Pamoka 6 klasėje šia tema

„Skilimas į pagrindiniai veiksniai»

Pamokos tikslai:

Švietimas:

Suformuoti idėją apie skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, galimybė praktiškai naudoti atitinkamą algoritmą.

Suformuoti dalijimosi ženklų naudojimo įgūdžius ir gebėjimus skaidant skaičius į pirminius veiksnius.

Kuriama:

Ugdykite skaičiavimo įgūdžius, gebėjimą apibendrinti, analizuoti, nustatyti modelius, lyginti.

Švietimas:

Ugdyti dėmesį, matematinio mąstymo kultūrą, rimtą požiūrį į švietėjišką darbą.

Pamokos turinys:

1. Žodinė sąskaita.

2. Apimtos medžiagos kartojimas.

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

4. Medžiagos tvirtinimas.

5. Refleksija.

6. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

Motyvacija (apsisprendimas) mokymosi veiklai.

Įvadas:

Sveiki, vaikinai. Mūsų pamokos tema „Skaičių skaidymas į pirminius veiksnius“. Kai kurie iš jūsų jau yra su tuo susipažinę. O kad geriau išsikeltume pamokos tikslą, šiek tiek padirbėsime su jumis žodžiu.

Imtis veiksmų (žodinis) .

Apskaičiuoti:

1. 15 x (325–325) + 236 x 1 – 30: 1 206

2. 207 - (0 x 4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 - 0:60) + (150:1 -48x0) 210

4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212

Studijuotos medžiagos kartojimas

Tęskite gautą seriją 3 skaičiams

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Pasirinkite iš jų dalijamus skaičius

ant: 2 (206; 208; 210; 212; 214; 216; 218)

3: (210;216)

iki 9: (216)

iki 5: (210)

4: (208; 212; 216)

Suformuluokite dalijimosi požymius

Klausimai: 1. Kokie skaičiai vadinami pirminiais?

2. Kokie skaičiai vadinami sudėtiniais?

3. Kas yra skaičius 1?

4. Išvardykite visus pirmuosius dviejų dešimčių pirminius skaičius.

5. Kiek pirminiai skaičiai?

6. Ar skaičius 32 yra pirminis?

7. Ar skaičius 73 yra pirminis?

Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskime labai įdomią problemą.

Gyveno, buvo bėdų ir močiutė. Jie turėjo Ryaba vištą. Višta deda kas septintą auksinį kiaušinį ir kas trečią sidabrinį. Tai gali būti?

(Atsakymas: ne, nes 21 sėklidė gali būti aukso ir sidabro) Kodėl?

Ko turėtume išmokti šios dienos pamokoje? (Išskaidykite bet kokius skaičius į pirminius veiksnius)

Kodėl, jūsų nuomone, mums to reikia? (siekiant išspręsti sudėtingesnius pavyzdžius ir sumažinti trupmenas)

Šiandien mūsų pamokos tema padės geriau suprasti ir išspręsti tokias problemas.

Išspręskite problemą: Būtina skirti stačiakampį žemės sklypą, kurio plotas 18 kvadratinių metrų. m., Kokie gali būti šio ploto matmenys, jei jie turi būti išreikšti natūraliaisiais skaičiais?

Sprendimas: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3

2. 18 = 2 x 9 = 2x3x3

3. 18 = 3 x 6 = 3 x 2 x 3

Dirbti porose.

Ką mes padarėme? (Atstovaujamas kaip produktas arba faktorius). Ar įmanoma tęsti skaidymą? Bet kaip? Ką tu gavai?

Klausimas: ką galima pasakyti apie šiuos daugiklius?

Visi veiksniai yra pirminiai skaičiai.

Atidarykite vadovėlį Ką reikia padaryti? Kas gali man paaiškinti, kaip tai daroma? (Diskusija poromis)

Naudodamiesi analizuojamu pavyzdžiu, skaičių 84 išskaidome į pirminius veiksnius (dekompozicijos algoritmas):

84 2 756 2 – ant lentos parodo mokytojas.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756 = 2x2x3x3x3x3

Padalinkite skaičių 756 į pirminius koeficientus. Palyginkite su mano sprendimu. ką pastebėjai?

194 puslapyje raskite atsakymą į šį klausimą?

