิจารณาได้ว่าอนันต์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์พิเศษเช่นนี้

และตามกฎของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดภายในภาคการศึกษาแรก ผลรวม 1+2+3+...+อนันต์ก็ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจจากย่อหน้าก่อนหน้า: ถ้าคุณเพิ่มบางสิ่งเข้าไปในอนันต์ มันจะยังคงเป็นอนันต์

อย่างไรก็ตาม ในปี 1913 ศรีนิวาสะ รามานุจัน อิเยนกอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้เก่งกาจที่เรียนรู้ด้วยตนเองและเก่งกาจได้คิดค้นวิธีบวกจำนวนธรรมชาติด้วยวิธีที่ต่างออกไปเล็กน้อย แม้ว่า Ramanujan จะไม่ได้รับการศึกษาพิเศษ แต่ความรู้ของเขาไม่ได้จำกัดอยู่เพียงหลักสูตรของโรงเรียนในปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์รู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของสูตรออยเลอร์-แมคคลอริน ตั้งแต่เธอเล่น บทบาทสำคัญในการเล่าเรื่องเพิ่มเติมเราจะต้องพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมด้วย

สูตรออยเลอร์-แมคคลอริน

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรนี้:

อย่างที่คุณเห็นมันค่อนข้างซับซ้อน ผู้อ่านบางคนอาจข้ามส่วนนี้ทั้งหมด บางคนอาจอ่านหนังสือเรียนที่เกี่ยวข้องหรืออย่างน้อยบทความ Wikipedia และส่วนที่เหลือเราจะแสดงความคิดเห็นสั้นๆ บทบาทสำคัญในสูตรนี้แสดงโดยฟังก์ชันที่กำหนดเอง f(x) ซึ่งสามารถเป็นได้เกือบทุกอย่างตราบเท่าที่มีจำนวนอนุพันธ์เพียงพอ สำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้ (และยังตัดสินใจอ่านสิ่งที่เขียนไว้ที่นี่!) สมมติว่าง่ายกว่านี้อีก - กราฟของฟังก์ชันไม่ควรเป็นเส้นที่หักอย่างรุนแรง ณ จุดใดก็ตาม

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเพื่อทำให้ความหมายของฟังก์ชันง่ายขึ้นคือปริมาณที่แสดงว่าฟังก์ชันเติบโตหรือลดลงเร็วแค่ไหน จากมุมมองทางเรขาคณิต อนุพันธ์คือแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟ

ทางด้านซ้ายของสูตรจะมีผลรวมของแบบฟอร์ม “ค่า f(x) ที่จุด m + ค่า f(x) ที่จุด m+1 + ค่า f(x) ที่จุด m+2 ไปเรื่อยๆ จนถึงจุด m +น” นอกจากนี้ ตัวเลข m และ n ยังเป็นตัวเลขธรรมชาติ จึงควรเน้นย้ำเป็นพิเศษ

ทางด้านขวาเราเห็นคำศัพท์หลายคำ และดูยุ่งยากมาก อันแรก (ลงท้ายด้วย dx) คืออินทิกรัลของฟังก์ชันจากจุด m ถึงจุด n เสี่ยงต่อการได้รับความโกรธเคืองจากทุกคน

เทอมที่สามคือผลรวมของตัวเลขเบอร์นูลลี (B 2k) หารด้วยแฟกทอเรียลของสองเท่าของค่า k และคูณด้วยผลต่างของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด n และ m ยิ่งไปกว่านั้น เพื่อให้เรื่องซับซ้อนยิ่งขึ้น นี่ไม่ได้เป็นเพียงอนุพันธ์ แต่เป็นอนุพันธ์ของลำดับ 2k-1 นั่นคือเทอมที่สามทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:

หมายเลขเบอร์นูลลี B 2 (“2” เนื่องจากสูตรมี 2k และเราเริ่มบวกด้วย k=1) หารด้วยแฟคทอเรียล 2 (ตอนนี้เป็นเพียง 2) แล้วคูณด้วยผลต่างของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (2k-1 โดยมี k=1) ฟังก์ชัน f(x) ที่จุด n และ m

หมายเลขเบอร์นูลลี B 4 (“4” เนื่องจากสูตรมี 2k และ k เท่ากับ 2) หารด้วยแฟกทอเรียล 4 (1×2x3×4=24) และคูณด้วยผลต่างของอนุพันธ์อันดับสาม ( 2k-1 สำหรับ k=2) ฟังก์ชัน f(x) ที่จุด n และ m

เบอร์นูลลีหมายเลข B 6 (ดูด้านบน) หารด้วยแฟกทอเรียล 6 (1×2x3×4x5×6=720) และคูณด้วยผลต่างของอนุพันธ์อันดับห้า (2k-1 สำหรับ k=3) ของฟังก์ชัน f(x ) ที่จุด n และ m

ผลรวมยังคงดำเนินต่อไปจนถึง k=p ตัวเลข k และ p ได้มาจากค่าที่กำหนดเอง ซึ่งเราสามารถเลือกได้หลายวิธี ร่วมกับ m และ n - ตัวเลขธรรมชาติที่จำกัดพื้นที่ที่เรากำลังพิจารณาด้วยฟังก์ชัน f(x) นั่นคือสูตรมีพารามิเตอร์มากถึงสี่ตัวและเมื่อประกอบกับความเด็ดขาดของฟังก์ชัน f(x) จะเปิดขอบเขตมากมายสำหรับการวิจัย

อนิจจา R ที่เจียมเนื้อเจียมตัวที่เหลือไม่ใช่ค่าคงที่ที่นี่ แต่ยังเป็นโครงสร้างที่ค่อนข้างยุ่งยากด้วย ซึ่งแสดงผ่านตัวเลข Bernoulli ที่กล่าวไปแล้วข้างต้น ตอนนี้เป็นเวลาที่จะอธิบายว่ามันคืออะไร มาจากไหน และเหตุใดนักคณิตศาสตร์จึงเริ่มพิจารณานิพจน์ที่ซับซ้อนเช่นนี้

หมายเลขเบอร์นูลลีและการขยายอนุกรม

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีแนวคิดสำคัญเช่น การขยายอนุกรม ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ฟังก์ชันบางอย่างและเขียนมันไม่ได้โดยตรง (เช่น y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x) แต่เป็นผลรวมอนันต์ของชุดคำศัพท์ประเภทเดียวกัน . ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันจำนวนมากสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันกำลังคูณด้วยสัมประสิทธิ์บางอย่าง กล่าวคือ กราฟเชิงซ้อนจะถูกลดทอนเป็นเส้นโค้งเชิงเส้น กำลังสอง ลูกบาศก์... และอื่นๆ

ในทฤษฎีการประมวลผลสัญญาณไฟฟ้า บทบาทที่ยิ่งใหญ่เล่นสิ่งที่เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์ - เส้นโค้งใดๆ ก็ตามสามารถขยายเป็นอนุกรมของไซน์และโคไซน์ได้ ช่วงเวลาที่แตกต่างกัน; การสลายตัวดังกล่าวจำเป็นต่อการแปลงสัญญาณจากไมโครโฟนให้เป็นลำดับของศูนย์และลำดับที่อยู่ภายใน เช่น วงจรอิเล็กทรอนิกส์ของโทรศัพท์มือถือ การขยายอนุกรมยังช่วยให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐานได้ และเมื่อแก้สมการทางกายภาพที่สำคัญที่สุดจำนวนหนึ่งแล้ว จะได้นิพจน์ในรูปแบบของอนุกรม ไม่ใช่ในรูปของการรวมฟังก์ชันที่มีขอบเขตจำกัด

ในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์เริ่มศึกษาทฤษฎีอนุกรมอย่างใกล้ชิด ในเวลาต่อมา สิ่งนี้ทำให้นักฟิสิกส์สามารถคำนวณกระบวนการทำความร้อนของวัตถุต่าง ๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพและแก้ไขปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายที่เราจะไม่พิจารณาที่นี่ เราทราบเพียงว่าในโปรแกรม MIPT เช่นเดียวกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยฟิสิกส์ชั้นนำทุกภาคการศึกษา อย่างน้อยหนึ่งภาคการศึกษาจะเน้นไปที่สมการที่มีการเฉลยในรูปแบบของชุดข้อมูลชุดเดียวหรือชุดอื่น

เจค็อบ เบอร์นูลลีศึกษาปัญหาในการรวมจำนวนธรรมชาติด้วยกำลังเท่ากัน (เช่น 1^6 + 2^6 + 3^6 + ... เป็นต้น) และได้ตัวเลขมาด้วยความช่วยเหลือ ซึ่งฟังก์ชันอื่นๆ จะสามารถขยายออกไปเป็นอนุกรมเลขยกกำลังที่กล่าวถึงได้ ด้านบน - ตัวอย่างเช่น tan(x) แม้ว่าดูเหมือนว่าแทนเจนต์จะไม่ได้คล้ายกับพาราโบลาหรือฟังก์ชันยกกำลังใดๆ มากนัก!

