มและ นมีจำนวนเต็ม kและ น= ม, แล้วเลข มแบ่งโดย น

การใช้ทักษะการแบ่งแยกทำให้การคำนวณง่ายขึ้น และเพิ่มความเร็วในการดำเนินการตามสัดส่วน ให้เราวิเคราะห์รายละเอียดคุณสมบัติหลัก คุณสมบัติการหาร.

เกณฑ์ที่ตรงไปตรงมาที่สุดสำหรับการหารลงตัวสำหรับ หน่วย: ตัวเลขทั้งหมดถูกหารด้วยหนึ่ง เป็นเพียงพื้นฐานและมีเครื่องหมายของการหารด้วย สอง, ห้า, สิบ. จำนวนคู่สามารถหารด้วยสองหรือหนึ่งที่มีหลักสุดท้ายเป็น 0 คูณห้า - ตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายของ 5 หรือ 0 เฉพาะตัวเลขที่มีตัวเลขสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วยสิบ 100 - เฉพาะตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์เท่านั้น on 1000 - เฉพาะผู้ที่มีศูนย์สามตัวสุดท้ายเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น:

จำนวน 79516 สามารถหารด้วย 2 ได้เนื่องจากลงท้ายด้วย 6 ซึ่งเป็นเลขคู่ 9651 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 1 เป็นเลขคี่ 1790 หารด้วย 2 ลงตัวเพราะหลักสุดท้ายเป็นศูนย์ 3470 จะถูกหารด้วย 5 (หลักสุดท้ายคือ 0) 1054 หารด้วย 5 ไม่ลงตัว (สุดท้าย 4). 7800 จะถูกหารด้วย 10 และ 100; 542000 หารด้วย 10, 100, 1000 ลงตัว.

ลักษณะที่รู้จักกันน้อย แต่ใช้งานง่ายมาก คุณสมบัติการหารบน 3 และ 9 , 4 , 6 และ 8, 25 . นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติเด่นของการหารด้วย 7, 11, 13, 17, 19 และอื่นๆ แต่มักใช้ในทางปฏิบัติน้อยกว่ามาก

ลักษณะเฉพาะของการหารด้วย 3 และด้วย 9.

บน สามและ/หรือบน เก้าโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขเหล่านั้นจะถูกหารด้วยผลคูณของสามและ / หรือเก้า

ตัวอย่างเช่น:

เลข 156321 ผลบวก 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 หารด้วย 3 และหารด้วย 9 ตามลำดับ ตัวตัวเลขเองหารด้วย 3 และ 9 เลข 79123 จะไม่เป็น หารด้วย 3 หรือ 9 ดังนั้นผลรวมของตัวเลข (22) จึงไม่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้

ลักษณะเฉพาะของการหารด้วย 4, 8, 16 และอื่นๆ.

ตัวเลขสามารถหารโดยไม่เหลือเศษด้วย สี่หากสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ได้ ในกรณีอื่นทั้งหมด การหารโดยไม่มีเศษจะเป็นไปไม่ได้

ตัวอย่างเช่น:

จำนวน 75300 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์ 48834 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะสองหลักสุดท้ายให้ 34 ซึ่งหารด้วย 4 ไม่ลงตัว 35908 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากเลขสองหลักสุดท้ายของ 08 ให้เลข 8 หารด้วย 4 ลงตัว

หลักการที่คล้ายคลึงกันนี้ใช้ได้กับเกณฑ์การหารด้วย แปด. ตัวเลขหารด้วยแปดลงตัวถ้าสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว มิฉะนั้น ผลหารที่ได้จากการหารจะไม่เป็นจำนวนเต็ม

คุณสมบัติเดียวกันสำหรับการหารโดย 16, 32, 64 ฯลฯ แต่ไม่ได้ใช้ในการคำนวณทุกวัน

คุณลักษณะเฉพาะของการหารด้วย 6

ตัวเลขหารด้วย หกหากหารด้วยสองและสามลงตัว ด้วยตัวเลือกอื่นทั้งหมด การหารโดยไม่มีเศษจะเป็นไปไม่ได้

ตัวอย่างเช่น:

126 หารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจากหารด้วย 2 ลงตัว (เลขคู่สุดท้ายคือ 6) และ 3 (ผลรวมของหลัก 1 + 2 + 6 = 9 หารด้วยสามลงตัว)

คุณลักษณะเฉพาะของการหารด้วย 7

ตัวเลขหารด้วย เจ็ดถ้าผลต่างของเลขท้ายสองตัวและ "ตัวเลขที่เหลือโดยไม่มีหลักสุดท้าย" หารด้วยเจ็ดลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วยเจ็ดลงตัว

ตัวอย่างเช่น:

ตัวเลขคือ 296492 ลองเอาหลักสุดท้าย "2" คูณสองมันออกมา 4. ลบ 29649 - 4 = 29645 จะหาว่าหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่จึงวิเคราะห์อีกครั้ง ต่อไปเราสองเท่าของหลักสุดท้าย "5" มันออกมา 10 เราลบ 2964 - 10 = 2954 ผลลัพธ์เหมือนกันไม่ชัดเจนว่าจะหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ ดังนั้นเราจึงทำการวิเคราะห์ต่อไป เราวิเคราะห์ด้วยตัวเลขสุดท้าย "4" สองเท่าออกมา 8 ลบ 295 - 8 = 287 เราเปรียบเทียบสองร้อยแปดสิบเจ็ด - หารด้วย 7 ไม่ลงตัวในการค้นหาต่อไป โดยการเปรียบเทียบ หลักสุดท้าย "7" คูณ 2 ออกมา 14 ลบ 28 - 14 \u003d 14 หมายเลข 14 หารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้นจำนวนเดิมหารด้วย 7 ลงตัว

คุณลักษณะเฉพาะของการหารด้วย11.

บน สิบเอ็ดเฉพาะตัวเลขเหล่านี้เท่านั้นที่สามารถหารผลลัพธ์ของการเพิ่มหลักที่วางในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของหลักที่วางในตำแหน่งคู่ หรือแตกต่างด้วยตัวเลขที่หารด้วยสิบเอ็ดได้

ตัวอย่างเช่น:

ตัวเลข 103,785 หารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักตำแหน่งคี่ 1 + 3 + 8 = 12 เท่ากับผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่ 0 + 7 + 5 = 12 ตัวเลข 9,163,627 คือ หารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักในตำแหน่งคี่คือ 9 + 6 + 6 + 7 = 28 และผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่คือ 1 + 3 + 2 = 6 ผลต่างระหว่างตัวเลข 28 และ 6 คือ 22 และตัวเลขนี้หารด้วย 11 ลงตัว จำนวน 461,025 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว เนื่องจากตัวเลข 4 + 1 + 2 = 7 และ 6 + 0 + 5 = 11 ไม่เท่ากับ ซึ่งกันและกัน และผลต่าง 11 - 7 = 4 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว

คุณลักษณะเฉพาะของการหารด้วย 25.

บน ยี่สิบห้าจะหารตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่สามารถหารด้วยยี่สิบห้า (นั่นคือตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 00, 25, 50 หรือ 75) ในกรณีอื่นๆ ไม่สามารถหารจำนวนทั้งหมดด้วย 25 ได้

ตัวอย่างเช่น:

9450 หารด้วย 25 ลงตัว (ลงท้ายด้วย 50); 5085 หารด้วย 25 ไม่ลงตัว.

