เครื่องหมายของการหารด้วย2
ตัวเลขหารด้วย 2 ลงตัวก็ต่อเมื่อหลักสุดท้ายของหารด้วย 2 ลงตัว นั่นคือ เลขคู่

เครื่องหมายของการหารด้วย3
ตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว

หารด้วย 4 เครื่องหมาย
ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 5
ตัวเลขหารด้วย 5 ลงตัวก็ต่อเมื่อหลักสุดท้ายหารด้วย 5 ลงตัว (เช่น เท่ากับ 0 หรือ 5)

เครื่องหมายของการหารด้วย6
ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

เครื่องหมายของการหารด้วย7
ตัวเลขหารด้วย 7 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลการลบสองหลักสุดท้ายจากตัวเลขนี้โดยไม่มีหลักสุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 259 หารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจาก 25 - (2 9) = 7 ลงตัว โดย 7)

เครื่องหมายของการหารด้วย8
ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวก็ต่อเมื่อสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 9
ตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 10
ตัวเลขหารด้วย 10 ลงตัวก็ต่อเมื่อลงท้ายด้วยศูนย์เท่านั้น

เครื่องหมายหารด้วย 11
ตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมของหลักที่มีเครื่องหมายสลับกันหารด้วย 11 ลงตัว (นั่นคือ 182919 หารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจาก 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 หารด้วย 11) - ผลที่ตามมาของความจริงที่ว่าตัวเลขทั้งหมดของรูปแบบ 10 n เมื่อหารด้วย 11 ให้เศษของ (-1) n .

เครื่องหมายหารด้วย 12
ตัวเลขหารด้วย 12 ลงตัวก็ต่อเมื่อหารด้วย 3 และ 4 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 13
ตัวเลขจะหารด้วย 13 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบของตัวเลขนั้นบวกด้วยสี่เท่าของจำนวนหน่วย เป็นผลคูณของ 13 (เช่น 845 หารด้วย 13 ลงตัว เนื่องจาก 84 + (4 5) = 104 คือ หารด้วย 13)

เครื่องหมายหารด้วย14
ตัวเลขหารด้วย 14 ลงตัวก็ต่อเมื่อหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 15
ตัวเลขหารด้วย 15 ลงตัวก็ต่อเมื่อหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 17
จำนวนหนึ่งหารด้วย 17 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบของตัวเลขนั้นบวกกับจำนวนหน่วยที่เพิ่มขึ้นด้วย 12 จะเป็นผลคูณของ 17 (เช่น 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. เนื่องจาก 34 หารด้วย 17 ลงตัว ดังนั้น 29053 จึงหารด้วย 17 ลงตัวด้วย) เครื่องหมายไม่สะดวกเสมอไป แต่มีความหมายบางอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ มีวิธีที่ง่ายกว่าเล็กน้อย - ตัวเลขหารด้วย 17 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลต่างระหว่างจำนวนหลักสิบกับห้าเท่าของจำนวนหน่วยเป็นผลคูณของ 17 (เช่น 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15 เนื่องจาก 15 ไม่หารด้วย 17 ไม่ลงตัว ดังนั้น 32952 ก็หารด้วย 17 ไม่ลงตัว)

เครื่องหมายหารด้วย 19
ตัวเลขจะหารด้วย 19 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบของตัวเลขนั้นบวกด้วยสองเท่าของจำนวนหน่วย เป็นผลคูณของ 19 (เช่น 646 หารด้วย 19 ลงตัว เนื่องจาก 64 + (6 2) = 76 ลงตัว ภายใน 19)

เครื่องหมายหารด้วย 23
จำนวนหนึ่งหารด้วย 23 ลงตัวก็ต่อเมื่อหลายร้อยบวกสามเท่า หลักสิบของมันคือผลคูณของ 23 (เช่น 28842 หารด้วย 23 ลงตัว เนื่องจาก 288 + (3 * 42) = 414 ต่อเนื่อง 4 + (3 * 14) = 46 หารด้วย 23 ลงตัว).