ในเวลาต่อมา พหุนามเบอร์นูลลีพบว่าการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่ในสมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วย โดยทั่วไปสิ่งนี้เป็นสิ่งที่คาดเดาได้ (ท้ายที่สุดแล้ว กระบวนการทางกายภาพจำนวนหนึ่ง เช่น การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนหรือการสลายตัวของนิวเคลียร์ มีสาเหตุมาจากอุบัติเหตุประเภทต่างๆ อย่างชัดเจน) แต่ก็ยังสมควรได้รับการกล่าวถึงเป็นพิเศษ

นักคณิตศาสตร์ใช้สูตรออยเลอร์-แมคคลอรินที่ซับซ้อนเพื่อจุดประสงค์ต่างๆ กัน เนื่องจากในอีกด้านหนึ่งมันมีผลรวมของค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งและในอีกด้านหนึ่งมีอินทิกรัลและการขยายอนุกรมโดยใช้สูตรนี้เราจึงสามารถทำได้ (ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรารู้) วิธีใช้ อินทิกรัลเชิงซ้อน และหาผลรวมของอนุกรม

Srinivasa Ramanujan เกิดแอปพลิเคชันอื่นสำหรับสูตรนี้ เขาแก้ไขมันเล็กน้อยและได้รับสำนวนต่อไปนี้:

เขาเพียงแต่ถือว่า x เป็นฟังก์ชัน f(x) - ให้ f(x) = x นี่เป็นสมมติฐานที่ถูกต้องตามกฎหมายโดยสมบูรณ์ แต่สำหรับฟังก์ชันนี้ อนุพันธ์อันดับหนึ่งจะเท่ากับ 1 และอนุพันธ์อันดับสองและตัวที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์: ถ้าเราแทนที่ทุกอย่างในนิพจน์ข้างต้นอย่างระมัดระวังและหาตัวเลขเบอร์นูลลีที่สอดคล้องกัน เราก็จะได้ −1/ พอดี 12.

แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเองก็มองว่าสิ่งนี้เป็นสิ่งที่ไม่ธรรมดา เนื่องจากเขาไม่เพียงแค่เรียนรู้ด้วยตนเอง แต่มีความสามารถในการเรียนรู้ด้วยตนเอง เขาไม่ได้บอกทุกคนเกี่ยวกับการค้นพบที่เหยียบย่ำรากฐานของคณิตศาสตร์ แต่กลับเขียนจดหมายถึงก็อดฟรีย์ ฮาร์ดี ผู้เชี่ยวชาญที่ได้รับการยอมรับในสาขาทฤษฎีจำนวนทั้งสอง และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จดหมายดังกล่าวมีข้อความว่า Hardy อาจต้องการชี้ผู้เขียนไปที่โรงพยาบาลจิตเวชที่ใกล้ที่สุด แต่แน่นอนว่าผลลัพธ์ไม่ใช่โรงพยาบาล แต่เป็นการทำงานร่วมกัน

พาราด็อกซ์

เมื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น เราได้สิ่งต่อไปนี้: ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะเท่ากับ −1/12 เมื่อใช้สูตรพิเศษที่ช่วยให้คุณสามารถขยายฟังก์ชันตามอำเภอใจเป็นอนุกรมหนึ่งโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่เรียกว่าตัวเลขเบอร์นูลลี อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่า 1+2+3+4 มากกว่า 1+2+3+... ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ใน ในกรณีนี้เรากำลังเผชิญกับความขัดแย้งซึ่งเกิดจากการที่การขยายซีรีส์เป็นการประมาณและทำให้ง่ายขึ้น

เราสามารถยกตัวอย่างความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ที่เรียบง่ายกว่าและมองเห็นได้ชัดเจนกว่ามาก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแสดงออกของสิ่งหนึ่งผ่านสิ่งอื่น ให้เรานำกระดาษหนึ่งแผ่นมาใส่ในกล่องแล้ววาดเส้นขั้นบันไดโดยให้ความกว้างและความสูงของขั้นบันไดเป็นกล่องเดียว เห็นได้ชัดว่าความยาวของเส้นดังกล่าวเท่ากับสองเท่าของจำนวนเซลล์ แต่ความยาวของเส้นทแยงมุมที่ทำให้ "บันได" ตรงนั้นเท่ากับจำนวนเซลล์คูณด้วยรากของสอง ถ้าคุณทำให้บันไดมีขนาดเล็กมาก มันก็จะยังคงมีความยาวเท่าเดิม และเส้นที่ขาดซึ่งแทบจะแยกไม่ออกจากเส้นทแยงมุมนั้น จะเป็นรากที่ใหญ่กว่าเส้นทแยงมุมนั้นถึงสองเท่า! อย่างที่คุณเห็นสำหรับตัวอย่างที่ขัดแย้งกันคุณไม่จำเป็นต้องเขียนสูตรที่ซับซ้อนยาวๆ เลย

สูตรออยเลอร์-แมคคลอริน โดยไม่ต้องคำนึงถึงการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบพิเศษ เป็นการประมาณแบบเดียวกับเส้นขาดแทนที่จะเป็นเส้นตรง เมื่อใช้การประมาณนี้ คุณจะได้ค่า −1/12 เท่าเดิม แต่นี่อาจไม่เหมาะสมและสมเหตุสมผลเสมอไป ในปัญหาหลายประการในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี การคำนวณที่คล้ายกันถูกนำมาใช้ในการคำนวณ แต่นี่คือการวิจัยที่ล้ำสมัยซึ่งยังเร็วเกินไปที่จะพูดถึงการเป็นตัวแทนที่ถูกต้องของความเป็นจริงด้วยนามธรรมทางคณิตศาสตร์ และความคลาดเคลื่อนระหว่างการคำนวณที่แตกต่างกันนั้นค่อนข้างมาก ทั่วไป.

ดังนั้น การประมาณความหนาแน่นของพลังงานสุญญากาศตามทฤษฎีสนามควอนตัมและจากการสังเกตทางดาราศาสตร์จึงแตกต่างกันมากกว่า 120 ลำดับความสำคัญ นั่นคือ 10^120 ครั้ง นี่เป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขของฟิสิกส์ยุคใหม่ สิ่งนี้เผยให้เห็นช่องว่างในความรู้ของเราเกี่ยวกับจักรวาลอย่างชัดเจน หรือปัญหาคือขาดวิธีทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมในการอธิบายโลกรอบตัวเรา นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีร่วมกับนักคณิตศาสตร์กำลังพยายามค้นหาวิธีอธิบายกระบวนการทางกายภาพซึ่งจะไม่เกิดอนุกรมที่แยกจากกัน (ไปสู่อนันต์) แต่นี่ยังห่างไกลจากงานที่ง่ายที่สุด

การนำทางหน้า:

คำนิยาม. จำนวนเต็ม- คือตัวเลขที่ใช้ในการนับ 1, 2, 3, ..., n, ...

เซตของจำนวนธรรมชาติมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ เอ็น(ตั้งแต่ lat. ธรรมชาติ- เป็นธรรมชาติ).

ตัวเลขธรรมชาติในระบบเลขฐานสิบเขียนโดยใช้ตัวเลขสิบหลัก:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

เซตของจำนวนธรรมชาติคือ สั่งชุด, เช่น. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความสัมพันธ์ข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ถือเป็นจริง:

• หรือ m = n (m เท่ากับ n)
• หรือ m > n (m มากกว่า n )
• หรือม< n (m меньше n ).

