Bet koks natūralusis skaičius gali būti išskaidomas į pirminių veiksnių sandaugą. Jei nemėgstate dirbti su dideliais skaičiais, pvz., 5733, išmokite juos suskaidyti į pagrindiniai veiksniai(į Ši byla tai yra 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Su panašia užduotimi dažnai susiduriama kriptografijoje, kuri sprendžia informacijos saugumo problemas. Jei nesate pasiruošę sukurti savo saugios el. pašto sistemos, pirmiausia sužinokite, kaip į pirminius veiksnius įtraukti skaičius.

Žingsniai

1 dalis

Pagrindinių veiksnių paieška

1. Pradėti nuo originalus numeris. Pasirinkite sudėtinį skaičių, didesnį nei 3. Nėra prasmės imti pirminį skaičių, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieneto.

   • Pavyzdys: skaičių 24 išskaidome į pirminių skaičių sandaugą.

2. Išskaidykime šį skaičių į dviejų veiksnių sandaugą. Raskite du mažesnius skaičius, kurių sandauga yra lygi pradiniam skaičiui. Galite naudoti bet kokius daugiklius, bet lengviau imti pirminius skaičius. Vienas geras būdas yra pabandyti padalyti pradinį skaičių iš 2, tada iš 3, tada iš 5 ir pamatyti, iš kurių pirminių skaičių jis dalijasi.

   • Pavyzdys: jei nežinote skaičiaus 24 faktorių, pabandykite jį padalyti iš mažų pirminių skaičių. Taigi pamatysite, kad pateiktas skaičius dalijasi iš 2: 24 = 2x12. Tai gera pradžia.
   • Kadangi 2 yra pirminis skaičius, gerai jį naudoti skaidant lyginius skaičius.

3. Pradėkite kurti daugiklio medį.Ši paprasta procedūra padės padalyti skaičių į pagrindinius veiksnius. Norėdami pradėti, nubrėžkite dvi „šakas“ nuo pradinio skaičiaus. Kiekvienos šakos gale parašykite rastus daugiklius.

   • Pavyzdys:

4. Suskaičiuokite šią skaičių eilutę. Pažvelkite į du naujus skaičius (antroji daugiklio medžio eilutė). Ar jie abu pirminiai skaičiai? Jei vienas iš jų nėra pagrindinis, taip pat įtraukite jį į du veiksnius. Nubrėžkite dar dvi šakas ir trečioje medžio eilutėje parašykite du naujus daugiklius.

   • Pavyzdys: 12 nėra pirminis skaičius, todėl jį reikia apskaičiuoti. Mes naudojame skaidymą 12 = 2 x 6 ir įrašome trečioje medžio eilutėje:
   • 2x6

5. Toliau judėkite žemyn medžiu. Jei vienas iš naujų veiksnių yra pirminis skaičius, nubrėžkite iš jo vieną „šaką“ ir tą patį skaičių parašykite jo gale. Pirminiai skaičiai nėra skaidomi į mažesnius veiksnius, todėl tiesiog perkelkite juos į žemiau esantį lygį.

   • Pavyzdys: 2 yra pirminis skaičius. Tiesiog perkelkite 2 iš antros į trečią eilutę:
   • 2 2 6

6. Laikykite faktoringo skaičius tol, kol liks tik pirminiai skaičiai. Patikrinkite kiekvieną naują medžio eilutę. Jei bent vienas iš naujų faktorių nėra pirminis skaičius, padalykite jį ir parašykite naują eilutę. Galų gale jums liks tik pirminiai skaičiai.

   • Pavyzdys: 6 nėra pirminis skaičius, todėl jis taip pat turėtų būti įvertintas. Tuo pačiu metu 2 yra pirminis skaičius, o du 2 perkeliame į kitą lygį:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Paskutinę eilutę parašykite kaip pirminių faktorių sandaugą. Galų gale jums liks tik pirminiai skaičiai. Kai tai atsitiks, pagrindinis faktorizavimas baigtas. Paskutinė eilutė yra pirminių skaičių, kurių sandauga suteikia pradinį skaičių, rinkinys.