สัญญาณของการหารตัวเลขใน 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 และตัวเลขอื่น ๆ มีประโยชน์ที่จะรู้สำหรับการแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับสัญกรณ์ดิจิทัลของตัวเลข แทนที่จะหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบเครื่องหมายจำนวนหนึ่ง โดยพิจารณาจากหลักที่เป็นไปได้ที่จะระบุได้อย่างชัดเจนว่าตัวเลขหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวหรือไม่ (ไม่ว่าจะเป็นผลคูณ) หรือไม่

สัญญาณหลักของความแตกแยก

มาเอากัน สัญญาณหลักของการหารตัวเลข:

• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "2"ตัวเลขหารด้วย 2 ลงตัวถ้าตัวเลขเป็นเลขคู่ (หลักสุดท้ายคือ 0, 2, 4, 6 หรือ 8)
  ตัวอย่าง: หมายเลข 1256 เป็นผลคูณของ 2 เพราะลงท้ายด้วย 6 และหมายเลข 49603 หารด้วย 2 ไม่ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 3
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "3"ตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 . ลงตัว
  ตัวอย่าง: หมายเลข 4761 หารด้วย 3 ลงตัวเพราะผลรวมของหลักคือ 18 และหารด้วย 3 ลงตัว และจำนวน 143 ไม่ใช่ผลคูณของ 3 เพราะผลรวมของหลักคือ 8 และหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "4"ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวถ้าตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นศูนย์หรือถ้าตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสองหลักสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว
  ตัวอย่าง: หมายเลข 2344 เป็นผลคูณของ 4 เพราะ 44/4 = 11 และตัวเลข 3951 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะ 51 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "5"ตัวเลขหารด้วย 5 ลงตัวถ้าหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 0 หรือ 5
  ตัวอย่าง: หมายเลข 5830 หารด้วย 5 ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 0 แต่เลข 4921 หารด้วย 5 ไม่ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 1
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "6"ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวถ้าหารด้วย 2 และ 3 . ลงตัว
  ตัวอย่าง: จำนวน 3504 เป็นผลคูณของ 6 เนื่องจากลงท้ายด้วย 4 (เครื่องหมายของการหารด้วย 2) และผลรวมของตัวเลขคือ 12 และหารด้วย 3 ลงตัว (เครื่องหมายของการหารด้วย 3) และตัวเลข 5432 นั้นหารด้วย 6 ไม่ลงตัว แม้ว่าตัวเลขจะลงท้ายด้วย 2 (สังเกตเครื่องหมายของการหารด้วย 2 ลงตัว) อย่างไรก็ตาม ผลรวมของหลักคือ 14 และหารด้วย 3 ไม่ได้ทั้งหมด
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "8"ตัวเลขหารด้วย 8 ถ้าตัวเลขสามหลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นศูนย์หรือถ้าตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสามหลักสุดท้ายของตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัว
  ตัวอย่าง: หมายเลข 93112 หารด้วย 8 ลงตัวเพราะ 112/8 = 14 และจำนวน 9212 ไม่ใช่ผลคูณของ 8 เพราะ 212 หารด้วย 8 ไม่ลงตัว
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "9"ตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 9 . ลงตัว
  ตัวอย่าง ตัวเลข 2916 เป็นผลคูณของ 9 เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 18 และหารด้วย 9 ลงตัว และจำนวน 831 หารด้วย 9 ไม่ลงตัวเพราะว่าผลรวมของตัวเลขคือ 12 และไม่ใช่ หารด้วย 9
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "10"ตัวเลขหารด้วย 10 ลงตัวถ้าลงท้ายด้วย 0
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 39590 หารด้วย 10 ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 0 และ 5964 หารด้วย 10 ไม่ลงตัวเพราะไม่ลงท้ายด้วย 0
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "11"ตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวถ้าผลรวมของหลักในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่หรือผลรวมต้องต่างกัน 11
  ตัวอย่าง: เลข 3762 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ 3 + 6 = 7 + 2 = 9 และเลข 2374 หารด้วย 11 ไม่ลงตัวเพราะ 2 + 7 = 9 และ 3 + 4 = 7
• เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย "25"ตัวเลขหารด้วย 25 ลงตัวถ้าลงท้ายด้วย 00, 25, 50 หรือ 75
  ตัวอย่าง: จำนวน 4950 เป็นผลคูณของ 25 เนื่องจากลงท้ายด้วย 50 และ 4935 หารด้วย 25 ไม่ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 35

เกณฑ์การหารสำหรับจำนวนประกอบ

หากต้องการทราบว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนประกอบหรือไม่ คุณจำเป็นต้องแยกจำนวนประกอบนี้เป็น ปัจจัยที่ค่อนข้างสำคัญซึ่งทราบเกณฑ์การหาร จำนวนโคไพรม์คือตัวเลขที่ไม่มีตัวหารร่วมอื่นนอกจาก 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนที่หารด้วย 15 ลงตัวถ้าหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของตัวหารประสม: ตัวเลขหารด้วย 18 ลงตัวถ้ามันหารด้วย 2 กับ 9 ลงตัว ในกรณีนี้ คุณไม่สามารถแยก 18 ออกเป็น 3 และ 6 ได้ เนื่องจากพวกมันไม่ใช่โคไพรม เนื่องจากมีตัวหารร่วมเท่ากับ 3 . เราจะตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวเลข 456 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 15 และหารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจากหารด้วย 3 และ 2 ลงตัว แต่ถ้าหาร 456 ด้วย 18 ด้วยตนเอง คุณจะได้เศษที่เหลือ ถ้าสำหรับเลข 456 เราตรวจสอบเครื่องหมายหารด้วย 2 กับ 9 จะเห็นได้ทันทีว่าหารด้วย 2 ลงตัวแต่หารด้วย 9 ไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 15 และไม่ใช่ หารด้วย 9

ชุดบทความเรื่องเครื่องหมายแบ่งแยกยังคงดำเนินต่อไป เครื่องหมายของการหารด้วย3. บทความนี้จะให้การกำหนดเกณฑ์สำหรับการหารด้วย 3 ก่อน และให้ตัวอย่างการใช้เกณฑ์นี้ในการหาว่าจำนวนเต็มที่ให้มาหารด้วย 3 ลงตัวและตัวไหนที่ไม่ใช่ นอกจากนี้ยังให้หลักฐานการทดสอบการหารด้วย 3 แนวทางการสร้างการหารด้วย 3 ตัวเลขที่กำหนดเป็นค่าของนิพจน์บางคำก็ถูกพิจารณาด้วย

การนำทางหน้า

เครื่องหมายหารด้วย 3 ตัวอย่าง

มาเริ่มกันที่ สูตรการทดสอบหารด้วย3: จำนวนเต็มหารด้วย 3 ลงตัวถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว, ถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ตัวเลขก็จะไม่หารด้วย 3 ลงตัว

จากสูตรข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าสัญลักษณ์ของการหารด้วย 3 นั้นใช้ไม่ได้หากไม่มีความสามารถในการบวกจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ สำหรับการใช้เครื่องหมายของการหารด้วย 3 ที่ประสบความสำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าตัวเลขธรรมชาติหลักเดียวทั้งหมด ตัวเลข 3, 6 และ 9 นั้นหารด้วย 3 ลงตัว และตัวเลข 1, 2, 4, 5, 7 กับ 8 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างการใช้แบบทดสอบหารด้วย 3. ลองดูว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ 42. การทำเช่นนี้เราคำนวณผลรวมของตัวเลขหรือไม่ 42 เท่ากับ 4+2=6 เนื่องจาก 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นโดยอาศัยเครื่องหมายของการหารด้วย 3 จึงเถียงได้ว่าจำนวนนั้น 42 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน แต่จำนวนเต็มบวก 71 ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 7+1=8 และ 8 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

0 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่? ในการตอบคำถามนี้ ไม่จำเป็นต้องใช้เกณฑ์การหารด้วย 3 ในที่นี้ เราต้องจำคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของการหารได้ ซึ่งระบุว่า 0 หารด้วยจำนวนเต็มใดๆ ลงตัว 0 จึงหารด้วย 3 ลงตัว

ในบางกรณี เพื่อแสดงว่าจำนวนที่กำหนดมีหรือไม่มีความสามารถในการหารด้วย 3 ลงตัว การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัวจะต้องทำหลายครั้งติดต่อกัน ลองมาดูตัวอย่างกัน

แสดงว่าเลข 907444812 หารด้วย 3 ลงตัว

ผลรวมของตัวเลข 907444812 คือ 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 เพื่อดูว่า 39 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ เราคำนวณผลรวมของตัวเลข: 3+9=12 และเพื่อหาว่า 12 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่, เราหาผลรวมของตัวเลข 12, เรามี 1+2=3. เนื่องจากเราได้เลข 3 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากเครื่องหมายการหารด้วย 3 ลงตัว เลข 12 จึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 39 จึงหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 12 และ 12 หารด้วย 3 ลงตัว สุดท้าย 907333812 หารด้วย 3 ลงตัวเพราะผลรวมของหลักคือ 39 และ 39 หารด้วย 3 ลงตัว

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ 543 205?