• เป็นธรรมชาติน้อยที่สุดหมายเลข - หนึ่ง (1)
• ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด.
• ศูนย์ (0) ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ

เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์เนื่องจากสำหรับจำนวน n ใดๆ จะต้องมีจำนวน m ที่มากกว่า n เสมอ

จำนวนธรรมชาติที่อยู่ติดกัน จะเรียกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ n หมายเลขก่อนหน้า nและหมายเลขที่อยู่ทางขวาเรียกว่า ถัดไปหลังจาก n.

การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ

การดำเนินการแบบปิดกับจำนวนธรรมชาติ (การดำเนินการที่ทำให้เกิดจำนวนธรรมชาติ) รวมถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
• การคูณ
• การยกกำลัง a b โดยที่ a เป็นฐาน และ b เป็นเลขชี้กำลัง ถ้าฐานและเลขยกกำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติ

นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาการดำเนินการอีกสองรายการ จากมุมมองที่เป็นทางการ พวกมันจะไม่ดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากผลลัพธ์จะไม่ใช่จำนวนธรรมชาติเสมอไป

• การลบ(ในกรณีนี้ Minuend จะต้องมากกว่า Subtrahend)
• แผนก

ชั้นเรียนและยศ

Place คือตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ของตัวเลขในบันทึกตัวเลข

อันดับต่ำสุดคืออันที่อยู่ทางขวา อันดับที่สำคัญที่สุดคืออันดับทางด้านซ้าย

ตัวอย่าง:

5 - หน่วย, 0 - สิบ, 7 - ร้อย,
2 - พัน 4 - หมื่น 8 - แสน
3-ล้าน 5-สิบล้าน 1-ร้อยล้าน

เพื่อความสะดวกในการอ่าน จำนวนธรรมชาติจะแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก โดยเริ่มจากด้านขวา

ระดับ- กลุ่มตัวเลขสามหลักที่แบ่งตัวเลขโดยเริ่มจากด้านขวา ชั้นเรียนสุดท้ายอาจประกอบด้วยตัวเลขสาม สอง หรือหนึ่งหลัก

• คลาสแรกคือคลาสของหน่วย
• คลาสที่สองคือคลาสหลักพัน
• ชั้นที่สามคือชั้นล้าน
• ชั้นที่สี่คือชั้นพันล้าน
• ชั้นที่ห้า - ชั้นล้านล้าน;
• ชั้นที่หก - ชั้นของ quadrillions (quadrillions);
• ชั้นที่เจ็ดคือชั้นของควินทิลเลียน (ควินทิลเลียน);
• คลาสที่แปด - คลาส sextillion;
• คลาสที่เก้า - คลาสเซทิลเลียน

ตัวอย่าง:

34 - พันล้าน 456 ล้าน 196,000 45

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

1. การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติกับจำนวนหลักที่ต่างกัน

   ในบรรดาจำนวนธรรมชาติ จำนวนที่มีหลักมากกว่าจะมากกว่า

2. การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติที่มีจำนวนหลักเท่ากัน

   เปรียบเทียบตัวเลขทีละนิด โดยเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุด หน่วยที่มีหน่วยมากกว่าในอันดับสูงสุดในชื่อเดียวกันจะยิ่งใหญ่กว่า

ตัวอย่าง:

3466 > 346 - เนื่องจากหมายเลข 3466 ประกอบด้วย 4 หลัก และหมายเลข 346 ประกอบด้วย 3 หลัก

34666 < 245784 - เนื่องจากหมายเลข 34666 ประกอบด้วย 5 หลัก และหมายเลข 245784 ประกอบด้วย 6 หลัก

ตัวอย่าง:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

จำนวนธรรมชาติตัวที่สองที่มีจำนวนหลักเท่ากันจะมากกว่า เนื่องจาก 6 > 2

จำนวนที่ง่ายที่สุดคือ จำนวนธรรมชาติ. พวกมันถูกใช้ใน ชีวิตประจำวันสำหรับการนับ วัตถุเช่น เพื่อคำนวณจำนวนและลำดับ

จำนวนธรรมชาติคืออะไร: ตัวเลขธรรมชาติตั้งชื่อหมายเลขที่ใช้ การนับรายการหรือระบุหมายเลขลำดับของรายการใด ๆ จากที่เป็นเนื้อเดียวกันทั้งหมดรายการ

จำนวนเต็ม- นี่คือตัวเลขที่เริ่มต้นจากหนึ่ง พวกมันถูกสร้างขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับเช่น 1,2,3,4,5... -จำนวนธรรมชาติตัวแรก

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด- หนึ่ง. ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เมื่อนับเลขแล้ว ไม่ได้ใช้ศูนย์ ดังนั้น 0 จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ

ซีรีย์ธรรมชาติตัวเลขคือลำดับของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด การเขียนจำนวนธรรมชาติ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ในชุดข้อมูลทั่วไป แต่ละหมายเลขจะมากกว่าตัวเลขก่อนหน้าทีละตัว

อนุกรมธรรมชาติมีกี่จำนวน? อนุกรมธรรมชาติไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด

ทศนิยมตั้งแต่ 10 หน่วยของหลักใดๆ จะกลายเป็น 1 หน่วยของหลักสูงสุด ตามตำแหน่งแล้ว ความหมายของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขเช่น จากหมวดที่เขียน

คลาสของจำนวนธรรมชาติ

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเขียนได้โดยใช้เลขอารบิค 10 ตัว:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

การอ่านจำนวนธรรมชาติจะแบ่งเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลัก โดยเริ่มจากด้านขวา 3 ก่อน ตัวเลขทางขวาคือคลาสของหน่วย 3 ถัดมาคือคลาสหลักพัน ตามด้วยคลาสล้าน พันล้าน และฯลฯ ตัวเลขของชั้นเรียนแต่ละหลักเรียกว่ามันปล่อย.

การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

ของจำนวนธรรมชาติ 2 ตัว ยิ่งน้อยกว่าคือจำนวนที่ถูกเรียกก่อนหน้าในการนับ ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 7 น้อย 11 (เขียนไว้ดังนี้:7 < 11 ). เมื่อจำนวนหนึ่งมากกว่าจำนวนที่สอง จะเขียนดังนี้:386 > 99 .

ตารางหลักและประเภทของตัวเลข

หน่วยชั้น 1	หลักที่ 1 ของหน่วย หลักที่ 2 หลักสิบ อันดับที่ 3 หลายร้อย
ชั้น2พัน	หลักที่ 1 ของหน่วยพัน หลักที่ 2 หลักหมื่น ประเภทที่ 3 หลักแสน
ชั้น 3 ล้าน	หลักที่ 1 ของหน่วยล้าน ประเภทที่ 2 หลักสิบล้าน ประเภทที่ 3 หลายร้อยล้าน
ชั้น 4 พันล้าน	หลักที่ 1 หน่วยพันล้าน ประเภทที่ 2 หมื่นล้าน ประเภทที่ 3 แสนล้าน

ตัวเลขตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ขึ้นไป ถือเป็นตัวเลขจำนวนมาก หน่วยของชั้นที่ 5 คือล้านล้าน, ชั้นที่ 6 คลาส - สี่ล้านล้าน ชั้นที่ 7 - ควินทิล้าน ชั้นที่ 8 - หกล้านล้าน ชั้นที่ 9 -เอทิลเลี่ยน คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนธรรมชาติ การสับเปลี่ยนของการบวก . ก + ข = ข + ก การสับเปลี่ยนของการคูณ เอบี = บา ความเชื่อมโยงของการบวก (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค) ความสัมพันธ์ของการคูณ การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติ 4. การหารจำนวนธรรมชาติคือการดำเนินการผกผันของการคูณ ถ้า ข ∙ ค = ก, ที่ สูตรสำหรับการหาร: ก: 1 = ก ก: ก = 1, ก ≠ 0 0: ก = 0, ก ≠ 0 (ก∙ ข) : ค = (a:c) ∙ ข (ก∙ ข) : ค = (b:c) ∙ ก นิพจน์เชิงตัวเลขและความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข สัญลักษณ์ที่ตัวเลขเชื่อมต่อกันด้วยสัญลักษณ์การกระทำคือ นิพจน์เชิงตัวเลข. ตัวอย่างเช่น 10∙3+4; (60-2∙5):10. บันทึกที่มีนิพจน์ตัวเลข 2 รายการรวมกับเครื่องหมายเท่ากับ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข. ความเท่าเทียมกันมีด้านซ้ายและขวา ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกและการลบตัวเลขเป็นการดำเนินการในระดับที่ 1 ในขณะที่การคูณและการหารเป็นการดำเนินการในระดับที่ 2 เมื่อนิพจน์ตัวเลขประกอบด้วยการกระทำเพียงระดับเดียว การกระทำเหล่านั้นจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา. เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยการกระทำของระดับที่ 1 และ 2 เท่านั้น การดำเนินการนั้นจะถูกดำเนินการก่อน ระดับที่สองจากนั้น - การกระทำของระดับแรก เมื่อมีวงเล็บในนิพจน์ การดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน ตัวอย่างเช่น 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21

จำนวนเต็มพวกเขาคุ้นเคยและเป็นธรรมชาติสำหรับเรามาก และนี่ก็ไม่น่าแปลกใจเนื่องจากการทำความรู้จักกับพวกเขาเริ่มต้นตั้งแต่ปีแรกของชีวิตในระดับสัญชาตญาณ

ข้อมูลในบทความนี้สร้างความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ เปิดเผยจุดประสงค์ และปลูกฝังทักษะการเขียนและการอ่านจำนวนธรรมชาติ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหา จึงได้มีการจัดเตรียมตัวอย่างและภาพประกอบที่จำเป็นไว้ด้วย

การนำทางหน้า

ตัวเลขธรรมชาติ – การแสดงทั่วไป

ความคิดเห็นต่อไปนี้ไม่ได้ปราศจากตรรกะเสียง: การเกิดขึ้นของงานนับวัตถุ (วัตถุที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ) และงานระบุจำนวนวัตถุ (หนึ่ง สอง สามวัตถุ ฯลฯ) นำไปสู่ การสร้างเครื่องมือในการแก้ปัญหานี้เป็นเครื่องมือ จำนวนเต็ม.

จากประโยคนี้ก็ชัดเจนแล้ว จุดประสงค์หลักของจำนวนธรรมชาติ– นำข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนรายการใด ๆ หรือหมายเลขซีเรียลของรายการที่กำหนดในชุดรายการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เพื่อให้บุคคลใช้จำนวนธรรมชาติได้ จะต้องเข้าถึงได้ทั้งการรับรู้และการสืบพันธุ์ในทางใดทางหนึ่ง หากคุณพูดตัวเลขธรรมชาติแต่ละตัว ก็จะสามารถรับรู้ได้ด้วยหู และหากคุณพรรณนาถึงตัวเลขธรรมชาติก็จะสามารถมองเห็นได้ นี่เป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุดในการถ่ายทอดและรับรู้จำนวนธรรมชาติ

ดังนั้นเรามาเริ่มเรียนรู้ทักษะการวาดภาพ (การเขียน) และการออกเสียง (การอ่าน) ตัวเลขธรรมชาติไปพร้อมๆ กับการเรียนรู้ความหมายของพวกเขาไปพร้อมๆ กัน

สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ

ก่อนอื่น เราต้องตัดสินใจว่าจะเริ่มจากอะไรในการเขียนจำนวนธรรมชาติ

จำภาพของตัวละครต่อไปนี้ (เราจะแสดงโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . ภาพที่แสดงเป็นการบันทึกสิ่งที่เรียกว่า ตัวเลข. เราตกลงกันทันทีที่จะไม่พลิก เอียง หรือบิดเบือนตัวเลขเมื่อบันทึก

ตอนนี้เรามาดูกันว่าในสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติใดๆ มีเพียงตัวเลขที่ระบุเท่านั้นที่สามารถปรากฏได้ และไม่มีสัญลักษณ์อื่นใดปรากฏอยู่ ให้เราตกลงด้วยว่า ตัวเลขในสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติมีความสูงเท่ากัน เรียงกันเป็นแถวติดต่อกัน (แทบไม่มีการเยื้องเลย) และทางด้านซ้ายมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข 0 .

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการเขียนจำนวนธรรมชาติที่ถูกต้อง: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (โปรดทราบ: การเยื้องระหว่างตัวเลขไม่เหมือนกันเสมอไป เราจะหารือเกี่ยวกับเรื่องนี้เพิ่มเติมเมื่อตรวจสอบ) จากตัวอย่างข้างต้น เห็นได้ชัดว่าสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติไม่จำเป็นต้องประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; ตัวเลขบางส่วนหรือทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการเขียนจำนวนธรรมชาติอาจซ้ำกันได้

กระทู้ 014 , 0005 , 0 , 0209 ไม่ใช่บันทึกของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากมีตัวเลขอยู่ทางด้านซ้าย 0 .

เรียกว่าการเขียนจำนวนธรรมชาติโดยคำนึงถึงข้อกำหนดทั้งหมดที่อธิบายไว้ในย่อหน้านี้ สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนธรรมชาติ.

นอกจากนี้ เราจะไม่แยกความแตกต่างระหว่างจำนวนธรรมชาติกับการเขียนของพวกมัน ให้เราอธิบายสิ่งนี้: เพิ่มเติมในข้อความเราจะใช้วลีเช่น "ระบุจำนวนธรรมชาติ 582 " ซึ่งจะหมายความว่าให้จำนวนธรรมชาติซึ่งมีรูปแบบอยู่ 582 .

ตัวเลขธรรมชาติในแง่ของจำนวนวัตถุ

ถึงเวลาที่จะเข้าใจความหมายเชิงปริมาณที่เขียนโดยจำนวนธรรมชาติแล้ว ความหมายของจำนวนธรรมชาติในแง่ของการกำหนดจำนวนวัตถุมีอธิบายไว้ในบทความ การเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ

เริ่มจากตัวเลขธรรมชาติกันก่อน ซึ่งรายการจะตรงกับตัวเลขนั่นคือตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 และ 9 .

ลองจินตนาการว่าเราลืมตาและเห็นวัตถุบางอย่างเช่นนี้ ในกรณีนี้ เราสามารถเขียนสิ่งที่เราเห็นลงไปได้ 1 รายการ. เลขธรรมชาติ 1 อ่านว่า " หนึ่ง"(เราจะให้คำปฏิเสธของตัวเลข "หนึ่ง" เช่นเดียวกับตัวเลขอื่น ๆ ในย่อหน้า) สำหรับตัวเลข 1 มีการนำชื่ออื่นมาใช้แล้ว - “ หน่วย».

อย่างไรก็ตาม คำว่า "หน่วย" มีหลายค่า นอกเหนือจากจำนวนธรรมชาติ 1 เรียกสิ่งที่ถือว่าโดยรวม ตัวอย่างเช่น รายการใดรายการหนึ่งจากหลายรายการสามารถเรียกว่าหน่วยได้ ตัวอย่างเช่น แอปเปิ้ลใด ๆ จากชุดแอปเปิ้ลก็เป็นหน่วย ฝูงนกใด ๆ จากชุดแอปเปิ้ลก็เป็นหน่วยเช่นกัน เป็นต้น

ตอนนี้เราเปิดตาของเราและเห็น: . นั่นคือเราเห็นวัตถุหนึ่งและอีกวัตถุหนึ่ง ในกรณีนี้ เราสามารถเขียนสิ่งที่เราเห็นลงไปได้ 2 เรื่อง. จำนวนธรรมชาติ 2 อ่านว่า " สอง».