   • Patikrinkite savo atsakymą: padauginkite skaičius paskutinėje eilutėje. Rezultatas turėtų būti pradinis skaičius.
   • Pavyzdys: Paskutinėje faktorių medžio eilutėje yra skaičiai 2 ir 3. Abu šie skaičiai yra pirminiai, taigi išplėtimas baigtas. Taigi skaičiaus 24 skaidymas į pirminius veiksnius turi tokią formą: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Daugiklių tvarka neturi reikšmės. Išplėtimas taip pat gali būti parašytas kaip 2 x 3 x 2 x 2.

8. Jei norite, supaprastinkite atsakymą naudodami galios žymėjimą. Jei esate susipažinę su skaičių padidinimu iki laipsnio, galite parašyti savo atsakymą paprastesniu būdu. Nepamirškite, kad apačioje parašyta bazė, o viršutinis indeksas rodo, kiek kartų ši bazė turi būti padauginta iš savęs.

   • Pavyzdys: kiek kartų skaičius 2 pasirodo rastame 2 x 2 x 2 x 3 plėtinyje? Tris kartus, todėl išraišką 2 x 2 x 2 galima parašyti kaip 2 3 . Supaprastintu žymėjimu gauname 23x3.

   2 dalis

   Pirminio faktorizavimo naudojimas

   1. Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį. Didžiausias bendrasis dviejų skaičių daliklis (GCD) yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai dalijasi be liekanos. Šiame pavyzdyje parodyta, kaip naudoti pirminį faktorių, kad būtų galima rasti didžiausią bendrą 30 ir 36 daliklį.

      • Išskaidykime abu skaičius į pirminius veiksnius. Skaičiaus 30 išplėtimas yra 2 x 3 x 5. Skaičius 36 išskaidomas į pirminius koeficientus taip: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Raskite skaičių, kuris atsiranda abiejuose plėtiniuose. Abiejuose sąrašuose šį skaičių išbraukiame ir įrašome į naują eilutę. Pavyzdžiui, 2 įvyksta dviem išplėtimais, todėl mes rašome 2 naujoje eilutėje. Po to mums lieka 30 = 2 x 3 x 5 ir 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Kartokite šį veiksmą tol, kol išplėtimuose neliks bendrų veiksnių. Abiejuose sąrašuose taip pat yra skaičius 3, todėl galime rašyti naujoje eilutėje 2 Ir 3 . Po to išplėtimus vėl palyginkite: 30 = 2 x 3 x 5 ir 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Kaip matote, bendrų faktorių juose nebeliko.
      • Norėdami rasti didžiausią bendrą daliklį, turite rasti visų bendrųjų veiksnių sandaugą. Mūsų pavyzdyje tai yra 2 ir 3, taigi gcd yra 2 x 3 = 6 . Tai didžiausias skaičius, iš kurių skaičiai 30 ir 36 dalijasi be liekanos.

   2. GCD gali būti naudojamas trupmenoms supaprastinti. Jei įtariate, kad trupmeną galima sumažinti, naudokite didžiausią bendrąjį daliklį. Norėdami rasti skaitiklio ir vardiklio GCD, naudokite aukščiau pateiktą procedūrą. Tada trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš šio skaičiaus. Dėl to tą pačią frakciją gausite paprastesne forma.