ลองคำนวณผลรวมของตัวเลขนี้: 5+4+3+2+0+5=19 ผลรวมของตัวเลข 19 คือ 1+9=10 และผลรวมของตัวเลข 10 คือ 1+0=1 . เนื่องจากเราได้เลข 1 ซึ่งหารด้วย 3 ไม่ลงตัว มันจึงตามด้วยเกณฑ์การหารด้วย 3 ลงตัวว่า 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้น 19 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเพราะว่าผลรวมของหลักคือ 10 และ 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้นจำนวนเดิม?543205จึงไม่หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักที่เท่ากับ 19 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

เป็นที่น่าสังเกตว่าการหารโดยตรงของตัวเลขที่กำหนดด้วย 3 ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลขที่ระบุนั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ จากนี้เราอยากจะบอกว่าไม่ควรละเลยการหารเพื่อสนับสนุนเครื่องหมายการหารด้วย 3 ในตัวอย่างที่แล้ว หาร 543 205 ด้วย 3 ด้วยคอลัมน์ เราต้องแน่ใจว่า 543 205 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ซึ่งเราบอกได้ว่า 543 205 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเช่นกัน

หลักฐานการทดสอบการหารด้วย3

การแสดงตัวเลข a ต่อไปนี้จะช่วยให้เราพิสูจน์เครื่องหมายของการหารด้วย 3 ลงตัว เราสามารถแยกจำนวนธรรมชาติ a เป็นตัวเลข หลังจากนั้นกฎการคูณด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น ทำให้เราได้ค่าแทนค่าของรูปแบบ a=an 10 n +an?1 10 n?1 +…+ 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 โดยที่ an , an?1 , …, 0 คือตัวเลขจากซ้ายไปขวาในตัวเลข a เพื่อความชัดเจน เราได้ยกตัวอย่างของการเป็นตัวแทนดังกล่าว: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

ทีนี้มาเขียนจำนวนความเท่าเทียมกันที่ค่อนข้างชัดเจนกัน: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 และอื่นๆ

แทนที่ลงในสมการ a=an 10 n +an?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 แทน 10 , 100 , 1 000 และอื่นๆ นิพจน์ 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 ไปเรื่อยๆ เราจะได้
.

คุณสมบัติของการเพิ่มจำนวนธรรมชาติและคุณสมบัติของการคูณจำนวนธรรมชาติทำให้สามารถเขียนความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ได้ดังนี้:

การแสดงออก คือผลรวมของตัวเลขของ a ให้เรากำหนดเพื่อความกระชับและความสะดวกด้วยตัวอักษร A นั่นคือเรายอมรับ จากนั้นเราจะได้ตัวเลข a ของแบบฟอร์ม ซึ่งเราจะใช้ในการพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว

นอกจากนี้ เพื่อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 เราต้องมีคุณสมบัติของการหารดังต่อไปนี้:

• สำหรับจำนวนเต็ม a ที่จะหารด้วยจำนวนเต็ม b จำเป็นและเพียงพอที่โมดูลัสของ a หารด้วยโมดูลัสของ b ลงตัว;
• ถ้าในความเท่าเทียมกัน a=s+t ทุกเทอม ยกเว้นบางอัน หารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัวแล้ว เทอมนี้หารด้วย b ลงตัวด้วย

ตอนนี้เราเตรียมพร้อมและดำเนินการอย่างเต็มที่แล้ว หลักฐานการหารด้วย3เพื่อความสะดวก เรากำหนดคุณลักษณะนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการหารด้วย 3

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วย 3 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว

สำหรับ a=0 ทฤษฎีบทนั้นชัดเจน

ถ้า a แตกต่างจากศูนย์ โมดูลัสของ a จะเป็นจำนวนธรรมชาติ การแทนค่าก็เป็นไปได้ โดยที่เป็นผลรวมของหลักของ a

เนื่องจากผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นจึงเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นตามคำจำกัดความของการหาร ผลคูณหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ a 0 , a 1 , …, a n

หากผลรวมของตัวเลข a หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ A หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากคุณสมบัติการหารที่ระบุก่อนทฤษฎีบท มันจึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น a จึงหารด้วย 3 ลงตัว เป็นการพิสูจน์ความพอเพียง

หาก a หารด้วย 3 ลงตัว มันก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน เนื่องจากคุณสมบัติการหารเหมือนกัน ตัวเลข A หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ ผลรวมของหลักเลข a หารด้วย 3 ลงตัว นี่เป็นการพิสูจน์ความจำเป็น

กรณีอื่นๆ ของการหารด้วย3

บางครั้งจำนวนเต็มไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน แต่เป็นค่าของนิพจน์บางตัวที่มีตัวแปรสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์สำหรับ n ธรรมดาบางตัวเป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยการกำหนดตัวเลขนี้ การหารโดยตรงด้วย 3 จะไม่ช่วยให้เกิดการหารด้วย 3 และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 จะไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตอนนี้เราจะพิจารณาแนวทางต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว

สาระสำคัญของวิธีการเหล่านี้คือการแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ และหากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของการหารจึงสรุปได้ว่าทั้งหมด สินค้าหารด้วย 3 ลงตัว

บางครั้งวิธีนี้สามารถทำได้โดยใช้ทวินามของนิวตัน ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ธรรมดาใดๆ หรือไม่

ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน ลองใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

ในนิพจน์สุดท้าย เราสามารถเอา 3 ออกจากวงเล็บเหลี่ยม และเราก็ได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากมีตัวประกอบ 3 และค่าของนิพจน์ในวงเล็บสำหรับ natural n เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น จึงหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

ในหลายกรณี การหารด้วย 3 สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มาวิเคราะห์การใช้งานในการแก้ตัวอย่างกัน

พิสูจน์ว่าสำหรับ n ธรรมดาใดๆ ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัว

สำหรับการพิสูจน์ เราใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

สำหรับ n=1 ค่าของนิพจน์คือ และ 6 หารด้วย 3 ลงตัว

สมมติว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัวเมื่อ n=k นั่นคือหารด้วย 3 ลงตัว

โดยพิจารณาว่าหารด้วย 3 ลงตัว เราจะแสดงว่าค่าของนิพจน์สำหรับ n=k+1 หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือเราจะแสดงว่า หารด้วย 3 ลงตัว

มาทำการเปลี่ยนแปลงกัน:

นิพจน์หารด้วย 3 และนิพจน์ หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นผลรวมจึงหารด้วย 3 ลงตัว

ดังนั้นวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงพิสูจน์ว่าหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

ขอแสดงวิธีการพิสูจน์การหารด้วย 3 อีกวิธีหนึ่ง หากเราแสดงว่าสำหรับ n=3 m , n=3 m+1 และ n=3 m+2 โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ ค่าของนิพจน์บางค่า (พร้อมตัวแปร n) หารด้วย 3 ลงตัว ก็จะพิสูจน์ได้ การหารนิพจน์ด้วย 3 สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ พิจารณาแนวทางนี้เมื่อแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้

แสดงสิ่งที่หารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ธรรมดาใดๆ

สำหรับ n=3 m เรามี ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย 3 ลงตัว เพราะมีตัวประกอบ 3 หารด้วย 3 ลงตัว

ผลลัพธ์ที่ได้ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน

และผลิตภัณฑ์นี้หารด้วย 3 ลงตัว

ดังนั้น จึงหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

โดยสรุป เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง

ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 . ลงตัวหรือไม่ สำหรับบางธรรมชาติ n .