เช่นเดียวกัน, - 3 เรื่อง (อ่าน " สาม" เรื่อง), - 4 (« สี่") เรื่อง, - 5 (« ห้า»), - 6 (« หก»), - 7 (« เจ็ด»), - 8 (« แปด»), - 9 (« เก้า") รายการ

จากตำแหน่งที่พิจารณา เป็นจำนวนธรรมชาติ 1 , 2 , 3 , …, 9 ระบุ ปริมาณรายการ

ตัวเลขที่มีสัญลักษณ์ตรงกับตัวเลข 0 , เรียกว่า " ศูนย์" เลขศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่มักจะพิจารณาร่วมกับจำนวนธรรมชาติ ข้อควรจำ: ศูนย์หมายถึงการไม่มีบางสิ่งบางอย่าง ตัวอย่างเช่น รายการศูนย์ไม่ใช่รายการเดียว

ในย่อหน้าถัดไปของบทความ เราจะเปิดเผยความหมายของจำนวนธรรมชาติในแง่ของการระบุปริมาณต่อไป

ตัวเลขธรรมชาติหลักเดียว

แน่นอนว่าการบันทึกจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ประกอบด้วยอักขระหนึ่งตัว - หนึ่งหมายเลข

คำนิยาม.

ตัวเลขธรรมชาติหลักเดียว– เป็นตัวเลขธรรมชาติ การเขียนประกอบด้วยเครื่องหมายเดียว - หนึ่งหลัก

เรามาแสดงรายการตัวเลขธรรมชาติหลักเดียวทั้งหมดกัน: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . มีตัวเลขธรรมชาติหลักเดียวทั้งหมดเก้าจำนวน

ตัวเลขธรรมชาติสองหลักและสามหลัก

ก่อนอื่น เรามานิยามจำนวนธรรมชาติสองหลักกันก่อน

คำนิยาม.

ตัวเลขธรรมชาติสองหลัก– เหล่านี้เป็นตัวเลขธรรมชาติซึ่งการบันทึกประกอบด้วยเครื่องหมายสองตัว - สองหลัก (ต่างกันหรือเหมือนกัน)

เช่น จำนวนธรรมชาติ 45 – ตัวเลขสองหลัก 10 , 77 , 82 ตัวเลขสองหลักด้วยและ 5 490 , 832 , 90 037 – ไม่ใช่เลขสองหลัก

เรามาดูกันว่าตัวเลขสองหลักมีความหมายว่าอย่างไร ในขณะที่เราจะต่อยอดความหมายเชิงปริมาณของตัวเลขธรรมชาติหลักเดียวที่เรารู้อยู่แล้ว

เริ่มต้นด้วยการแนะนำแนวคิด สิบ.

ลองจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ - เราลืมตาขึ้นและเห็นชุดที่ประกอบด้วยวัตถุเก้าชิ้นและวัตถุอีกหนึ่งชิ้น ในกรณีนี้พวกเขาพูดถึง 1 สิบ (หนึ่งโหล) รายการ ถ้านับสิบกับอีกสิบรวมกันก็พูดถึง 2 สิบ (สองโหล) ถ้าเราเพิ่มอีกสิบถึงสองสิบ เราก็จะได้สามสิบ. ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราจะได้สี่สิบ ห้าสิบ หกสิบ เจ็ดสิบ แปดสิบ และสุดท้ายคือเก้าสิบ

ตอนนี้เรามาดูแก่นแท้ของจำนวนธรรมชาติสองหลักได้แล้ว

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองดูที่ตัวเลขสองหลักเป็นตัวเลขหลักเดียวสองหลัก โดยอันหนึ่งอยู่ทางซ้ายในรูปแบบตัวเลขสองหลัก ส่วนอีกอันอยู่ทางขวา เลขทางซ้ายคือเลขหลักสิบ และเลขทางขวาคือเลขหลักสิบ นอกจากนี้หากมีตัวเลขอยู่ทางด้านขวาของตัวเลขสองหลัก 0 แล้วนี่หมายถึงไม่มีหน่วย นี่คือจุดรวมของจำนวนธรรมชาติสองหลักในแง่ของการระบุปริมาณ

เช่น จำนวนธรรมชาติสองหลัก 72 สอดคล้องกัน 7 หลายสิบและ 2 หน่วย (นั่นคือ 72 แอปเปิ้ลคือชุดแอปเปิ้ลเจ็ดโหลและแอปเปิ้ลอีกสองลูก) และจำนวน 30 คำตอบ 3 หลายสิบและ 0 ไม่มีหน่วย คือ หน่วยที่รวมกันเป็นสิบไม่ได้

มาตอบคำถาม: “มีตัวเลขธรรมชาติสองหลักกี่ตัว?” ตอบพวกเขา 90 .

มาดูคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติสามหลักกันดีกว่า

คำนิยาม.

จำนวนธรรมชาติที่มีสัญกรณ์ประกอบด้วย 3 สัญญาณ – 3 เรียกตัวเลข (ต่างกันหรือซ้ำกัน) สามหลัก.

ตัวอย่างของตัวเลขสามหลักธรรมชาติ ได้แก่ 372 , 990 , 717 , 222 . จำนวนเต็ม 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 ไม่ใช่เลขสามหลัก

เพื่อให้เข้าใจความหมายที่มีอยู่ในตัวเลขธรรมชาติสามหลัก เราจำเป็นต้องมีแนวคิด หลายร้อย.

เซตสิบสิบคือ 1 ร้อย (หนึ่งร้อย) ร้อยและร้อยเป็น 2 หลายร้อย สองร้อยและอีกร้อยเป็นสามร้อย และต่อไป เรามีสี่ร้อย ห้าร้อย หกร้อย เจ็ดร้อย แปดร้อย และสุดท้ายคือเก้าร้อย

ทีนี้ ลองดูที่จำนวนธรรมชาติสามหลักเป็นจำนวนธรรมชาติสามหลักเดียว เรียงต่อกันจากขวาไปซ้ายในรูปของจำนวนธรรมชาติสามหลัก ตัวเลขทางขวาคือจำนวนหน่วย ตัวเลขถัดไปคือหลักสิบ และหมายเลขถัดไปคือหลักร้อย ตัวเลข 0 ในการเขียนตัวเลขสามหลักหมายความว่าไม่มีหลักสิบและ (หรือ) หน่วย

จึงเป็นจำนวนธรรมชาติสามหลัก 812 สอดคล้องกัน 8 หลายร้อย 1 สิบและ 2 หน่วย; ตัวเลข 305 - สามร้อย ( 0 หลักสิบคือไม่มีหลักสิบไม่รวมกันเป็นร้อย) และ 5 หน่วย; ตัวเลข 470 – สี่ร้อยเจ็ดสิบ (ไม่มีหน่วยใดไม่รวมกันเป็นสิบ) ตัวเลข 500 – ห้าร้อย (ไม่มีหลักสิบที่รวมกันเป็นร้อย และไม่มีหน่วยใดที่รวมกันเป็นสิบไม่ได้)

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดตัวเลขสี่หลัก ห้าหลัก หกหลัก ฯลฯ ตัวเลขธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติหลายหลัก

มาดูคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่ากันดีกว่า

คำนิยาม.

ตัวเลขธรรมชาติหลายหลัก- เหล่านี้เป็นตัวเลขธรรมชาติ สัญกรณ์ประกอบด้วยสองหรือสามหรือสี่เป็นต้น สัญญาณ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขธรรมชาติหลายหลักได้แก่ สองหลัก สามหลัก สี่หลัก ฯลฯ ตัวเลข

เอาเป็นว่าทันทีว่าชุดที่ประกอบด้วยหลักร้อยคือ หนึ่งพัน, พันเป็น หนึ่งล้านพันล้านเป็น หนึ่งพันล้านพันล้านเป็น หนึ่งล้านล้าน. หนึ่งพันล้านล้าน หนึ่งพันล้านล้าน และอื่นๆ สามารถตั้งชื่อของตัวเองได้ แต่ไม่มีความจำเป็นอะไรเป็นพิเศษสำหรับเรื่องนี้

แล้วความหมายเบื้องหลังตัวเลขธรรมชาติหลายหลักคืออะไร?