      • Pavyzdžiui, supaprastinkime trupmeną 30/36. Kaip minėjome aukščiau, 30 ir 36 GCD yra 6, todėl skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį. Mažiausias dviejų skaičių kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių. Pavyzdžiui, 2 ir 3 LCM yra 6, nes tai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 2 ir 3. Toliau pateikiamas pavyzdys, kaip rasti LCM naudojant pirminį faktorių:

      • Pradedame nuo dviejų faktorių skirstymo į pagrindinius veiksnius. Pavyzdžiui, skaičiaus 126 išplėtimas gali būti parašytas kaip 2 x 3 x 3 x 7. Skaičius 84 išskaidomas į pirminius veiksnius, kurių forma yra 2 x 2 x 3 x 7.
      • Palyginkime, kiek kartų kiekvienas veiksnys atsiranda plėtojant. Pasirinkite sąrašą, kuriame daugiklis pasitaiko didžiausią skaičių kartų, ir apveskite šią vietą. Pavyzdžiui, skaičius 2 pateikiamas vieną kartą plėtojant 126 ir du kartus sąraše, jei yra 84, todėl apibraukite 2x2 antrajame daugiklių sąraše.
      • Pakartokite šį veiksmą su kiekvienu daugikliu. Pavyzdžiui, 3 dažniau pasitaiko pirmą kartą išplečiant, todėl apibraukite jį ratu 3x3. Skaičius 7 pasirodo vieną kartą abiejuose sąrašuose, todėl apibraukite 7 (nesvarbu, kuriame sąraše, jei nurodytas veiksnys abiejuose sąrašuose pasitaiko tiek pat kartų).
      • Norėdami rasti LCM, padauginkite visus apskritimu apvestus skaičius. Mūsų pavyzdyje mažiausias bendras 126 ir 84 kartotinis yra 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Tai mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 126 ir 84 be liekanos.

   4. Norėdami pridėti trupmenas, naudokite LCM. Pridedant dvi trupmenas, jas reikia sujungti į bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, suraskite dviejų vardiklių LCM. Tada kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš tokio skaičiaus, kad trupmenų vardikliai būtų lygūs LCM. Po to galite pridėti frakcijas.

      • Pavyzdžiui, reikia rasti sumą 1/6 + 4/21.
      • Naudodami aukščiau pateiktą metodą, galite rasti 6 ir 21 LCM. Jis lygus 42.
      • Paverskite trupmeną 1/6 taip, kad jos vardiklis būtų 42. Norėdami tai padaryti, padalinkite 42 iš 6: 42 ÷ 6 = 7. Dabar trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 7: 1/6 x 7/7 = 7/ 42.
      • Kad antrajai trupmenai būtų priskirtas vardiklis 42, 42 padalinkite iš 21: 42 ÷ 21 = 2. Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42.
      • Po to, kai trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio, jas galima lengvai sudėti: 7/42 + 8/42 = 15/42.

Bet koks sudėtinis skaičius gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas kaip pirminių veiksnių sandauga. Pavyzdžiui,

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1050 = 2 3 5 5 7 .

Mažiems skaičiamsšis išplėtimas yra lengvas daroma remiantisdaugybos lenteles. Esant dideliam skaičiui, rekomenduojame naudoti šį metodą, kurį apsvarstysime naudodami konkretų pavyzdį. Išskaidykime skaičių 1463. Norėdami tai padaryti, naudokite pirminių skaičių lentelę:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Šioje lentelėje rūšiuojame skaičius ir sustojame ties skaičiumi, kuris yra šio skaičiaus daliklis. Mūsų pavyzdyje tai yra 7. Padalijame 1463 iš 7 ir gauname 209. Dabar pakartojame pirminių skaičių rūšiavimo procesą 209 ir sustojame ties skaičiumi 11, kuris yra jo daliklis (žr.). 209 padaliname iš 11 ir gauname 19, kuris pagal tą pačią lentelę yra pirminis skaičius. Šiuo būdu, mes turime:

Išskaidykime skaičių 120 į pirminius veiksnius

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Sprendimas
Išplėskime skaičių 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
30: 2 = 15 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
15: 3 = 5
Mes užbaigiame padalijimą, nes 5 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 120 = 2∙ 2∙ 2∙ 3∙ 5