สำหรับ n=1 เรามี ผลรวมของตัวเลขของจำนวนผลลัพธ์คือ 3 ดังนั้นเครื่องหมายของการหารด้วย 3 ทำให้เรายืนยันว่าตัวเลขนี้หารด้วย 3 ลงตัว

สำหรับ n=2 เรามี ผลรวมของตัวเลขและตัวเลขนี้คือ 3 จึงหารด้วย 3 ลงตัว

เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับ n ธรรมดาอื่นๆ เราจะมีตัวเลขที่ผลรวมของหลักเป็น 3 ดังนั้น ตัวเลขเหล่านี้จึงหารด้วย 3 ลงตัว

ทางนี้, สำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ หารด้วย 3 ลงตัว

www.cleverstudents.ru

คณิตศาสตร์ ป.6 ตำราเรียนสำหรับนักศึกษาองค์กรการศึกษา Zubareva I.I. , Mordkovich A.G. , 2014

คณิตศาสตร์ ป.6 ตำราสำหรับนักเรียนขององค์กรการศึกษา Zubareva I.I. , Mordkovich A.G. , 2014

เนื้อหาเชิงทฤษฎีในหนังสือเรียนถูกนำเสนอในลักษณะที่ครูสามารถประยุกต์ใช้วิธีการแบบอิงปัญหาในการสอนได้ ด้วยความช่วยเหลือของระบบสัญกรณ์ แบบฝึกหัดของความซับซ้อนสี่ระดับมีความโดดเด่น ในแต่ละย่อหน้า งานควบคุมจะถูกกำหนดขึ้นโดยพิจารณาจากสิ่งที่นักเรียนจำเป็นต้องรู้และสามารถบรรลุถึงระดับของมาตรฐานการศึกษาคณิตศาสตร์ มีแบบทดสอบที่บ้านและคำตอบอยู่ท้ายหนังสือเรียน ภาพประกอบสี (ภาพวาดและไดอะแกรม) ให้ความชัดเจนในระดับสูงของสื่อการเรียนรู้
เป็นไปตามข้อกำหนดของ GEF LLC

งาน

4. วาดรูปสามเหลี่ยม ABC และทำเครื่องหมายจุด O ด้านนอก (ดังในรูปที่ 11) สร้างรูปสมมาตรกับสามเหลี่ยม ABC เทียบกับจุด O

5. วาดสามเหลี่ยม KMN และสร้างรูปสมมาตรกับสามเหลี่ยมนี้โดยคำนึงถึง:
ก) จุดยอด - จุด M;
b) คะแนน O - จุดกึ่งกลางของฝั่ง MN

6. สร้างรูปทรงที่สมมาตร:
ก) เรย์ OM สัมพันธ์กับจุด O; เขียนว่าจุดใดสมมาตรกับจุด O
b) รังสี OM เทียบกับจุด A โดยพลการที่ไม่ได้เป็นของรังสีนี้
c) เส้นตรง AB เทียบกับจุด O ไม่ใช่ของเส้นนี้
d) เส้น AB เกี่ยวกับจุด O ที่อยู่ในเส้นนี้ เขียนว่าจุดใดสมมาตรกับจุด O
ในแต่ละกรณี ให้อธิบายตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขสมมาตรจากส่วนกลาง

สารบัญ
บทที่ I. ตัวเลขบวกและลบ พิกัด
§ 1 การหมุนและสมมาตรกลาง
§ 2 ตัวเลขบวกและลบ พิกัดสาย
§ 3 โมดูลัสของจำนวน เลขตรงข้าม
§ 4. การเปรียบเทียบตัวเลข
§ 5. เส้นขนานกัน
§ 6. นิพจน์ตัวเลขที่มีเครื่องหมาย "+", "-"
§ 7. ผลรวมเชิงพีชคณิตและคุณสมบัติของมัน
§ 8 กฎสำหรับการคำนวณมูลค่าของผลรวมเชิงพีชคณิตของตัวเลขสองตัว
§ 9 ระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัด
§ 10. ความสมมาตรตามแนวแกน
§ 11. ช่องว่างจำนวน
§ 12. การคูณและการหารจำนวนบวกและลบ
§ 13 พิกัด
§ 14. ระนาบพิกัด
§ 15. การคูณและการหารเศษส่วนธรรมดา
§ 16. กฎการคูณสำหรับปัญหาเชิงผสม
บทที่ II. การแปลงนิพจน์ตามตัวอักษร
§ 17. การขยายวงเล็บ
§ 18. การลดความซับซ้อนของนิพจน์
§ 19. การแก้สมการ
§ 20. การแก้ปัญหาในการคอมไพล์สมการ
§ 21. ปัญหาหลักสองประการเกี่ยวกับเศษส่วน
§ 22. วงกลม เส้นรอบวง
§ 23. วงกลม พื้นที่ของวงกลม
§ 24. บอล ทรงกลม
บทที่ III. การหารจำนวนธรรมชาติ
§ 25. ตัวหารและตัวคูณ
§ 26. การแบ่งงาน
§ 27. การหารผลรวมและผลต่างของตัวเลข
§ 28. สัญญาณของการหารด้วย 2, 5, 10, 4 และ 25
§ 29. สัญญาณของการหารด้วย 3 และ 9
§ 30. หมายเลขเฉพาะ การย่อยสลายตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
§ 31. ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
§ 32. หมายเลข Coprime สัญญาณของการหารด้วยผลิตภัณฑ์ ตัวคูณร่วมน้อย
บทที่ IV. คณิตศาสตร์รอบตัวเรา
§ 33. อัตราส่วนของตัวเลขสองตัว
§ 34. ไดอะแกรม
§ 35. สัดส่วนของปริมาณ
§ 36. การแก้ปัญหาโดยใช้สัดส่วน
§ 37. งานเบ็ดเตล็ด
§ 38. ทำความรู้จักกับแนวคิดเรื่อง "ความน่าจะเป็น" เป็นครั้งแรก
§ 39. ความคุ้นเคยครั้งแรกกับการคำนวณความน่าจะเป็น
การทดสอบที่บ้าน
หัวข้อกิจกรรมโครงการ
คำตอบ

ดาวน์โหลด e-book ฟรีในรูปแบบที่สะดวกและอ่าน:

คณิตศาสตร์

เอกสารอ้างอิงทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 1-6

พ่อแม่ที่รัก!หากคุณกำลังมองหาครูสอนคณิตศาสตร์ให้ลูกของคุณ โฆษณานี้เหมาะสำหรับคุณ ฉันเสนอกวดวิชา Skype: การเตรียมตัวสำหรับ OGE, การสอบแบบรวมศูนย์, การกำจัดช่องว่างในความรู้ ผลประโยชน์ของคุณชัดเจน:

1) ลูกของคุณอยู่ที่บ้าน และคุณสามารถสงบสติอารมณ์ได้

2) ชั้นเรียนจัดขึ้นในเวลาที่สะดวกสำหรับเด็ก และคุณยังสามารถเข้าร่วมชั้นเรียนเหล่านี้ได้อีกด้วย ฉันอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนบนกระดานของโรงเรียนตามปกติ

3) คุณสามารถนึกถึงข้อดีที่สำคัญอื่น ๆ ของคลาส Skype ได้ด้วยตัวเอง!