เครื่องหมายหารด้วย 25
ตัวเลขจะหารด้วย 25 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขสองหลักสุดท้ายหารด้วย 25 ลงตัว (ซึ่งก็คือรูปแบบ 00, 25, 50 หรือ 75) หรือตัวเลขดังกล่าวเป็นผลคูณของ 5

เครื่องหมายหารด้วย 99
เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 2 หลักจากขวาไปซ้าย (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีได้หนึ่งหลัก) และหาผลรวมของกลุ่มเหล่านี้โดยพิจารณาว่าเป็นตัวเลขสองหลัก ผลรวมนี้หารด้วย 99 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนนั้นหารด้วย 99 ลงตัว

เครื่องหมายหารด้วย 101
เราแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 2 หลักจากขวาไปซ้าย (กลุ่มซ้ายสุดสามารถมีได้หนึ่งหลัก) และหาผลรวมของกลุ่มเหล่านี้ด้วยเครื่องหมายตัวแปร โดยพิจารณาว่าเป็นตัวเลขสองหลัก ผลรวมนี้หารด้วย 101 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นหารด้วย 101 ลงตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 590547 หารด้วย 101 ลงตัว เนื่องจาก 59-05+47=101 หารด้วย 10 ลงตัว)

สัญญาณของการหาร

หมายเหตุ2

เครื่องหมายการแบ่งตัวมักไม่ใช้กับตัวตัวเลข แต่ใช้กับตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขที่มีส่วนร่วมในการเขียนตัวเลขนี้

การทดสอบการหารสำหรับตัวเลข $2, 5$ และ $10$ ช่วยให้คุณตรวจสอบการหารของตัวเลขด้วยตัวเลขตัวสุดท้ายของตัวเลขได้เพียงหลักเดียวเท่านั้น

สัญญาณอื่นๆ ของการหารด้วยการวิเคราะห์ตัวเลขสอง สามตัวขึ้นไปของตัวเลข ตัวอย่างเช่น การทดสอบการหารด้วย $4$ จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์ตัวเลขสองหลัก ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลข เครื่องหมายของการหารด้วย 8 ต้องมีการวิเคราะห์ตัวเลขซึ่งประกอบขึ้นจากตัวเลขสามหลักสุดท้ายของตัวเลข

เมื่อใช้เกณฑ์การหารอื่น ๆ จำเป็นต้องวิเคราะห์ตัวเลขทั้งหมดของตัวเลข ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้การทดสอบการหารด้วย $3$ และการทดสอบการหารด้วย $9$ คุณต้องหาผลรวมของตัวเลขทั้งหมดของตัวเลข แล้วตรวจสอบการหารของผลรวมที่พบด้วย $3$ หรือ $9$ ตามลำดับ

เครื่องหมายของการหารด้วยจำนวนประกอบรวมเครื่องหมายอื่นๆ หลายตัว ตัวอย่างเช่น การทดสอบการหารด้วย $6$ เป็นการรวมกันระหว่างการทดสอบการหารด้วยตัวเลข $2$ และ $3$ และการทดสอบการหารด้วย $12$ เป็นการรวมกันของการทดสอบสำหรับ $3$ และ $4$

การใช้เกณฑ์การแบ่งแยกบางอย่างจำเป็นต้องมีการคำนวณที่สำคัญ ในกรณีเช่นนี้ การแบ่งโดยตรงของจำนวน $a$ ด้วย $b$ อาจทำได้ง่ายกว่า ซึ่งจะนำไปสู่การตัดสินว่าหมายเลขที่กำหนด $a$ สามารถหารด้วยหมายเลข $b$ โดยไม่ต้อง ส่วนที่เหลือ

การทดสอบการหารด้วย $2$

หมายเหตุ 3

หากหลักสุดท้ายของจำนวนเต็มหารด้วย $2$ โดยไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย $2$ โดยไม่มีเศษเหลือ มิฉะนั้น จำนวนเต็มที่ระบุจะหารด้วย $2$ ไม่ได้

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาว่าตัวเลขใดที่เสนอให้หารด้วย $2: 10, 6 349, -765 386, 29 567 $

สารละลาย.

เราใช้การทดสอบการหารด้วย $2$ ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลข $10$ และ $–765 \ 386$ หารด้วย $2$ โดยไม่มีเศษเหลือเพราะ หลักสุดท้ายของตัวเลขเหล่านี้คือ $0$ และ $6$ ตามลำดับ ตัวเลข $6 \ 3494$ และ $29 \ 567$ ไม่สามารถหารด้วย $2$ โดยไม่มีเศษได้ เนื่องจาก ตัวเลขสุดท้ายของ $9$ และ $7$ ตามลำดับ

ตอบ: $10$ และ $–765\386$ หารด้วย $2$ ลงตัว, $6\349$ และ $29\567$ ไม่หารด้วย $2$

หมายเหตุ 4

จำนวนเต็มโดยผลของการหารด้วย $2$ หารด้วย สม่ำเสมอและ แปลก.