ลองดูที่จำนวนธรรมชาติหลายหลักเป็นจำนวนธรรมชาติหลักเดียวที่ตามมาทีละตัวจากขวาไปซ้าย ตัวเลขทางขวาบอกจำนวนหน่วย เลขถัดไปคือ หลักสิบ ต่อไปคือหลักร้อย ตามด้วยหลักพัน ตามด้วยหลักหมื่น หลักแสน ตามด้วยตัวเลข หลักล้าน จากนั้นคือจำนวนสิบล้าน จากนั้นหลายร้อยล้าน จากนั้น – จำนวนพันล้าน จากนั้น – จำนวนหลายหมื่นล้าน จากนั้น – หลายร้อยพันล้าน จากนั้น – ล้านล้าน จากนั้น – สิบล้านล้าน จากนั้น – หลายร้อยล้านล้านเป็นต้น

เช่น จำนวนธรรมชาติหลายหลัก 7 580 521 สอดคล้องกัน 1 หน่วย, 2 หลายสิบ 5 หลายร้อย 0 หลายพัน, 8 นับหมื่น, 5 หลายแสนและ 7 ล้าน

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ที่จะจัดกลุ่มหน่วยเป็นสิบ, สิบเป็นร้อย, ร้อยเป็นพัน, พันเป็นหมื่น และอื่นๆ และพบว่าตัวเลขในสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติหลายหลักบ่งบอกถึงจำนวนที่สอดคล้องกันของ ข้างต้นกลุ่ม

การอ่านจำนวนธรรมชาติ คลาสต่างๆ

เราได้กล่าวไปแล้วว่าวิธีการอ่านตัวเลขธรรมชาติหลักเดียว มาเรียนรู้เนื้อหาของตารางต่อไปนี้ด้วยใจ

ตัวเลขสองหลักที่เหลืออ่านได้อย่างไร?

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง มาอ่านจำนวนธรรมชาติกันดีกว่า 74 . ดังที่เราพบข้างต้น ตัวเลขนี้สอดคล้องกับ 7 หลายสิบและ 4 หน่วย นั่นคือ 70 และ 4 . เราหันไปหาตารางที่เราเพิ่งบันทึกไว้และตัวเลข 74 เราอ่านว่า: "เจ็ดสิบสี่" (เราไม่ออกเสียงคำเชื่อม "และ") หากคุณต้องการอ่านตัวเลข 74 ในประโยค: "ไม่ 74 แอปเปิ้ล" (สัมพันธการก) จากนั้นจะมีเสียงดังนี้: "ไม่มีแอปเปิ้ลเจ็ดสิบสี่ลูก" ตัวอย่างอื่น. ตัวเลข 88 - นี้ 80 และ 8 ดังนั้นเราจึงอ่านว่า: “แปดสิบแปด” และนี่คือตัวอย่างประโยค: "เขากำลังคิดถึงแปดสิบแปดรูเบิล"

มาดูการอ่านตัวเลขธรรมชาติสามหลักกันดีกว่า

ในการทำเช่นนี้เราจะต้องเรียนรู้คำศัพท์ใหม่อีกสองสามคำ

ยังคงแสดงให้เห็นว่าการอ่านตัวเลขธรรมชาติสามหลักที่เหลือเป็นอย่างไร ในกรณีนี้ เราจะใช้ทักษะที่เราได้รับมาในการอ่านตัวเลขหลักเดียวและสองหลัก

ลองดูตัวอย่าง มาอ่านเลขกัน 107 . เบอร์นี้เข้ากัน 1 ร้อยและ 7 หน่วย นั่นคือ 100 และ 7 . เมื่อหันไปที่โต๊ะ เราอ่านว่า “หนึ่งร้อยเจ็ด” ตอนนี้สมมุติว่าจำนวน 217 . เบอร์นี้คือ 200 และ 17 ดังนั้นเราจึงอ่านว่า: “สองร้อยสิบเจ็ด” เช่นเดียวกัน, 888 - นี้ 800 (แปดร้อย) และ 88 (แปดสิบแปด) เราอ่านว่า: “แปดร้อยแปดสิบแปด”

เรามาอ่านตัวเลขหลายหลักกันดีกว่า

หากต้องการอ่านบันทึกของจำนวนธรรมชาติหลายหลักจะถูกแบ่งโดยเริ่มจากด้านขวาเป็นกลุ่มละสามหลักและในกลุ่มซ้ายสุดอาจมีทั้ง 1 , หรือ 2 , หรือ 3 ตัวเลข กลุ่มเหล่านี้เรียกว่า ชั้นเรียน. ชั้นเรียนทางด้านขวาเรียกว่า คลาสของหน่วย. คลาสที่ตามมา (จากขวาไปซ้าย) เรียกว่า คลาสหลายพัน, ชั้นเรียนถัดไป – ล้านคลาส, ต่อไป - คลาสพันล้านต่อไปมา คลาสล้านล้าน. คุณสามารถตั้งชื่อคลาสต่อไปนี้ได้ แต่จะเป็นตัวเลขธรรมชาติ ซึ่งมีสัญลักษณ์ประกอบอยู่ด้วย 16 , 17 , 18 ฯลฯ มักจะไม่อ่านสัญญาณเนื่องจากหูรับรู้ได้ยากมาก

ดูตัวอย่างการแบ่งตัวเลขหลายหลักออกเป็นคลาสต่างๆ (เพื่อความชัดเจน คลาสต่างๆ จะแยกออกจากกันด้วยการเยื้องเล็กๆ): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

มาเขียนตัวเลขธรรมชาติลงในตารางเพื่อให้ง่ายต่อการเรียนรู้วิธีอ่าน

หากต้องการอ่านจำนวนธรรมชาติ เราจะเรียกตัวเลขที่เป็นส่วนประกอบตามชั้นเรียนจากซ้ายไปขวาแล้วเติมชื่อของชั้นเรียน ในเวลาเดียวกัน เราไม่ออกเสียงชื่อคลาสของหน่วย และข้ามคลาสที่ประกอบด้วยตัวเลขสามหลักด้วย 0 . หากรายการชั้นเรียนมีตัวเลขอยู่ทางด้านซ้าย 0 หรือสองหลัก 0 แล้วเราละเว้นตัวเลขเหล่านี้ 0 และอ่านตัวเลขที่ได้จากการละทิ้งตัวเลขเหล่านี้ 0 . เช่น, 002 อ่านว่า "สอง" และ 025 - เช่นเดียวกับใน "ยี่สิบห้า"

มาอ่านเลขกัน 489 002 ตามกฎเกณฑ์ที่กำหนด

เราอ่านจากซ้ายไปขวา

• อ่านหมายเลข 489 ซึ่งเป็นตัวแทนของกลุ่มคนนับพันคือ "สี่ร้อยแปดสิบเก้า";
• เพิ่มชื่อชั้นเรียนเราจะได้ "สี่แสนแปดหมื่นเก้าพัน";
• ต่อไปในระดับหน่วยที่เราเห็น 002 มีศูนย์ทางด้านซ้าย เราจึงมองข้ามมันไป 002 อ่านว่า "สอง";
• ไม่จำเป็นต้องเพิ่มชื่อของคลาสหน่วย
• ในที่สุดเราก็มี 489 002 - “สี่แสนแปดหมื่นเก้าพันสอง”

มาเริ่มอ่านเลขกันดีกว่า 10 000 501 .