เขียนถึงฉันที่: หรือเพิ่มฉันใน Skype ทันทีและเราจะตกลงทุกอย่าง ราคาไม่แพง

ป.ล. มีบทเรียนในกลุ่มนักเรียน 2-4 คน

ขอแสดงความนับถือ Tatyana Yakovlevna Andryushchenko เป็นผู้เขียนเว็บไซต์นี้

เพื่อนรัก!

ฉันยินดีที่จะเสนอให้คุณดาวน์โหลดเอกสารอ้างอิงคณิตศาสตร์ฟรีสำหรับ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ดาวน์โหลดที่นี่!

เพื่อนรัก!

ไม่เป็นความลับที่เด็กบางคนมีปัญหาในการคูณและหารยาว ส่วนใหญ่มักเกิดจากความรู้ตารางสูตรคูณไม่เพียงพอ ฉันเสนอให้เรียนรู้ตารางสูตรคูณด้วยความช่วยเหลือของโลโต ดูเพิ่มเติมที่นี่ ดาวน์โหลดล็อตโต้ได้ที่นี่

เพื่อนรัก!อีกไม่นานก็จะเผชิญ (หรือเผชิญมาแล้ว) ที่จะต้องตัดสินใจ งานดอกเบี้ย. ปัญหาดังกล่าวเริ่มได้รับการแก้ไขในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และสิ้นสุด แต่พวกเขาไม่จบการแก้ปัญหาสำหรับเปอร์เซ็นต์! งานเหล่านี้พบได้ทั้งในการควบคุมและในการสอบ: ทั้งที่โอนได้ และ OGE และการสอบแบบรวมศูนย์ จะทำอย่างไร? เราต้องเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ หนังสือ How to Solve Problems with Percentages ของฉันจะช่วยคุณในเรื่องนี้ รายละเอียดที่นี่!

การบวกเลข.

• a+b=cโดยที่ a และ b เป็นพจน์ c คือผลรวม
• หากต้องการหาพจน์ที่ไม่รู้จัก ให้ลบพจน์ที่ทราบออกจากผลรวม

การลบตัวเลข

• a-b=cโดยที่ a คือจุดต่ำสุด b คือ subtrahend c คือผลต่าง
• หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่ม subtrahend ให้กับส่วนต่าง
• ในการหาค่า subtrahend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบส่วนต่างออกจาก minuend

การคูณเลข.

• ข=คโดยที่ a และ b เป็นปัจจัย c คือผลคูณ
• ในการหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ

หารเลข.

• a:b=cโดยที่ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร
• ในการหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก คุณต้องคูณตัวหารด้วยผลหาร
• ในการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารเงินปันผลด้วยผลหาร

กฎของการบวก

• a+b=b+a(การกระจัด: ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่)
• (a+b)+c=a+(b+c)(เชื่อมโยงกัน: ในการเพิ่มตัวเลขที่สามเข้ากับผลรวมของสองเทอม คุณสามารถเพิ่มผลรวมของตัวเลขที่สองและสามเข้ากับตัวเลขแรกได้)

ตารางเสริม.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

กฎของการคูณ

• a b=b a(การกระจัด: การเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลิตภัณฑ์)
• (a b) c=a (bc)(รวมกัน: ในการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวกับตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวที่สองและสามได้)
• (a+b) c=a c+b c(กฎการกระจายของการคูณเกี่ยวกับการบวก: ในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์)
• (a-b) c=a cb c(กฎการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยจำนวนที่สาม คุณสามารถคูณด้วยจำนวนนี้ที่ลดลงและลบแยกกัน และลบผลลัพธ์ที่สองออกจากผลลัพธ์แรก)

ตารางสูตรคูณ.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

ตัวหารและตัวคูณ

• ตัวแบ่งตัวเลขธรรมชาติ แต่ตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติโดยที่ แต่แบ่งโดยไม่เหลือเศษ. (ตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 เป็นตัวหารของจำนวน 24 เนื่องจาก 24 แต่ละตัวหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ) 1 ตัวหารของจำนวนธรรมชาติใดๆ ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนใด ๆ คือจำนวนนั้นเอง
• หลายรายการตัวเลขธรรมชาติ ขเป็นจำนวนธรรมชาติที่หารไม่มีเศษด้วย ข. (ตัวเลข 24, 48, 72, ... เป็นผลคูณของจำนวน 24 เนื่องจากหารด้วย 24 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ) ตัวคูณที่น้อยที่สุดของจำนวนใดๆ ก็คือตัวมันเอง

สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติ

• ตัวเลขที่ใช้เมื่อนับวัตถุ (1, 2, 3, 4, ...) เรียกว่าจำนวนธรรมชาติ ชุดของตัวเลขธรรมชาติเขียนแทนด้วยตัวอักษร นู๋.
• ตัวเลข 0, 2, 4, 6, 8 เรียกว่า สม่ำเสมอตัวเลข ตัวเลขที่ลงท้ายด้วยเลขคู่เรียกว่าเลขคู่
• ตัวเลข 1, 3, 5, 7, 9 เรียกว่า แปลกตัวเลข ตัวเลขที่ลงท้ายด้วยเลขคี่เรียกว่าเลขคี่
• สัญลักษณ์ของการหารด้วยเลข 2. จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ลงท้ายด้วยเลขคู่หารด้วย 2 ลงตัว
• เครื่องหมายหารด้วยเลข 5. จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว
• สัญลักษณ์ของการหารด้วยจำนวน10. จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 0 หารด้วย 10 ลงตัว
• เครื่องหมายหารด้วยเลข 3. หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 3 ลงตัว
• เครื่องหมายหารด้วยเลข 9. หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 9 ลงตัว
• เครื่องหมายหารด้วยเลข 4. หากตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ระบุหารด้วย 4 ลงตัว ตัวเลขที่ระบุจะหารด้วย 4 ลงตัว
• เครื่องหมายหารด้วยเลข 11หากผลต่างระหว่างผลรวมของหลักในตำแหน่งคี่และผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่หารด้วย 11 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะถูกหารด้วย 11 ลงตัว

• จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวหารเพียงสองตัว: ตัวหนึ่งและตัวตัวเลขเอง
• จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว
• จำนวน 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนเชิงประกอบ
• การเขียนจำนวนประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเท่านั้นเรียกว่าการแยกตัวประกอบจำนวนรวมเป็นตัวประกอบเฉพาะ จำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

• ตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติที่กำหนดคือจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่แต่ละจำนวนเหล่านี้หารลงตัว
• ตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้เท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมในการขยายตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่าง. GCD(24, 42)=2 3=6 เนื่องจาก 24=2 2 2 3, 42=2 3 7 ตัวประกอบเฉพาะทั่วไปของพวกมันคือ 2 และ 3
• หากจำนวนธรรมชาติมีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - หนึ่งตัว ตัวเลขเหล่านี้จะเรียกว่าโคไพรม์

• ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติที่กำหนดคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของตัวเลขที่ระบุแต่ละตัว ตัวอย่าง. LCM(24, 42)=168. นี่เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 24 และ 42 ลงตัว
• ในการหาค่า LCM ของจำนวนธรรมชาติหลายๆ ตัว มีความจำเป็น: 1) แยกส่วนตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวประกอบเฉพาะ; 2) เขียนการขยายตัวของตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดและคูณด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของตัวเลขอื่น ๆ
• ผลคูณที่น้อยที่สุดของจำนวน coprime สองตัวเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้

ข- ตัวส่วนของเศษส่วน แสดงจำนวนส่วนที่หารเท่ากัน

เอ-ตัวเศษของเศษส่วน แสดงจำนวนส่วนดังกล่าวที่ถ่าย แถบเศษส่วนหมายถึงเครื่องหมายหาร

บางครั้งแทนที่จะใช้เส้นเศษส่วนแนวนอน พวกเขาใส่เครื่องหมายทับและเศษส่วนธรรมดาเขียนดังนี้: a/b.