$3$ แบบทดสอบการหาร

หมายเหตุ 5

หากผลรวมของตัวเลขของจำนวนเต็มหารด้วย $3$ ลงตัว ตัวเลขนั้นจะถูกหารด้วย $3$ ลงตัว มิฉะนั้น ตัวเลขจะไม่หารด้วย $3$

ตัวอย่าง 2

ตรวจสอบว่าจำนวน $123$ หารด้วย $3$ ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

หาผลรวมของตัวเลข $123=1+2+3=6$ เพราะ ผลรวมที่ได้ $6$ หารด้วย $3$ ลงตัว จากนั้นด้วยเกณฑ์การหารด้วย $3$ ตัวเลข $123$ หารด้วย $3$ ลงตัว

ตอบ: $123⋮3$.

ตัวอย่างที่ 3

ตรวจสอบว่าตัวเลข $58$ หารด้วย $3$ ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

หาผลรวมของตัวเลข $58=5+8=13$. เพราะ ผลรวม $13$ หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว จากนั้นด้วยเกณฑ์การหารด้วย $3$ จำนวน $58$ หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว

ตอบ: $58$ หารด้วย $3$ ไม่ได้

บางครั้ง ในการตรวจสอบการหารของตัวเลขด้วย 3 คุณต้องทดสอบการหารด้วย $3$ หลายๆ ครั้ง โดยทั่วไป วิธีนี้จะใช้เมื่อใช้เกณฑ์การหารกับจำนวนที่มาก

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบว่าตัวเลข $999 \ 675 \ 444$ หารด้วย $3$ ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

หาผลรวมของตัวเลข $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57 เหรียญ หากเป็นเรื่องยากที่จะพูดจากจำนวนเงินที่ได้รับว่าหารด้วย $3$ ลงตัวหรือไม่ คุณต้องใช้เกณฑ์การหารอีกครั้งและหาผลรวมของตัวเลขของจำนวนเงินที่ได้รับ $57=5+7=12$ ที่ได้รับ เพราะ ผลรวมที่ได้ $12$ หารด้วย $3$ ลงตัว จากนั้นตามเกณฑ์การหารด้วย $3$ ตัวเลข $999 \ 675 \ 444$ จะหารด้วย $3$ ลงตัว

ตอบ: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

$4$ แบบทดสอบการหาร

หมายเหตุ 6

จำนวนเต็มหารด้วย $4$ ลงตัวถ้าตัวเลขที่ประกอบด้วยสองหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ระบุ (ตามลำดับ) หารด้วย $4$ ลงตัว มิฉะนั้น จำนวนนี้จะหารด้วย $4$ ไม่ได้

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบว่าตัวเลข $123 \ 567$ และ $48 \ 612$ หารด้วย $4$ ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

ตัวเลขสองหลักที่ประกอบด้วยสองหลักสุดท้ายของ $123\567$ คือ $67$ จำนวน $67$ หารด้วย $4$ ไม่ได้เพราะ $67\div 4=16 (ที่เหลือ 3)$. ซึ่งหมายความว่าจำนวน $123 \ 567$ ตามเกณฑ์ของการหารด้วย $4$ หารด้วย $44.44 ไม่ลงตัว

ตัวเลขสองหลักที่ประกอบด้วยสองหลักสุดท้ายของ $48 \ 612$ คือ $12$ จำนวน $12$ หารด้วย $4$ ลงตัวเพราะ $12\div 4=3$. ดังนั้นจำนวน $48 \ 612$ จึงหารด้วย $4$ ตามเกณฑ์ของการหารด้วย $4$ ลงตัว

ตอบ: $123 \ 567$ หารด้วย $4 ไม่ลงตัว 48 \ 612$ หารด้วย $4$ ลงตัว

หมายเหตุ7

หากตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ระบุเป็นศูนย์ ตัวเลขนั้นหารด้วย $4$ ลงตัว

ข้อสรุปนี้เกิดจากการที่ตัวเลขนี้หารด้วย $100$ ลงตัว และตั้งแต่ $100$ หารด้วย $4$ ลงตัว จากนั้นจำนวนนั้นหารด้วย $4$ ลงตัว

$5$ แบบทดสอบการหาร

หมายเหตุ 8

หากหลักสุดท้ายของจำนวนเต็มคือ $0$ หรือ $5$ จำนวนเต็มนั้นหารด้วย $5$ ลงตัวและไม่หารด้วย $5$ ไม่เช่นนั้น

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดว่าตัวเลขใดที่เสนอหารด้วย $5: 10, 6 349, -765 385, 29 567 $

สารละลาย.