• ทางด้านซ้ายในกลุ่มล้านเราจะเห็นตัวเลข 10 อ่านว่า “สิบ”;
• เพิ่มชื่อชั้นเรียนเรามี "สิบล้าน";
• แล้วเราจะเห็นรายการ 000 ในคลาสหลักพัน เนื่องจากตัวเลขทั้งสามหลักเป็นตัวเลข 0 จากนั้นเราข้ามชั้นเรียนนี้และไปยังชั้นเรียนถัดไป
• คลาสของหน่วยแสดงถึงตัวเลข 501 ซึ่งเราอ่านว่า "ห้าร้อยหนึ่ง";
• ดังนั้น, 10 000 501 - สิบล้านห้าร้อยหนึ่ง

มาทำสิ่งนี้โดยไม่มีคำอธิบายโดยละเอียด: 1 789 090 221 214 - “หนึ่งล้านล้านเจ็ดร้อยแปดสิบเก้าพันล้านเก้าสิบล้านสองแสนสองหมื่นหนึ่งพันสองร้อยสิบสี่”

ดังนั้นพื้นฐานของทักษะการอ่านตัวเลขธรรมชาติหลายหลักคือความสามารถในการแบ่งตัวเลขหลายหลักออกเป็นคลาส ความรู้เกี่ยวกับชื่อคลาส และความสามารถในการอ่านตัวเลขสามหลัก

ตัวเลขของจำนวนธรรมชาติ ค่าของตัวเลข

ในการเขียนจำนวนธรรมชาติ ความหมายของแต่ละหลักจะขึ้นอยู่กับตำแหน่ง เช่น จำนวนธรรมชาติ 539 สอดคล้องกัน 5 หลายร้อย 3 หลายสิบและ 9 หน่วย ดังนั้น ตัวเลข 5 ในการเขียนหมายเลข 539 กำหนดจำนวนหลักร้อยหลัก 3 – จำนวนหลักสิบและหลัก 9 - จำนวนหน่วย. ในขณะเดียวกันพวกเขาก็บอกว่าร่างนั้น 9 ค่าใช้จ่ายใน หลักหน่วยและหมายเลข 9 เป็น ค่าหลักหน่วย, ตัวเลข 3 ค่าใช้จ่ายใน สิบตำแหน่งและหมายเลข 3 เป็น ค่าหลักสิบและรูป 5 - วี หลายร้อยแห่งและหมายเลข 5 เป็น มูลค่าหลักร้อย.

ดังนั้น, ปล่อย- ในอีกด้านหนึ่ง นี่คือตำแหน่งของตัวเลขในสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติ และในทางกลับกัน ค่าของตัวเลขนี้ซึ่งกำหนดโดยตำแหน่งของมัน

หมวดหมู่จะได้รับชื่อ หากคุณดูตัวเลขในสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติจากขวาไปซ้าย ตัวเลขเหล่านี้จะตรงกับหลักต่อไปนี้ หน่วย สิบ ร้อย พัน หมื่น หลักแสน หลักล้าน หลักสิบล้าน และ เร็วๆ นี้.

สะดวกในการจดจำชื่อของหมวดหมู่เมื่อนำเสนอในรูปแบบตาราง มาเขียนตารางที่มีชื่อ 15 หมวดหมู่กัน

โปรดทราบว่าจำนวนหลักของจำนวนธรรมชาติที่กำหนดจะเท่ากับจำนวนอักขระที่เกี่ยวข้องกับการเขียนตัวเลขนี้ ดังนั้นตารางที่บันทึกไว้จึงมีชื่อของตัวเลขของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดซึ่งมีการบันทึกได้สูงสุด 15 อักขระ อันดับต่อไปนี้ก็มีชื่อเป็นของตัวเองเช่นกัน แต่ไม่ค่อยมีคนใช้ ดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะเอ่ยถึงอันดับเหล่านี้

การใช้ตารางตัวเลขจะสะดวกในการกำหนดตัวเลขของจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนจำนวนธรรมชาติลงในตารางนี้เพื่อให้แต่ละหลักมีหนึ่งหลัก และหลักขวาสุดอยู่ในหลักหน่วย

ลองยกตัวอย่าง ลองเขียนจำนวนธรรมชาติดู 67 922 003 942 ลงในตารางแล้วตัวเลขและความหมายของตัวเลขเหล่านี้จะมองเห็นได้ชัดเจน

เลขในเลขนี้คือ 2 อยู่ในหน่วยหลัก 4 – ในหลักสิบ, หลัก 9 – ในหลักร้อย ฯลฯ คุณควรใส่ใจกับตัวเลข 0 ซึ่งอยู่ในหมวดหมู่นับหมื่นและแสน ตัวเลข 0 ในตัวเลขเหล่านี้หมายถึงไม่มีหน่วยของตัวเลขเหล่านี้

นอกจากนี้ยังควรกล่าวถึงสิ่งที่เรียกว่าหลักต่ำสุด (จูเนียร์) และสูงสุด (สำคัญที่สุด) ของจำนวนธรรมชาติหลายหลัก อันดับต่ำสุด (จูเนียร์)ของจำนวนธรรมชาติหลายหลักใดๆ จะเป็นหลักหน่วย หลักสูงสุด (สำคัญที่สุด) ของจำนวนธรรมชาติคือตัวเลขที่ตรงกับหลักขวาสุดในการบันทึกหมายเลขนี้ ตัวอย่างเช่น หลักลำดับต่ำของจำนวนธรรมชาติ 23,004 คือหลักหน่วย และหลักสูงสุดคือหลักหมื่น หากในสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติเราเลื่อนตามหลักจากซ้ายไปขวา จากนั้นให้เลื่อนแต่ละหลักถัดไป ต่ำกว่า (น้อง)ก่อนหน้านี้. ตัวอย่างเช่น อันดับหลักพันต่ำกว่าอันดับหลักหมื่น และยิ่งกว่านั้น อันดับหลักพันยังต่ำกว่าอันดับหลักแสน หลักล้าน หลักสิบล้าน เป็นต้น หากในสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติเราเลื่อนตามหลักจากขวาไปซ้าย จากนั้นให้เลื่อนแต่ละหลักถัดไป สูง (แก่กว่า)ก่อนหน้านี้. ตัวอย่างเช่น หลักร้อยนั้นเก่ากว่าหลักสิบ และยิ่งกว่านั้น เก่ากว่าหลักหน่วย

ในบางกรณี (เช่น เมื่อทำการบวกหรือการลบ) ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติที่ใช้ แต่เป็นผลรวมของพจน์หลักของจำนวนธรรมชาตินี้

สั้น ๆ เกี่ยวกับระบบเลขฐานสิบ

ดังนั้นเราจึงมาทำความรู้จักกับจำนวนธรรมชาติ ความหมายที่มีอยู่ในตัวมัน และวิธีเขียนจำนวนธรรมชาติโดยใช้สิบหลัก

โดยทั่วไปวิธีการเขียนตัวเลขโดยใช้เครื่องหมายเรียกว่า ระบบตัวเลข. ความหมายของตัวเลขในรูปแบบตัวเลขอาจขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือไม่ก็ได้ ระบบตัวเลขซึ่งค่าของตัวเลขในตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งจะถูกเรียก ตำแหน่ง.

ดังนั้น จำนวนธรรมชาติที่เราตรวจสอบและวิธีการเขียนบ่งชี้ว่าเราใช้ระบบจำนวนตำแหน่ง ควรสังเกตว่าหมายเลขนี้มีสถานที่พิเศษในระบบตัวเลขนี้ 10 . อันที่จริงการนับนั้นทำเป็นสิบ: สิบหน่วยรวมกันเป็นสิบ สิบโหลรวมกันเป็นร้อย หลักร้อยโหลเป็นพัน และอื่นๆ ตัวเลข 10 เรียกว่า พื้นฐานระบบตัวเลขที่กำหนดและระบบตัวเลขนั้นเองเรียกว่า ทศนิยม.

นอกจากระบบเลขฐานสิบแล้ว ยังมีระบบอื่นๆ อีก เช่น ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็ใช้ระบบเลขฐานสองและเราพบระบบเลขฐานสิบหกเมื่อ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการวัดเวลา

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์. หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของสถานศึกษาทั่วไป

คณิตศาสตร์ถือกำเนิดมาจากปรัชญาทั่วไปราวศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช จ. และตั้งแต่นั้นมา ชัยชนะของเธอก็เริ่มต้นขึ้นในการเดินขบวนรอบโลก แต่ละขั้นตอนของการพัฒนาทำให้เกิดสิ่งใหม่ - การนับเบื้องต้นพัฒนาขึ้น เปลี่ยนเป็นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล หลายศตวรรษผ่านไป สูตรเริ่มสับสนมากขึ้นเรื่อยๆ และช่วงเวลาก็มาถึงเมื่อ "คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่สุดเริ่มต้นขึ้น - ตัวเลขทั้งหมดหายไปจากมัน" แต่พื้นฐานคืออะไร?