• ที่ เศษส่วนที่เหมาะสมตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน
• ที่ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมตัวเศษมากกว่าตัวส่วนหรือเท่ากับตัวส่วน

หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน จะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วน

การหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมของพวกมันนอกเหนือจากตัวหนึ่งเรียกว่าการลดลงเศษส่วน

• จำนวนที่ประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและส่วนเศษส่วนเรียกว่าจำนวนคละ
• ในการแทนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นจำนวนคละ จำเป็นต้องนำตัวเศษมาหารด้วยตัวส่วน จากนั้น ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละ ส่วนที่เหลือจะเป็นตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม
• ในการแทนจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คุณต้องคูณส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละด้วยตัวส่วน บวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วนในผลลัพธ์ แล้วเขียนลงในตัวเศษของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วปล่อยตัวส่วน เหมือน.

• เรย์ โอ้โดยมีจุดกำเนิดที่จุด เกี่ยวกับ, ที่ ตัดเดียวถึงและ ทิศทาง, เรียกว่า พิกัดลำแสง.
• เรียกจำนวนที่ตรงกับจุดของรังสีพิกัด ประสานงานจุดนี้. ตัวอย่างเช่น , เอ(3). อ่าน: จุด A พร้อมพิกัด 3

• ตัวส่วนร่วมต่ำสุด ( NOZ) ของเศษส่วนที่ลดไม่ได้เหล่านี้เป็นตัวคูณร่วมน้อย ( NOC) ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้
• ในการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมต่ำสุด คุณต้อง: 1) หาตัวหารร่วมน้อยของเศษส่วนเหล่านี้ มันจะเป็นตัวส่วนร่วมน้อย 2) หาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแต่ละส่วน โดยเราจะหารตัวส่วนใหม่ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน 3) คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม

• จากเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวที่มีตัวเศษมากกว่าจะมากกว่า และตัวที่มีตัวเศษน้อยกว่าจะน้อยกว่า
• จากเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน ตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะมากกว่า และตัวที่มีตัวส่วนมากกว่าจะน้อยกว่า
• หากต้องการเปรียบเทียบเศษส่วนกับตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน คุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด แล้วเปรียบเทียบเศษส่วนกับตัวส่วนเดียวกัน

การดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดา

• ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน
• หากคุณต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ให้ลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมต่ำสุดก่อน แล้วจึงบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
• หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวเศษของเศษส่วนที่สองจะถูกลบออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และตัวส่วนจะเหลือเท่าเดิม
• หากคุณต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ให้นำเศษส่วนนั้นมาที่ตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันจะถูกลบออก
• เมื่อดำเนินการบวกหรือลบจำนวนคละ การดำเนินการเหล่านี้จะดำเนินการแยกกันสำหรับส่วนจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วน จากนั้นผลลัพธ์จะถูกเขียนเป็นจำนวนคละ

• ผลคูณของเศษส่วนธรรมดาสองส่วน เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของเศษส่วน และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด
• ในการคูณเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้ และปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน
• ตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับหนึ่งเรียกว่าจำนวนซึ่งกันและกัน
• เมื่อคูณจำนวนคละ พวกมันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน
• ในการหาเศษส่วนของตัวเลข คุณต้องคูณตัวเลขนั้นด้วยเศษส่วนนั้น

• ในการหารเศษส่วนร่วมด้วยเศษส่วนร่วม คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร
• เมื่อทำการหารจำนวนคละ พวกมันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน
• ในการหารเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาตินี้ แล้วปล่อยให้ตัวเศษเหมือนกัน ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
• ในการหาตัวเลขด้วยเศษส่วน คุณต้องหารด้วยเศษส่วนนี้ด้วยจำนวนที่ตรงกับตัวเลขนั้น

• เศษส่วนทศนิยมคือตัวเลขที่เขียนในระบบทศนิยมและมีตัวเลขน้อยกว่าหนึ่งหลัก (3.25; 0.1457 เป็นต้น)
• ตำแหน่งทศนิยมหลังจุดทศนิยมเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม
• เศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มหรือทิ้งศูนย์ที่ส่วนท้ายของเศษทศนิยม

ในการเพิ่มเศษส่วนทศนิยม คุณต้อง: 1) ทำให้จำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากันในเศษส่วนเหล่านี้ 2) เขียนลงไปใต้อีกอันหนึ่งเพื่อให้จุลภาคเขียนไว้ใต้ลูกน้ำ; 3) ทำการบวก ละเว้นเครื่องหมายจุลภาค และใส่เครื่องหมายจุลภาคไว้ใต้เครื่องหมายจุลภาคในเศษส่วนรวมในผลรวม

ในการลบเศษส่วนทศนิยม คุณต้อง: 1) ทำให้จำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากันใน minuend และ subtrahend; 2) ลงนามการลบภายใต้การลดลงเพื่อให้เครื่องหมายจุลภาคอยู่ภายใต้เครื่องหมายจุลภาค; 3) ทำการลบโดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค และในผลลัพธ์ ให้ใส่เครื่องหมายจุลภาคไว้ใต้เครื่องหมายจุลภาคของ minuend และ subtrahend

• ในการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องคูณมันด้วยตัวเลขนี้ โดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค และในผลลัพธ์ที่ได้ ให้แยกตัวเลขทางด้านขวามากที่สุดเท่าที่มีหลังจุดทศนิยมในเศษส่วนที่กำหนด
• ในการคูณเศษส่วนทศนิยมหนึ่งด้วยอีกเศษหนึ่ง คุณต้องทำการคูณโดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค และในผลลัพธ์ที่ได้ ให้แยกตัวเลขหลายๆ หลักด้วยเครื่องหมายจุลภาคทางด้านขวา ซึ่งอยู่หลังเครื่องหมายจุลภาคในปัจจัยทั้งสองเข้าด้วยกัน
• ในการคูณทศนิยมด้วย 10, 100, 1000 ฯลฯ คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาด้วย 1, 2, 3 ฯลฯ หลัก
• ในการคูณทศนิยมด้วย 0.1; 0.01; 0.001 เป็นต้น คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางซ้ายด้วย 1, 2, 3 ฯลฯ หลัก

• ในการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหารเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติจะถูกหาร และใส่เครื่องหมายจุลภาคในไพรเวตเมื่อการหารส่วนจำนวนเต็มสิ้นสุดลง
• ในการหารทศนิยมด้วย 10, 100, 1,000 ฯลฯ คุณต้องเลื่อนเครื่องหมายจุลภาคไปทางซ้ายด้วย 1, 2, 3 ฯลฯ หลัก

• ในการหารตัวเลขด้วยทศนิยม คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคในตัวหารและตัวหารจำนวนหลักไปทางขวาตามหลังจุดทศนิยมในตัวหาร แล้วหารด้วยจำนวนธรรมชาติ
• ในการหารทศนิยมด้วย 0.1; 0.01; 0.001 เป็นต้น คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาด้วย 1, 2, 3 ฯลฯ หลัก (การหารทศนิยมด้วย 0.1; 0.01; 0.001 ฯลฯ เหมือนกับการคูณทศนิยมนั้นด้วย 10, 100, 1000 เป็นต้น)

ในการปัดเศษตัวเลขให้เป็นตัวเลขบางหลัก เราขีดเส้นใต้ตัวเลขของหลักนี้ จากนั้นเราจะแทนที่ตัวเลขทั้งหมดหลังตัวเลขที่ขีดเส้นใต้ด้วยศูนย์ และหากอยู่หลังจุดทศนิยม เราจะทิ้ง หากหลักแรกที่ถูกแทนที่ด้วยศูนย์หรือถูกทิ้งคือ 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ตัวเลขที่ขีดเส้นใต้จะไม่เปลี่ยนแปลง หากหลักแรกแทนที่ด้วยศูนย์หรือทิ้งเป็น 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ตัวเลขที่ขีดเส้นใต้จะเพิ่มขึ้น 1

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขหลายตัว

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขหลายตัวคือผลหารของการหารผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ด้วยจำนวนเทอม

ช่วงของชุดตัวเลข

ความแตกต่างระหว่างค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของชุดข้อมูลเรียกว่าช่วงของชุดตัวเลข

แฟชั่นซีรีส์ตัวเลข.