เราใช้การทดสอบการหารด้วย $5$ ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลข $10$ และ $–765 385$ หารด้วย $5$ ลงตัวโดยไม่มีเศษ เพราะ หลักสุดท้ายของตัวเลขเหล่านี้คือ $0$ และ $5$ ตามลำดับ ตัวเลข $6 \ 349$ และ $29 \ 567$ ไม่หารด้วย $5$ โดยไม่มีเศษเหลือเพราะ ตัวเลขสุดท้ายของ $9$ และ $7$ ตามลำดับ

ชุดบทความเกี่ยวกับ สัญญาณของความแตกแยกต่อ เครื่องหมายของการหารด้วย3. บทความนี้จะให้การกำหนดเกณฑ์สำหรับการหารด้วย 3 ก่อน และให้ตัวอย่างการใช้เกณฑ์นี้ในการหาว่าจำนวนเต็มที่ให้มาหารด้วย 3 ลงตัวและตัวไหนที่ไม่ใช่ นอกจากนี้ยังให้หลักฐานการทดสอบการหารด้วย 3 แนวทางในการสร้างการหารด้วย 3 ตัวเลขที่กำหนดเป็นค่าของนิพจน์บางตัวก็ถูกพิจารณาด้วย

การนำทางหน้า

เครื่องหมายหารด้วย 3 ตัวอย่าง

มาเริ่มกันที่ สูตรการทดสอบหารด้วย3: จำนวนเต็มหารด้วย 3 ลงตัวถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว, ถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ตัวเลขก็จะไม่หารด้วย 3 ลงตัว

จากสูตรข้างต้นจะเห็นได้ชัดว่าเครื่องหมายของการหารด้วย 3 ไม่สามารถใช้ได้หากไม่มีความสามารถในการดำเนินการ นอกจากนี้สำหรับการใช้เครื่องหมายการหารด้วย 3 ที่ประสบความสำเร็จคุณจำเป็นต้องรู้ว่าตัวเลขทั้งหมด 3, 6 และ 9 นั้นหารด้วย 3 ลงตัวและตัวเลข 1, 2, 4, 5, 7 และ 8 นั้นหารไม่ได้ โดย 3.

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างการใช้แบบทดสอบหารด้วย 3. ค้นหาว่าตัวเลข −42 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณผลรวมของตัวเลขของตัวเลข −42 ซึ่งเท่ากับ 4+2=6 เนื่องจาก 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นโดยอาศัยเกณฑ์การหารด้วย 3 จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าจำนวน −42 หารด้วย 3 ลงตัวด้วย แต่จำนวนเต็มบวก 71 ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 7+1=8 และ 8 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

0 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่? ในการตอบคำถามนี้ ไม่จำเป็นต้องทดสอบการหารด้วย 3 คุณต้องจำค่าที่สอดคล้องกัน คุณสมบัติการแบ่งตัวซึ่งระบุว่าศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนเต็มใดๆ ลงตัว 0 จึงหารด้วย 3 ลงตัว

ในบางกรณี เพื่อแสดงว่าจำนวนที่กำหนดมีหรือไม่มีความสามารถในการหารด้วย 3 ลงตัว การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัวจะต้องทำหลายครั้งติดต่อกัน ลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

แสดงว่าเลข 907444812 หารด้วย 3 ลงตัว

สารละลาย.

ผลรวมของตัวเลข 907444812 คือ 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 เพื่อดูว่า 39 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ เราคำนวณผลรวมของตัวเลข: 3+9=12 และเพื่อหาว่า 12 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่, เราหาผลรวมของตัวเลข 12, เรามี 1+2=3. เนื่องจากเราได้เลข 3 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากเครื่องหมายการหารด้วย 3 ลงตัว เลข 12 จึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 39 จึงหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 12 และ 12 หารด้วย 3 ลงตัว สุดท้าย 907333812 หารด้วย 3 ลงตัวเพราะผลรวมของหลักคือ 39 และ 39 หารด้วย 3 ลงตัว

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

ตัวเลข −543205 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

ลองคำนวณผลรวมของตัวเลขนี้: 5+4+3+2+0+5=19 ผลรวมของตัวเลข 19 คือ 1+9=10 และผลรวมของตัวเลข 10 คือ 1+0=1 . เนื่องจากเราได้เลข 1 ซึ่งหารด้วย 3 ไม่ลงตัว มันจึงตามด้วยเกณฑ์การหารด้วย 3 ลงตัวว่า 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้น 19 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเพราะว่าผลรวมของหลักคือ 10 และ 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้นจำนวนเดิม −543205 จึงหารด้วย 3 ลงตัวไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของหลักที่เท่ากับ 19 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

ตอบ:

ไม่.