Bet kuris skaičius išskaidomas į pirminių veiksnių sandaugą

vienintelis kelias.

Studijuotos medžiagos konsolidavimas .

1. Suskaičiuokite skaičius: 20; 188; 254.

Patikrinkime skaidrė 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

Kortelės siūlomos visiems. Mokiniai nusprendžia ir patikrina originalą, kuris yra ant mokytojo stalo. Jei tai padarėte teisingai, padėkite sau pliuso ženklą suvestinės lentelėje. (Išspręskite pagal 3)

Kortelės numeris 2. Suskirstykite skaičius: 30; 136; 438.

Kortelės numeris 3. Suskirstykite skaičius: 40; 125; 326.

Kortelės numeris 4. Suskirstykite skaičius: 50; 78; 285.

Kortelės numeris 5. Suskirstykite skaičius: 60; 654; 99.

Kortelės numeris 6. Suskirstykite skaičius: 70; 65; 136.

Atlikę darbus patikrinsime.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2,3∙13; 285 = 3,5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Rezultatas.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

(Suskaidyti natūralusis skaičius pirminiai veiksniai reiškia skaičių pavaizduoti kaip pirminių skaičių sandaugą.)

2) Ar natūraliojo skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus?

(Kad ir kokiu būdu būtų atliktas natūraliojo skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius, gauname unikalią jo faktorizaciją, į faktorių eilę neatsižvelgiama.)

Namų darbai.

Padalinkite bet kuriuos 4 skaičius į pirminius koeficientus.

Ką reiškia faktorizuoti? Kaip tai padaryti? Ko galima išmokti išskaidžius skaičių į pirminius veiksnius? Atsakymai į šiuos klausimus iliustruojami konkrečiais pavyzdžiais.

Apibrėžimai:

Pirminis skaičius yra skaičius, turintis tiksliai du skirtingus daliklius.

Sudėtinis skaičius yra skaičius, turintis daugiau nei du daliklius.

Natūralųjį skaičių padalyti į faktorius reiškia pavaizduoti jį kaip natūraliųjų skaičių sandaugą.

Suskaičiuoti natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip pirminių skaičių sandaugą.

Pastabos:

• Išplečiant pirminį skaičių vienas iš veiksnių yra lygus vienam, o kitas – pačiam šiam skaičiui.
• Nėra prasmės kalbėti apie vienybės skilimą į veiksnius.
• Sudėtinį skaičių galima išskaidyti į veiksnius, kurių kiekvienas skiriasi nuo 1.

	Išskaidykime skaičių 150. Pavyzdžiui, 150 yra 15 kartų 10. 15 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 3. 10 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 2. Užrašę jų išplėtimus į pirminius koeficientus, o ne į 15 ir 10, gavome skaičiaus 150 skaidymą.
	Skaičius 150 gali būti apskaičiuotas ir kitaip. Pavyzdžiui, 150 yra skaičių 5 ir 30 sandauga. 5 yra pirminis skaičius. 30 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti pavaizduotas kaip 10 ir 3 sandauga. 10 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 2. Skaičiaus 150 išskaidymą į pirminius veiksnius gavome kitu būdu.
	Atminkite, kad pirmasis ir antrasis plėtiniai yra vienodi. Jie skiriasi tik daugiklių tvarka. Įprasta veiksnius rašyti didėjančia tvarka.
Bet koks sudėtinis skaičius gali būti unikaliu būdu išskaidytas į pirminius veiksnius iki veiksnių eilės.

Išskaidant didelius skaičius į pirminius veiksnius, naudojamas stulpelio įrašas:

	Mažiausias pirminis skaičius, iš kurio 216 dalijasi, yra 2. Padalinkite 216 iš 2. Gauname 108.
	Gautas skaičius 108 dalijasi iš 2. Atlikime padalijimą. Rezultatas - 54.
	Pagal dalijimosi iš 2 testą, skaičius 54 dalijasi iš 2. Padalijus gauname 27.
	Skaičius 27 baigiasi nelyginiu skaičiumi 7. Tai Nedalijama iš 2. Kitas pirminis skaičius yra 3. 27 padalinkite iš 3. Gauname 9. Mažiausias pirminis Skaičius, iš kurio 9 dalijasi, yra 3. Pats trys yra pirminis skaičius, dalijasi iš savęs ir iš vieneto. Padalinkime 3 iš savęs. Dėl to gavome 1.