Išskaidykime skaičių 246 į pirminius veiksnius

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Sprendimas
Išplėskime skaičių 246 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Pradedame rinktis daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas tampa pirminiu

246: 2 = 123 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
123: 3 = 41 dalijasi iš pirminio skaičiaus 3.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 41 yra pirminiai skaičiai

Atsakymas: 246 = 2∙ 3∙ 41

Išskaidykime skaičių 1463 į pirminius veiksnius

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Sprendimas
Išplėskime skaičių 1463 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Pradedame rinktis daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas tampa pirminiu

1463: 7 = 209 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 7
209: 11 = 19
Mes užbaigiame padalijimą, nes 19 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Išskaidykime skaičių 1268 į pirminius veiksnius

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Sprendimas
Išplėskime skaičių 1268 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Pradedame rinktis daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas tampa pirminiu

1268: 2 = 634 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
634: 2 = 317 dalijasi iš pirminio skaičiaus 2.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 317 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 1268 = 2 2 317

Išskaidykime skaičių 442464 į pirminius veiksnius

442464

Sprendimas
Išplėskime skaičių 442464 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Pradedame rinktis daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas tampa pirminiu

442464: 2 = 221232 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
221232: 2 = 110616 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
110616: 2 = 55308 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
55308: 2 = 27654 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
27654: 2 = 13827 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
13827: 3 = 4609 – dalijasi iš pirminio skaičiaus 3
4609: 11 = 419 dalijasi iš pirminio skaičiaus 11.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 419 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

Bet koks sudėtinis skaičius gali būti išskaidytas į pirminius veiksnius. Yra keletas skaidymo būdų. Bet kuris metodas duoda tą patį rezultatą.

Kaip patogiausiu būdu išskaidyti skaičių į pirminius veiksnius? Apsvarstykime, kaip tai padaryti geriau, naudodamiesi konkrečiais pavyzdžiais.

Pavyzdžiai. 1) Išskaidykite skaičių 1400 į pirminius veiksnius.

1400 dalijasi iš 2. 2 yra pirminis skaičius, jo nereikia skaičiuoti. Gauname 700. Padalijame iš 2. Gauname 350. Taip pat 350 padalijame iš 2. Gautą skaičių 175 galima padalyti iš 5. Gaunamas z5 - vėl dalijame iš 5. Iš viso - 7. Gali būti tik padalintas iš 7. Gavome 1, dalinimas baigtas.

Tą patį skaičių galima skirtingai išskaidyti į pirminius veiksnius:

1400 yra patogiai padalintas iš 10. 10 nėra pirminis skaičius, todėl jis turi būti įtrauktas į pirminius koeficientus: 10=2∙5. Rezultatas yra 140. Vėl padalijame iš 10=2∙5. Gauname 14. Jei 14 dalijamas iš 14, tai jis taip pat turėtų būti išskaidytas į pirminių koeficientų sandaugą: 14=2∙7.

Taigi mes vėl priėjome prie to paties skilimo, kaip ir pirmuoju atveju, bet greičiau.

Išvada: skaidant skaičių, nebūtina jo dalyti tik pirminiais dalikliais. Daliname iš to, kas patogiau, pavyzdžiui, iš 10. Reikia tik nepamiršti sudėtinius daliklius išskaidyti į paprastus veiksnius.

2) Išskaidykite skaičių 1620 į pirminius veiksnius.

Skaičius 1620 patogiausia dalyti iš 10. Kadangi 10 nėra pirminis skaičius, jį vaizduojame kaip pirminių koeficientų sandaugą: 10=2∙5. Gavome 162. Patogu dalinti iš 2. Rezultatas – 81. Skaičius 81 gali būti padalintas iš 3, bet 9 patogiau. Kadangi 9 nėra pirminis skaičius, mes jį išskaidome kaip 9=3∙3. Gavome 9. Taip pat padalijame iš 9 ir išskaidome į pirminių faktorių sandaugą.