เป็นที่น่าสังเกตว่าการหารโดยตรงของตัวเลขที่กำหนดด้วย 3 ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลขที่ระบุนั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ จากนี้เราอยากจะบอกว่าไม่ควรละเลยการหารเพื่อสนับสนุนเครื่องหมายการหารด้วย 3 ในตัวอย่างที่แล้ว 543205 คูณ 3 เราจะแน่ใจว่า 543205 ไม่หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งเราสามารถพูดได้ว่า −543205 ไม่หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน

หลักฐานการทดสอบการหารด้วย3

การแสดงตัวเลข a ต่อไปนี้จะช่วยให้เราพิสูจน์เครื่องหมายของการหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่เราสามารถทำได้ หลังจากนั้นมันจะช่วยให้เราได้รับการแสดงรูปแบบ โดยที่ n , a n-1 , ... , 0 เป็นตัวเลขจากซ้ายไปขวาในสัญกรณ์ของตัวเลข a เพื่อความชัดเจน เราได้ยกตัวอย่างของการเป็นตัวแทนดังกล่าว: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

ทีนี้มาเขียนจำนวนความเท่าเทียมกันที่ค่อนข้างชัดเจนกัน: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 และอื่นๆ

แทนค่าความเท่าเทียมกัน a=a n 10 n +a n-1 10 n-1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0แทนที่จะเป็น 10 , 100 , 1 000 เป็นต้น นิพจน์ 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 และอื่นๆ เราได้รับ
.

และปล่อยให้ความเท่าเทียมกันที่ได้นั้นเขียนใหม่ได้ดังนี้

การแสดงออก คือผลรวมของตัวเลขของ a ให้แทนความกระชับและความสะดวกด้วยตัวอักษร A นั่นคือเอา จากนั้นเราจะได้ตัวเลข a ของแบบฟอร์ม ซึ่งเราจะใช้ในการพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว

นอกจากนี้ เพื่อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 เราต้องมีคุณสมบัติของการหารดังต่อไปนี้:

• การที่จำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวนเต็ม b เป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่ a หารด้วยโมดูลัสของ b ลงตัว;
• ถ้าในความเท่าเทียมกัน a=s+t ทุกเทอม ยกเว้นบางอัน หารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัวแล้ว เทอมนี้หารด้วย b ลงตัวด้วย

ตอนนี้เราเตรียมพร้อมและดำเนินการอย่างเต็มที่แล้ว หลักฐานการหารด้วย3เพื่อความสะดวก เรากำหนดคุณลักษณะนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการหารด้วย 3

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วย 3 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว

การพิสูจน์.

สำหรับ a=0 ทฤษฎีบทนั้นชัดเจน

ถ้า a ต่างจากศูนย์ จากนั้นโมดูลัสของ a เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นการแทนค่าจึงเป็นไปได้โดยที่ผลรวมของตัวเลขของตัวเลข a คือที่ใด

เนื่องจากผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นจึงเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นตามคำจำกัดความของการหาร ผลคูณหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ a 0 , a 1 , …, a n

หากผลรวมของตัวเลข a หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ A หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากคุณสมบัติการหารที่ระบุก่อนทฤษฎีบท มันจึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น a จึงหารด้วย 3 ลงตัว เป็นการพิสูจน์ความพอเพียง

ถ้า a หารด้วย 3 ลงตัว แล้วก็หารด้วย 3 ลงตัว จากนั้นเนื่องจากคุณสมบัติการหารเท่ากัน เลข A หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ ผลรวมของหลักเลข a หารด้วย 3 ลงตัว นี่เป็นการพิสูจน์ความจำเป็น

กรณีอื่นๆ ของการหารด้วย3

บางครั้งจำนวนเต็มไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน แต่เป็นค่าของค่าที่กำหนดของตัวแปร ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์สำหรับ n ธรรมดาบางตัวเป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยการกำหนดตัวเลขนี้ การหารโดยตรงด้วย 3 จะไม่ช่วยในการสร้างการหารด้วย 3 และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 จะไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตอนนี้เราจะพิจารณาแนวทางต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว

สาระสำคัญของวิธีการเหล่านี้คือการแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ และหากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเนื่องจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของการหารจึงสรุปได้ว่าทั้งหมด สินค้าหารด้วย 3 ลงตัว

บางครั้งวิธีนี้ช่วยให้คุณนำไปใช้ได้ ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง.

ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ธรรมดาใดๆ หรือไม่

สารละลาย.

ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน ลองใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

ในนิพจน์สุดท้าย เราสามารถเอา 3 ออกจากวงเล็บเหลี่ยม และเราได้ . ผลคูณหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากมีตัวประกอบ 3 และค่าของนิพจน์ในวงเล็บสำหรับ n เป็นธรรมชาติเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น จึงหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

ตอบ:

ใช่.