• Skaičius dalijasi tik iš tų pirminių skaičių, kurie yra jo išplėtimo dalis.
• Skaičius dalijasi tik iš tų sudėtinių skaičių, kurių skaidymas į pirminius veiksnius yra visiškai jame.

Apsvarstykite pavyzdžius:

	4900 dalijasi iš pirminių skaičių 2, 5 ir 7 (jie įtraukiami į skaičiaus 4900 išplėtimą), tačiau nesidalina, pavyzdžiui, iš 13.
	11 550 75. Taip yra todėl, kad skaičiaus 75 išplėtimas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus 11550 išplėtimą. Padalijimo rezultatas bus 2, 7 ir 11 koeficientų sandauga. 11550 nesidalija iš 4, nes išplečiant 4 yra papildomas 2.

Raskite skaičiaus a dalijimosi iš skaičiaus b koeficientą, jei šie skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Skaičiaus b skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus a skaidymą.
	A dalijimo iš b rezultatas yra trijų skaičių, likusių a plėtinyje, sandauga. Taigi atsakymas yra: 30.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija. 2006 m.
3. Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. - M.: Švietimas, 1989 m.
4. Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 kl. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas 5-6 gimnazijos klasėms. - M .: Edukacija, Matematikos mokytojų biblioteka, 1989 m.

1. Interneto portalas Matematika-na.ru ().
2. Interneto portalas Math-portal.ru ().

Namų darbai

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
2. Kitos užduotys: Nr.133, Nr.144.

Šiame straipsnyje pateikiami atsakymai į klausimą apie skaičiaus faktorinavimą į lapus. Apsvarstykite bendrą skaidymo idėją su pavyzdžiais. Panagrinėkime kanoninę dekompozicijos formą ir jos algoritmą. Visi alternatyvūs metodai bus svarstomi naudojant dalijimosi ženklus ir daugybos lentelę.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

Pažvelkime į pagrindinių veiksnių sampratą. Yra žinoma, kad kiekvienas pirminis veiksnys yra pirminis skaičius. Formos 2 7 7 23 sandaugoje turime 4 pirminius veiksnius formomis 2 , 7 , 7 , 23 .

Faktoringas apima jo vaizdavimą kaip pirminių skaičių sandaugą. Jei jums reikia išskaidyti skaičių 30, mes gauname 2, 3, 5. Įrašas bus 30 = 2 3 5 forma. Gali būti, kad daugikliai gali kartotis. Toks skaičius kaip 144 turi 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Ne visi skaičiai yra linkę skaidytis. Skaičiai, kurie yra didesni už 1 ir yra sveikieji skaičiai, gali būti apskaičiuoti. Pirminiai skaičiai dalijasi tik iš 1 ir patys save išskaidžius, todėl šių skaičių pateikti kaip sandaugos neįmanoma.

Kai z reiškia sveikuosius skaičius, jis vaizduojamas kaip a ir b sandauga, kur z yra padalintas iš a ir b. Sudėtiniai skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, naudojant pagrindinę aritmetikos teoremą. Jei skaičius didesnis už 1, tai jo faktorizacija p 1 , p 2 , … , p n įgauna formą a = p 1 , p 2 , … , p n . Manoma, kad skaidymas yra vienas variantas.

Kanoninis skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius

Skilimo metu veiksniai gali kartotis. Jie parašyti kompaktiškai naudojant laipsnį. Jei išskaidydami skaičių a turime koeficientą p 1 , kuris atsiranda s 1 kartą ir taip toliau p n - s n kartų. Taigi skilimas įgauna formą a = p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Šis įrašas vadinamas kanoniniu skaičiaus skaidymu į pirminius veiksnius.

Išskaidžius skaičių 609840 gauname, kad 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, jo kanoninė forma bus 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Naudodami kanoninį išplėtimą galite rasti visus skaičiaus daliklius ir jų skaičių.