ตัวเลขที่เกิดขึ้นกับความถี่สูงสุดในบรรดาตัวเลขที่กำหนดของอนุกรมนั้นเรียกว่าโหมดของอนุกรมตัวเลข

• หนึ่งร้อยเรียกว่าเปอร์เซ็นต์ ซื้อหนังสือที่สอน "วิธีแก้ปัญหาร้อยละ"
• หากต้องการแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนหรือจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหารเปอร์เซ็นต์ด้วย 100% (4%=0.04; 32%=0.32)
• หากต้องการแสดงตัวเลขเป็นเปอร์เซ็นต์ คุณต้องคูณด้วย 100% (0.65=0.65 100%=65%; 1.5=1.5 100%=150%)
• ในการหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข คุณต้องแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนธรรมดาหรือทศนิยม แล้วคูณเศษส่วนผลลัพธ์ด้วยจำนวนที่กำหนด
• ในการหาตัวเลขด้วยเปอร์เซ็นต์ คุณต้องแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนธรรมดาหรือทศนิยม แล้วหารจำนวนที่กำหนดด้วยเศษส่วนนี้
• ในการหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขตัวแรกจากตัวที่สอง คุณต้องหารตัวเลขตัวแรกด้วยตัวที่สองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 100%

• ผลหารของตัวเลขสองตัวเรียกว่าอัตราส่วนของตัวเลขเหล่านี้ a:bหรือ a/bคืออัตราส่วนของตัวเลข a และ b นอกจากนี้ a คือพจน์ก่อนหน้า b คือพจน์ถัดไป
• หากเงื่อนไขของความสัมพันธ์นี้ถูกจัดเรียงใหม่ ความสัมพันธ์ที่ได้จะเรียกว่าผกผันของความสัมพันธ์นี้ ความสัมพันธ์ b/a และ a/b นั้นผกผันกัน
• อัตราส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองเงื่อนไขของอัตราส่วนนั้นคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน

• ความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนทั้งสองเรียกว่าสัดส่วน
• a:b=c:d. นี่คือสัดส่วน อ่าน: แต่ดังนั้นนำไปใช้กับ ข, อย่างไร คอ้างถึง d. ตัวเลข a และ d เรียกว่าสมาชิกสุดโต่งของสัดส่วน และตัวเลข b และ c เป็นสมาชิกตรงกลางของสัดส่วน

• ผลคูณของพจน์สุดขั้วของสัดส่วนเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง สำหรับสัดส่วน a:b=c:dหรือ a/b=c/dคุณสมบัติหลักเขียนดังนี้: d=b c.
• ในการหาพจน์สุดขั้วที่ไม่รู้จักของสัดส่วน คุณต้องหารผลคูณของค่าเฉลี่ยของสัดส่วนนั้นด้วยพจน์สุดขั้วที่ทราบ
• ในการหาพจน์กลางที่ไม่รู้จักของสัดส่วน คุณต้องหารผลคูณของพจน์สุดขั้วของสัดส่วนด้วยพจน์กลางที่ทราบ งานตามสัดส่วน.

ให้ค่า yขึ้นอยู่กับขนาด X. หากมีการเพิ่มขึ้น Xหลายเท่าตัว ที่เพิ่มขึ้นด้วยปัจจัยเดียวกัน แล้วค่าดังกล่าว Xและ ที่เรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรง

หากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนโดยตรง อัตราส่วนของค่าสองค่าตามอำเภอใจของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของปริมาณที่สอง

อัตราส่วนของความยาวของส่วนบนแผนที่กับความยาวของระยะทางที่สอดคล้องกันบนพื้นดินเรียกว่ามาตราส่วนของแผนที่

ให้ค่า ที่ขึ้นอยู่กับขนาด X. หากมีการเพิ่มขึ้น Xหลายเท่าตัว ที่ลดลงด้วยปัจจัยเดียวกัน แล้วค่าดังกล่าว Xและ ที่เรียกว่าสัดส่วนผกผัน

หากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนผกผัน อัตราส่วนของค่าสองค่าที่หามาโดยพลการของปริมาณหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนผกผันของค่าที่สอดคล้องกันของอีกปริมาณหนึ่ง

• ชุดคือชุดของวัตถุหรือตัวเลขบางรายการที่รวบรวมตามคุณสมบัติทั่วไปหรือกฎหมาย (ตัวอักษรจำนวนมากในหน้า เศษส่วนปกติจำนวนมากที่มีตัวส่วนเป็น 5 ดาวจำนวนมากบนท้องฟ้า ฯลฯ)
• ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบและมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ เรียกว่าชุดว่างและแสดงแทน โอ้
• เยอะ ในเรียกว่าสับเซตของเซต แต่ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต ในเป็นองค์ประกอบของเซต แต่.
• ตั้งสี่แยก แต่และ ในเป็นเซตที่มีองค์ประกอบของเซต แต่และอีกมากมาย ใน.
• ยูเนี่ยนของเซต แต่และ ในเป็นเซตที่มีองค์ประกอบอยู่ในชุดที่กำหนดอย่างน้อยหนึ่งชุด แต่และ ใน.

ชุดตัวเลข

• นู๋– ชุดตัวเลขธรรมชาติ: 1, 2, 3, 4,…
• Z– ชุดจำนวนเต็ม: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
• คิวเป็นเซตของจำนวนตรรกยะที่แทนค่าเป็นเศษส่วนได้ m/n, ที่ไหน ม- ทั้งหมด, น– ธรรมชาติ (-2; 3/5; v9; v25 เป็นต้น)

• เส้นพิกัดคือเส้นตรงที่กำหนดทิศทางบวก จุดอ้างอิง (จุด O) และส่วนของหน่วย
• แต่ละจุดบนเส้นพิกัดสอดคล้องกับจำนวนหนึ่งซึ่งเรียกว่าพิกัดของจุดนี้ ตัวอย่างเช่น, เอ(5). อ่าน: จุด A พร้อมพิกัดห้า ใน 3). อ่าน: จุด B ที่มีพิกัดลบสาม

• โมดูลัสของจำนวน a (เขียนลงไป |a|) เรียกว่าระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่ตรงกับจำนวนที่กำหนด แต่. ค่าโมดูลัสของจำนวนใดๆ ไม่เป็นค่าลบ |3|=3; |-3|=3 เพราะ ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงหมายเลข -3 และไปยังหมายเลข 3 เท่ากับสามส่วน |0|=0 .
• ตามคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข: |a|=a, ถ้า เป็?0และ |a|=-a, ถ้า ข.
• ถ้าเมื่อเปรียบเทียบตัวเลข a กับ b แล้ว ความแตกต่าง a-bเป็นจำนวนลบ ดังนั้น a จากนั้นจะเรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด
• หากความไม่เท่าเทียมกันเขียนด้วยเครื่องหมาย? หรือ ? ก็เรียกว่า อสมการไม่เคร่งครัด

คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

ช) อสมการของรูปแบบ x?a ตอบ:

แนวคิดหลักและแนวคิดที่จำเป็นสำหรับการจัดกิจกรรมอาสาสมัคร (โดยสมัครใจ) 1. แนวทางทั่วไปในการจัดกิจกรรมอาสาสมัคร (อาสาสมัคร) 1.1 แนวคิดและแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการจัดกิจกรรมอาสาสมัคร (อาสาสมัคร) 1.2. กรอบกฎหมายสำหรับอาสาสมัคร […]

กฎของมูนา กฎของมนูคือชุดของคำสั่งอินเดียโบราณสำหรับหน้าที่ทางศาสนา ศีลธรรม และสังคม (ธรรมะ) หรือที่เรียกว่า "กฎหมายของชาวอารยัน" หรือ "ประมวลเกียรติของชาวอารยัน" Manavadharmashastra เป็นหนึ่งในยี่สิบ Dharmashastras นี่คือชิ้นส่วนที่เลือก (แปลโดย Georgy Fedorovich […]

"การจัดการและการเพิ่มประสิทธิภาพขององค์กรการผลิต" บทคัดย่อ แนวคิดพื้นฐานของจรรยาบรรณทางธุรกิจจะได้รับ แสดงให้เห็นว่าในปัจจุบันเมื่อองค์กรและองค์กรในประเทศถูกรวมเข้ากับชีวิตทางเศรษฐกิจของภูมิภาคต่างๆ ของโลก กฎของการสื่อสารทางธุรกิจจำเป็นต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษ การทดสอบจะได้รับ […]

เพื่อให้การแบ่งจำนวนธรรมชาติง่ายขึ้นจึงได้นำกฎการหารด้วยตัวเลขสิบตัวแรกและตัวเลข 11, 25 ซึ่งนำมารวมกันเป็นส่วน ๆ สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติ. ด้านล่างนี้เป็นกฎที่การวิเคราะห์ตัวเลขโดยไม่หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นจะตอบคำถามคือจำนวนธรรมชาติที่คูณด้วยตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 และ หน่วยบิต?

ตัวเลขธรรมชาติที่มีหลัก (ลงท้ายด้วย) 2,4,6,8,0 ในหลักแรกเรียกว่าคู่

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย2

จำนวนคู่ทั้งหมดหารด้วย 2 ลงตัว เช่น 172, 94.67 838, 1670

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 3

จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ผลรวมของหลักเป็นทวีคูณของ 3 หารด้วย 3 ลงตัว ตัวอย่างเช่น
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 4

จำนวนธรรมชาติทั้งหมดหารด้วย 4 ลงตัว โดยสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือผลคูณของ 4 ตัวอย่างเช่น
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 5

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 6

ตัวเลขธรรมชาติเหล่านั้นที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัวในเวลาเดียวกันนั้นหารด้วย 6 ลงตัว (จำนวนคู่ทั้งหมดที่หารด้วย 3) ลงตัว ตัวอย่างเช่น: 126 (b - คู่ 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3)

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 9

ตัวเลขธรรมชาติเหล่านั้นหารด้วย 9 ลงตัว ซึ่งผลรวมของหลักนั้นคือผลคูณของ 9 ตัวอย่างเช่น
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 10

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 11

เฉพาะจำนวนธรรมชาติเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 11 ลงตัว ซึ่งผลรวมของหลักที่ครอบครองตำแหน่งคู่เท่ากับผลรวมของหลักที่ครอบครองตำแหน่งคี่ หรือผลต่างระหว่างผลรวมของหลักตำแหน่งคี่กับผลรวมของหลักตำแหน่งคู่ เป็นผลคูณของ 11 ตัวอย่างเช่น:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 และ 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 และ 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 25

จำนวนธรรมชาติเหล่านี้หารด้วย 25 ลงตัว โดยสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือผลคูณของ 25 ตัวอย่างเช่น
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

เครื่องหมายการหารตัวเลขด้วยหน่วยบิต

ตัวเลขธรรมชาติเหล่านั้นถูกแบ่งออกเป็นหน่วยบิต ซึ่งจำนวนศูนย์มากกว่าหรือเท่ากับจำนวนศูนย์ของหน่วยบิต ตัวอย่างเช่น 12,000 หารด้วย 10, 100 และ 1,000 ลงตัว

เครื่องหมายแบ่ง

ป้ายแบ่ง- กฎที่ช่วยให้คุณกำหนดได้อย่างรวดเร็วว่าตัวเลขนั้นเป็นผลคูณของจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าหรือไม่ โดยไม่ต้องทำการหารจริง ตามกฎแล้ว จะขึ้นอยู่กับการกระทำที่มีส่วนของตัวเลขจากสัญกรณ์ตัวเลขในระบบตัวเลขตำแหน่ง (โดยปกติจะเป็นทศนิยม)

มีกฎง่ายๆ หลายประการที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาตัวหารเล็ก ๆ ของตัวเลขในระบบเลขฐานสิบได้:

เครื่องหมายของการหารด้วย2

เครื่องหมายของการหารด้วย3

หารด้วย 4 เครื่องหมาย

เครื่องหมายหารด้วย 5

เครื่องหมายของการหารด้วย6

เครื่องหมายของการหารด้วย7

เครื่องหมายของการหารด้วย8

เครื่องหมายหารด้วย 9

เครื่องหมายหารด้วย 10

เครื่องหมายหารด้วย 11

เครื่องหมายหารด้วย 12

เครื่องหมายหารด้วย 13

เครื่องหมายหารด้วย14

เครื่องหมายหารด้วย 15

เครื่องหมายหารด้วย 17

เครื่องหมายหารด้วย 19

เครื่องหมายหารด้วย 23

เครื่องหมายหารด้วย 25

เครื่องหมายหารด้วย 99

เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 2 หลักจากขวาไปซ้าย (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีได้หนึ่งหลัก) และหาผลรวมของกลุ่มเหล่านี้โดยพิจารณาว่าเป็นตัวเลขสองหลัก ผลรวมนี้หารด้วย 99 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นหารด้วย 99 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 101

เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 2 หลักจากขวาไปซ้าย (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีได้หนึ่งหลัก) และหาผลรวมของกลุ่มเหล่านี้ด้วยเครื่องหมายตัวแปร โดยพิจารณาว่าเป็นตัวเลขสองหลัก ผลรวมนี้หารด้วย 101 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นหารด้วย 101 ลงตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 590547 หารด้วย 101 ลงตัว เนื่องจาก 59-05+47=101 หารด้วย 10 ลงตัว)

เครื่องหมายของการหารด้วย2 น

จำนวนหนึ่งหารด้วยกำลังที่ n ของสองจะลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนที่เกิดขึ้นจากเลข n ตัวสุดท้ายหารด้วยยกกำลังเดียวกันเท่านั้น

เครื่องหมายหารด้วย 5 น

จำนวนหนึ่งหารด้วยกำลังที่ n ของ 5 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนที่เกิดขึ้นจากหลัก n ตัวสุดท้ายของมันหารด้วยยกกำลังเดียวกันเท่านั้น

เครื่องหมายหารด้วย 10 น − 1

เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ n หลักจากขวาไปซ้าย (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีได้ตั้งแต่ 1 ถึง n หลัก) และหาผลรวมของกลุ่มเหล่านี้โดยพิจารณาว่าเป็นตัวเลข n หลัก จำนวนนี้หารด้วย10 น− 1 ก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นหารด้วย 10 . ลงตัว น − 1 .

เครื่องหมายหารด้วย 10 น

จำนวนหารด้วยกำลัง n ของสิบก็ต่อเมื่อ n หลักสุดท้ายคือ