ในหลายกรณี การพิสูจน์การหารด้วย 3 ทำได้ . มาวิเคราะห์การใช้งานในการแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่าสำหรับ n ธรรมดาใดๆ ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัว

สารละลาย.

สำหรับการพิสูจน์ เราใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ที่ n=1 ค่าของนิพจน์คือ และ 6 หารด้วย 3 ลงตัว

สมมติว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัวเมื่อ n=k นั่นคือหารด้วย 3 ลงตัว

โดยพิจารณาว่าหารด้วย 3 ลงตัว เราจะแสดงว่าค่าของนิพจน์สำหรับ n=k+1 หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือเราจะแสดงว่า หารด้วย 3 ลงตัว

มาทำการเปลี่ยนแปลงกัน:

นิพจน์หารด้วย 3 และนิพจน์ หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นผลรวมจึงหารด้วย 3 ลงตัว

ดังนั้นวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงพิสูจน์ว่าหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

ขอแสดงวิธีการพิสูจน์การหารด้วย 3 อีกวิธีหนึ่ง หากเราแสดงว่าสำหรับ n=3 m , n=3 m+1 และ n=3 m+2 โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ ค่าของนิพจน์บางค่า (ด้วยตัวแปร n ) หารด้วย 3 ลงตัว ก็จะพิสูจน์ได้ การหารนิพจน์ด้วย 3 สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ พิจารณาแนวทางนี้เมื่อแก้ตัวอย่างก่อนหน้านี้

ทางนี้, สำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ หารด้วย 3 ลงตัว

ตอบ:

ใช่.

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. เป็นต้น คณิตศาสตร์. ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Vinogradov I.M. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• Mikhelovich Sh.Kh. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่นๆ. รวบรวมโจทย์พีชคณิตและทฤษฎีตัวเลข : หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน fiz.-mat. ความเชี่ยวชาญของสถาบันการสอน

สัญญาณของการหารตัวเลข- เป็นกฎที่อนุญาตให้ค้นหาได้อย่างรวดเร็วว่าตัวเลขนี้หารด้วยตัวเลขที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือได้หรือไม่โดยไม่ต้องหารหาร.
บางส่วนของ สัญญาณของความแตกแยกค่อนข้างง่ายบางอย่างยากขึ้น ในหน้านี้ คุณจะพบสัญญาณของการหารจำนวนเฉพาะทั้งสองอย่าง เช่น 2, 3, 5, 7, 11 และเครื่องหมายของการหารจำนวนเฉพาะ เช่น 6 หรือ 12
ฉันหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ
มีความสุขในการเรียนรู้!

เครื่องหมายของการหารด้วย2

นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณของการหารลงตัวที่ง่ายที่สุด ดูเหมือนว่านี้: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยหลักคู่ มันจะเป็นคู่ (หารโดยไม่เหลือเศษ 2) ​​และหากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยหลักคี่ ตัวเลขนี้เป็นคี่
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 2 , 4 , 6 , 8 หรือ 0 - จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ถ้าหารไม่ได้ก็หารไม่ได้
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 หารด้วย 2 ลงตัวเพราะเป็นเลขคู่
ตัวเลข: 23 5 , 137 , 2303
หารด้วย 2 ไม่ลงตัวเพราะเป็นเลขคี่

เครื่องหมายของการหารด้วย3

เครื่องหมายของการหารนี้มีกฎที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง: หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนั้นก็จะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณแค่ต้องบวกตัวเลขที่รวมกันเป็นตัวเลขเข้าด้วยกัน
ดูเหมือนว่านี้: 3987 และ 141 หารด้วย 3 เพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 3) และในวินาที 1+4+1= 6 (6:3=2 - หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ)
แต่ตัวเลข: 235 และ 566 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10 และ 5+6+6= 17 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 17 ไม่สามารถหารด้วย 3 โดยไม่มีเศษได้)

หารด้วย 4 เครื่องหมาย

การทดสอบการแยกตัวนี้จะซับซ้อนกว่า หากตัวเลข 2 หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวหรือเป็น 00 ตัวเลขนั้นหารด้วย 4 ลงตัว มิฉะนั้น ตัวเลขนี้จะไม่สามารถหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวอย่างเช่น: 1 00 และ 3 64 หารด้วย 4 ลงตัวเพราะในกรณีแรกเลขลงท้ายด้วย 00 และในวินาที 64 ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ (64:4=16)
ตัวเลข 3 57 และ 8 86 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะว่า 57 ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง 86 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารนี้