Norėdami tinkamai apskaičiuoti faktorių, turite suprasti pirminius ir sudėtinius skaičius. Tikslas yra gauti iš eilės p 1 , p 2 , … , p n formos daliklių skaičių numeriai a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, tai leidžia gauti a = p 1 a 1, kur a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, kur a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a = p 1 p 2. .. pn an , kur a n = a n - 1: p n. Gavus a n = 1, tada lygybė a = p 1 p 2 … p n gauname reikiamą skaičiaus a skaidymą į pirminius veiksnius. pastebėti, kad p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Norėdami rasti rečiausiai paplitusius daliklius, turite naudoti pirminių skaičių lentelę. Tai daroma naudojant mažiausio skaičiaus z pirminio daliklio radimo pavyzdį. Imdami pirminius skaičius 2, 3, 5, 11 ir pan., o skaičių z padalijame iš jų. Kadangi z nėra pirminis skaičius, atminkite, kad mažiausias pirminis daliklis nebus didesnis už z . Matyti, kad z daliklių nėra, tada aišku, kad z yra pirminis skaičius.

1 pavyzdys

Apsvarstykite skaičiaus 87 pavyzdį. Kai jis yra padalintas iš 2, gauname 87: 2 \u003d 43, o likutis yra 1. Iš to išplaukia, kad 2 negali būti daliklis, dalyba turi būti atlikta visiškai. Padalijus iš 3, gauname 87: 3 = 29. Taigi išvada – 3 yra mažiausias skaičiaus 87 pirminis daliklis.

Skaidant į pirminius veiksnius, reikia naudoti pirminių skaičių lentelę, kur a. Skaidant 95, reikia naudoti apie 10 pirminių, o skaidant 846653 - apie 1000.

Apsvarstykite pagrindinio faktorizavimo algoritmą:

• rasti mažiausią koeficientą su skaičiaus dalikliu p 1 a pagal formulę a 1 \u003d a: p 1, kai a 1 \u003d 1, tada a yra pirminis skaičius ir įtraukiamas į faktorizaciją, kai nelygus 1, tada a \u003d p 1 a 1 ir vykdykite toliau pateiktą punktą;
• rasti pirminį daliklį p 2 iš 1 nuosekliai išvardijant pirminius skaičius, naudojant a 2 = a 1: p 2 , kai a 2 = 1 , tada plėtimasis įgauna formą a = p 1 p 2 , kai a 2 \u003d 1, tada a \u003d p 1 p 2 a 2 , ir pereiname prie kito žingsnio;
• kartoti pirminius skaičius ir rasti pirminį daliklį 3 p numeriai a 2 pagal formulę a 3 \u003d a 2: p 3, kai a 3 \u003d 1 , tada gauname, kad a = p 1 p 2 p 3 , kai nelygu 1, tada a = p 1 p 2 p 3 a 3 ir pereikite prie kito žingsnio;
• rasti pirminį daliklį p n numeriai a n-1 išvardijant pirminius skaičius su p n - 1, taip pat a n = a n - 1: p n, kur a n = 1, žingsnis yra galutinis, todėl gauname, kad a = p 1 p 2 … p n .

Algoritmo rezultatas rašomas lentelės forma su išskaidytais faktoriais su vertikalia juosta nuosekliai stulpelyje. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Gautą algoritmą galima pritaikyti išskaidžius skaičius į pirminius veiksnius.

Apskaičiuojant pirminius veiksnius, reikia vadovautis pagrindiniu algoritmu.

2 pavyzdys

Išskaidykite skaičių 78 į pirminius veiksnius.

Sprendimas

Norint rasti mažiausią pirminį daliklį, reikia surašyti visus pirminius skaičius 78 . Tai yra, 78: 2 = 39. Dalyba be liekanos, todėl tai yra pirmasis pirminis daliklis, kurį žymime kaip p 1. Gauname, kad a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Priėjome formos a = p 1 a 1 lygybę , kur 78 = 2 39 . Tada a 1 = 39, tai yra, turėtumėte pereiti prie kito žingsnio.

Sutelkime dėmesį į pirminio daliklio radimą p2 numeriai a 1 = 39. Turėtumėte surūšiuoti pirminius skaičius, tai yra, 39: 2 = 19 (likęs 1). Kadangi padalijimas turi likutį, 2 nėra daliklis. Pasirinkę skaičių 3, gauname 39: 3 = 13. Tai reiškia, kad p 2 = 3 yra mažiausias 39 pirminis daliklis iš a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Gauname formos lygybę a = p 1 p 2 a 2 formoje 78 = 2 3 13 . Turime, kad a 2 = 13 nėra lygus 1 , tada turėtume judėti toliau.