การเริ่มต้นของเวลา

ตัวเลขธรรมชาติปรากฏขึ้นพร้อมกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ครั้งแรก กระดูกสันหลังหนึ่งซี่ สองหนาม สามหนาม... ปรากฏขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พัฒนาตำแหน่งแรก

คำว่า "ตำแหน่ง" หมายความว่าตำแหน่งของแต่ละหลักในตัวเลขถูกกำหนดไว้อย่างเคร่งครัดและสอดคล้องกับอันดับ เช่น ตัวเลข 784 และ 487 เป็นตัวเลขเดียวกันแต่ตัวเลขไม่เท่ากันเนื่องจากตัวแรกมี 7 ร้อย ในขณะที่ตัวที่สองมีเพียง 4 เท่านั้น นวัตกรรมของอินเดียถูกหยิบยกขึ้นมาโดยชาวอาหรับซึ่งนำตัวเลขมาสู่รูปแบบ ที่เรารู้ตอนนี้

ในสมัยโบราณมีการให้ตัวเลข ความหมายลึกลับพีธากอรัสเชื่อว่าตัวเลขดังกล่าวเป็นรากฐานของการสร้างโลกควบคู่ไปกับองค์ประกอบพื้นฐาน ได้แก่ ไฟ น้ำ ดิน อากาศ หากเราพิจารณาทุกอย่างจากทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แล้วจำนวนธรรมชาติคืออะไร? ฟิลด์ของจำนวนธรรมชาติแสดงเป็น N และเป็นชุดตัวเลขอนันต์ที่เป็นจำนวนเต็มและบวก: 1, 2, 3, … + ∞ ไม่รวมศูนย์ ใช้เพื่อนับรายการและระบุลำดับเป็นหลัก

มันคืออะไรในวิชาคณิตศาสตร์? สัจพจน์ของ Peano

ฟิลด์ N เป็นฟิลด์พื้นฐานที่ใช้คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เมื่อเวลาผ่านไป ฟิลด์ของจำนวนเต็ม ตรรกยะ

งานของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Giuseppe Peano ทำให้การจัดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมเป็นไปได้ บรรลุความเป็นทางการและเตรียมทางสำหรับการสรุปเพิ่มเติมที่นอกเหนือไปจากพื้นที่สนาม N

จำนวนธรรมชาติได้รับการชี้แจงให้ชัดเจนตั้งแต่ต้นในภาษาง่ายๆ ด้านล่างนี้ เราจะพิจารณาคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ตามหลักสัจพจน์ของ Peano

• หนึ่งถือเป็นจำนวนธรรมชาติ
• จำนวนที่ตามหลังจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ
• ไม่มีจำนวนธรรมชาติอยู่หน้าหนึ่ง
• ถ้าเลข b ตามหลังทั้งเลข c และเลข d แล้ว c=d
• สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ ซึ่งในทางกลับกันจะแสดงให้เห็นว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร: หากข้อความบางข้อความที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เป็นจริงสำหรับตัวเลข 1 เราก็ถือว่ามันใช้ได้กับตัวเลข n จากสนามของตัวเลขธรรมชาติ N เช่นกัน ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n =1 จากช่องของจำนวนธรรมชาติ N

การดำเนินการพื้นฐานสำหรับสนามจำนวนธรรมชาติ

เนื่องจากฟิลด์ N เป็นฟิลด์แรกสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ทั้งโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของการดำเนินการจำนวนหนึ่งด้านล่างจึงเป็นของมัน พวกเขาปิดและไม่ ข้อแตกต่างหลักๆ ก็คือ การดำเนินการแบบปิดจะรับประกันว่าจะคงผลลัพธ์ไว้ภายในเซต N ไม่ว่าจะเกี่ยวข้องกับตัวเลขใดก็ตาม ก็เพียงพอแล้วที่จะเป็นธรรมชาติ ผลลัพธ์ของการโต้ตอบเชิงตัวเลขอื่นๆ จะไม่ชัดเจนอีกต่อไปและขึ้นอยู่กับประเภทของตัวเลขที่เกี่ยวข้องในนิพจน์โดยตรง เนื่องจากอาจขัดแย้งกับคำจำกัดความหลัก ดังนั้นการดำเนินการปิด:

• นอกจากนี้ - x + y = z โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในฟิลด์ N
• การคูณ - x * y = z โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในฟิลด์ N
• การยกกำลัง - x y โดยที่ x, y รวมอยู่ในฟิลด์ N

การดำเนินการที่เหลือซึ่งผลลัพธ์อาจไม่อยู่ในบริบทของคำจำกัดความของ "จำนวนธรรมชาติคืออะไร" มีดังนี้

คุณสมบัติของตัวเลขที่อยู่ในฟิลด์ N

การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเป็นสิ่งเล็กน้อยที่สุด แต่ก็สำคัญไม่น้อยไปกว่ากัน

• สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกคือ x + y = y + x โดยที่ตัวเลข x, y จะรวมอยู่ในช่อง N หรือที่รู้จักกันดีว่า "ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไข"
• สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณคือ x * y = y * x โดยที่ตัวเลข x, y จะรวมอยู่ในช่อง N
• สมบัติเชิงผสมของการบวกคือ (x + y) + z = x + (y + z) โดยที่ x, y, z รวมอยู่ในช่อง N
• คุณสมบัติการจับคู่ของการคูณคือ (x * y) * z = x * (y * z) โดยที่ตัวเลข x, y, z จะรวมอยู่ในฟิลด์ N
• คุณสมบัติการกระจาย - x (y + z) = x * y + x * z โดยที่ตัวเลข x, y, z จะรวมอยู่ในฟิลด์ N

โต๊ะพีทาโกรัส

ขั้นตอนแรกๆ ในความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับโครงสร้างทั้งหมดของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา หลังจากที่พวกเขาเข้าใจด้วยตนเองแล้วว่าตัวเลขใดเรียกว่าจำนวนธรรมชาติคือตารางพีทาโกรัส ถือได้ว่าไม่เพียงแต่จากมุมมองของวิทยาศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นอนุสรณ์สถานทางวิทยาศาสตร์ที่มีค่าที่สุดอีกด้วย

ตารางสูตรคูณนี้มีการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งเมื่อเวลาผ่านไป โดยลบศูนย์ออกจากตารางแล้ว และตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 แสดงถึงตัวมันเอง โดยไม่คำนึงถึงคำสั่ง (หลักร้อย หลักพัน...) เป็นตารางที่ส่วนหัวของแถวและคอลัมน์เป็นตัวเลข และเนื้อหาของเซลล์ที่พวกมันตัดกันจะเท่ากับผลคูณของมัน

ในการฝึกสอนในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา มีความจำเป็นต้องท่องจำตารางพีทาโกรัส "ตามลำดับ" กล่าวคือ การท่องจำมาก่อน ไม่รวมการคูณด้วย 1 เนื่องจากผลลัพธ์เป็นตัวคูณ 1 หรือมากกว่า ในขณะเดียวกัน ในตารางด้วยตาเปล่า คุณสามารถสังเกตเห็นรูปแบบ: ผลคูณของตัวเลขเพิ่มขึ้นหนึ่งขั้น ซึ่งเท่ากับชื่อของเส้น ดังนั้นปัจจัยที่สองแสดงให้เราเห็นว่าเราต้องดำเนินการปัจจัยแรกกี่ครั้งเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ ระบบนี้สะดวกกว่าระบบที่ใช้กันในยุคกลางมาก แม้จะเข้าใจว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไรและไม่สำคัญเพียงใด ผู้คนก็สามารถทำให้การนับในแต่ละวันซับซ้อนขึ้นได้โดยใช้ระบบที่ใช้ระบบที่อิงตามกำลังสอง

ซับเซตเป็นแหล่งกำเนิดของคณิตศาสตร์

บน ช่วงเวลานี้สนามของจำนวนธรรมชาติ N ถือเป็นสับเซตหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น แต่ไม่ได้ทำให้พวกมันมีคุณค่าน้อยลงในทางวิทยาศาสตร์ เลขธรรมชาติเป็นสิ่งแรกที่เด็กเรียนรู้เมื่อศึกษาตัวเองและ โลก. หนึ่งนิ้ว สองนิ้ว... ด้วยเหตุนี้บุคคลจึงพัฒนาการคิดเชิงตรรกะรวมถึงความสามารถในการระบุสาเหตุและสรุปผลซึ่งปูทางไปสู่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่