เครื่องหมายหารด้วย 5

และอีกครั้ง เรามีสัญญาณการหารที่ค่อนข้างง่าย: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยหลัก 0 หรือ 5 ตัวเลขนี้จะหารโดยไม่มีเศษเหลือ 5 หากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยตัวเลขอื่น แล้วจำนวนที่ไม่มีเศษจะหารด้วย 5 ลงตัวไม่ได้
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขใดๆ ที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 0 และ 5 ตัวอย่างเช่น 1235 5 และ 43 0 , ตกอยู่ภายใต้กฎและหารด้วย 5. ลงตัว.
และตัวอย่างเช่น 1549 3 และ 56 4 ไม่ลงท้ายด้วย 5 หรือ 0 ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

เครื่องหมายของการหารด้วย6

ข้างหน้าเราคือจำนวนประกอบ 6 ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข 2 และ 3 ดังนั้นเครื่องหมายของการหารด้วย 6 ก็ประกอบเช่นกัน: เพื่อให้ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวจะต้องสอดคล้องกับเครื่องหมายการหารสองอัน ในเวลาเดียวกัน: เครื่องหมายของการหารด้วย 2 และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 ในเวลาเดียวกันโปรดทราบว่าจำนวนประกอบเช่น 4 มีเครื่องหมายของการหารด้วยตัวมันเองเพราะเป็นผลคูณของเลข 2 ด้วยตัวเอง . แต่กลับไปที่การทดสอบการหารด้วย 6
ตัวเลข 138 และ 474 เป็นเลขคู่และสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 3 (1+3+8=12, 12:3=4 และ 4+7+4=15, 15:3=5) ซึ่งหมายความว่า หารด้วย 6 ลงตัว แต่ 123 กับ 447 หารด้วย 3 ลงตัว (1+2+3=6, 6:3=2 และ 4+4+7=15, 15:3=5) ลงตัวแต่ก็คี่ จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 2 จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 6

เครื่องหมายของการหารด้วย7

เกณฑ์การหารนี้ซับซ้อนกว่า: ตัวเลขหารด้วย 7 ลงตัว ถ้าผลลัพธ์ของการลบหลักสุดท้ายออกจากจำนวนหลักสิบของตัวเลขนี้หารด้วย 7 หรือเท่ากับ 0 ลงตัว
ฟังดูค่อนข้างสับสน แต่ในทางปฏิบัติ มันง่าย ดูด้วยตัวคุณเอง: หมายเลข 95 9 หารด้วย 7 ลงตัวเพราะ 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ). นอกจากนี้ หากมีปัญหากับจำนวนที่ได้รับระหว่างการแปลง (เนื่องจากขนาดของมัน เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ ขั้นตอนนี้สามารถดำเนินต่อไปได้หลายครั้งตามที่เห็นสมควร)
ตัวอย่างเช่น, 45 5 และ 4580 1 มีเครื่องหมายการหารด้วย 7 ลงตัว ในกรณีแรกทุกอย่างค่อนข้างง่าย: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. ในกรณีที่สอง เราจะทำสิ่งนี้: 4580 -2*1=4580-2=4578. มันยากสำหรับเราที่จะเข้าใจว่า 457 8 คูณ 7 ลองทำขั้นตอนนี้ซ้ำ: 457 -2*8=457-16=441. และอีกครั้งเราจะใช้เครื่องหมายหารด้วยเพราะเรายังมีเลขสามหลักอยู่ข้างหน้าเรา 44 1. ดังนั้น 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, เช่น 42 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่า 45801 หารด้วย 7 ลงตัว
และนี่คือตัวเลข 11 1 และ 34 5 หารด้วย 7 ไม่ลงตัวเพราะ 11 -2*1=11-2=9 (9 หารด้วย 7) ไม่ลงตัวและ 34 -2*5=34-10=24 (24 ไม่หารด้วย 7) ไม่ลงตัว.

เครื่องหมายของการหารด้วย8

เครื่องหมายของการหารด้วย 8 มีเสียงดังนี้: หากตัวเลข 3 หลักสุดท้ายเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว หรือเป็น 000 ตัวเลขที่ระบุจะหารด้วย 8 ลงตัว
ตัวเลข 1 000 หรือ 1 088 หารด้วย 8 ลงตัว: อันแรกลงท้ายด้วย 000 , ที่สอง 88 :8=11 (หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษเหลือ).
และนี่คือตัวเลข 1 100 หรือ 4 757 หารด้วย 8 ไม่ได้เพราะตัวเลข 100 และ 757 หารด้วย 8 ไม่ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

เครื่องหมายหารด้วย 9

เครื่องหมายของการหารด้วย 3 นี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วย 3: ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 9 ลงตัวเช่นกัน หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นจะไม่สามารถหารด้วย 9 ลงตัว
ตัวอย่างเช่น 3987 และ 144 หารด้วย 9 ลงตัวเพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 9) ลงตัว และใน 1+4+4= . ที่สอง 9 (9:9=1 - หารด้วย 9) ลงตัวไม่มีเศษ.
แต่ตัวเลข: 235 และ 141 หารด้วย 9 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10 และ 1+4+1= 6 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 6 ไม่สามารถหารด้วย 9 โดยไม่มีเศษได้)

สัญญาณของการหารด้วย 10, 100, 1000 และหน่วยบิตอื่นๆ

ฉันรวมเกณฑ์การหารเหล่านี้เข้าด้วยกันเพราะสามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกัน: ตัวเลขสามารถหารด้วยหน่วยบิตได้ หากจำนวนศูนย์ที่ส่วนท้ายของตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนศูนย์ในหน่วยบิตที่กำหนด
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เรามีตัวเลขดังนี้: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . ซึ่งทั้งหมดหารด้วย 1 . ลงตัว 0 ; 46400 และ 867 000 ก็หารด้วย 1 . ลงตัวเช่นกัน 00 ; และมีเพียงคนเดียว - 867 000 หารด้วย1 000 .
ตัวเลขใดๆ ที่มีศูนย์น้อยกว่าหน่วยบิตจะไม่หารด้วยหน่วยบิตนั้น เช่น 600 30 และ 7 93 ห้ามแชร์ 1 00 .

เครื่องหมายหารด้วย 11

ในการค้นหาว่าตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวหรือไม่ คุณจำเป็นต้องหาผลต่างระหว่างผลรวมของเลขคู่และเลขคี่ของตัวเลขนี้ หากผลต่างนี้เท่ากับ 0 หรือหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่าง: 2 35 4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
และนี่คือ 1 1 1 หรือ 4 35 4 หารด้วย 11 ไม่ลงตัวเนื่องจากในกรณีแรกเราได้ (1 + 1) - 1 =1 และในวินาที ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

เครื่องหมายหารด้วย 12

หมายเลข 12 เป็นส่วนประกอบ เครื่องหมายของการหารลงตัวคือความสอดคล้องของสัญญาณการหารด้วย 3 และ 4 พร้อมกัน
ตัวอย่างเช่น 300 และ 636 สอดคล้องกับทั้งเครื่องหมายของการหารด้วย 4 (ตัวเลข 2 หลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4) และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 (ผลรวมของตัวเลขและตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองหารด้วย 3 ลงตัว) ) ดังนั้น พวกมันจึงหารด้วย 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.
แต่ 200 หรือ 630 หารด้วย 12 ไม่ลงตัวเพราะในกรณีแรก จำนวนจะสอดคล้องกับเครื่องหมายของการหารด้วย 4 เท่านั้น และในวินาที - เฉพาะเครื่องหมายของการหารด้วย 3 เท่านั้น แต่ไม่ใช่สัญญาณทั้งสองพร้อมกัน

เครื่องหมายหารด้วย 13

เครื่องหมายของการหารด้วย 13 คือถ้าจำนวนหลักสิบบวกหน่วยของจำนวนนี้คูณด้วย 4 เป็นผลคูณของ 13 หรือเท่ากับ 0 ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 13 ลงตัว
ยกตัวอย่าง 70 2. โซ 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 หารด้วย 13 ลงตัว) ดังนั้น 70 2 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ. อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลข 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. จำนวน 130 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าจำนวนที่กำหนดสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 13
ถ้าเราเอาตัวเลข 12 5 หรือ 21 2 แล้วเราจะได้ 12 +4*5=32 และ 21 +4*2=29 ตามลำดับ และทั้ง 32 และ 29 ไม่สามารถหารด้วย 13 ได้โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่ระบุนั้นหารด้วย 13 หารด้วย 13 ไม่ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

การหารตัวเลข

ดังที่เห็นได้จากด้านบน สันนิษฐานได้ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถจับคู่กับเครื่องหมายการหารลงตัวของตัวมันเอง หรือเครื่องหมาย "ประกอบ" หากจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนหลายจำนวนจากจำนวนที่แตกต่างกันหลายจำนวน แต่ตามแบบฝึกหัดแล้ว ยิ่งตัวเลขมากเท่าไหร่ คุณลักษณะของมันก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น บางทีเวลาที่ใช้ตรวจสอบเกณฑ์การหารอาจเท่ากับหรือมากกว่าตัวหารเอง นั่นคือเหตุผลที่เรามักจะใช้เกณฑ์การหารที่ง่ายที่สุด