Mažiausias skaičiaus a 2 = 13 pirminis daliklis randamas surašant skaičius, pradedant nuo 3 . Gauname, kad 13: 3 = 4 (likęs 1). Tai rodo, kad 13 nesidalija iš 5, 7, 11, nes 13: 5 = 2 (3 poilsis), 13: 7 = 1 (6 poilsis) ir 13: 11 = 1 (2 poilsis). Galima pastebėti, kad 13 yra pirminis skaičius. Formulė atrodo taip: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Gavome, kad a 3 = 1 , o tai reiškia algoritmo pabaigą. Dabar faktoriai užrašomi kaip 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3).

Atsakymas: 78 = 2 3 13 .

3 pavyzdys

Išskaidykite skaičių 83 006 į pirminius veiksnius.

Sprendimas

Pirmasis žingsnis yra susijęs su faktoringu p 1 = 2 ir a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 = 41 503, kur 83 006 = 2 41 503 .

Antrame žingsnyje daroma prielaida, kad 2 , 3 ir 5 nėra pirminiai dalikliai, kai 1 = 41503, bet 7 yra pirminis daliklis, nes 41503: 7 = 5929 . Gauname, kad p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 = 5 929. Akivaizdu, kad 83 006 = 2 7 5 929.

Mažiausio skaičiaus a 3 = 847 pirminio daliklio p 4 radimas yra 7 . Matyti, kad 4 = 3: p 4 \u003d 847: 7 = 121, taigi 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Norėdami rasti pirminį skaičiaus a 4 = 121 daliklį, naudojame skaičių 11, tai yra, p 5 = 11. Tada gauname formos išraišką a 5 = 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11 ir 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Dėl skaičiaus a 5 = 11 numerį p6 = 11 yra mažiausias pirminis daliklis. Taigi 6 = 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Tada 6 = 1. Tai rodo algoritmo pabaigą. Daugikliai bus parašyti kaip 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Kanoninis atsakymo žymėjimas bus 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Atsakymas: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

4 pavyzdys

Suskaičiuokite skaičių 897 924 289.

Sprendimas

Norėdami rasti pirmąjį pirminį koeficientą, kartokite pirminius skaičius, pradedant nuo 2. Sąrašo pabaiga patenka į skaičių 937 . Tada p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ir 897 924 289 = 937 958 297.

Antrasis algoritmo žingsnis yra mažesnių pirminių skaičių surašymas. Tai yra, mes pradedame nuo skaičiaus 937. Skaičius 967 gali būti laikomas pirminiu, nes jis yra pirminis skaičiaus a 1 = 958 297 daliklis. Iš čia gauname, kad p 2 \u003d 967, tada a 2 = 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 ir 897 924 289 \u003d 99917.

Trečiasis žingsnis sako, kad 991 yra pirminis skaičius, nes jis neturi pirminio daliklio, kuris būtų mažesnis arba lygus 991. Apytikslė radikalios išraiškos reikšmė yra 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Iš to matyti, kad p 3 \u003d 991 ir a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Gauname, kad skaičiaus 897 924 289 išskaidymas į pirminius veiksnius gaunamas kaip 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Atsakymas: 897 924 289 = 937 967 991.

Dalyvumo testų naudojimas pirminiam faktoriavimui

Norėdami išskaidyti skaičių į pirminius veiksnius, turite vadovautis algoritmu. Kai yra maži skaičiai, leidžiama naudoti daugybos lentelę ir dalijimosi ženklus. Pažvelkime į tai su pavyzdžiais.

5 pavyzdys

Jei reikia koeficientuoti 10, tada lentelėje rodoma: 2 5 \u003d 10. Gauti skaičiai 2 ir 5 yra pirminiai, taigi jie yra pirminiai skaičiaus 10 koeficientai.

6 pavyzdys

Jei reikia išskaidyti skaičių 48, tada lentelėje rodoma: 48 \u003d 6 8. Tačiau 6 ir 8 nėra pirminiai veiksniai, nes jie taip pat gali būti išskaidyti kaip 6 = 2 3 ir 8 = 2 4 . Tada visas išskaidymas iš čia gaunamas kaip 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Kanoninis žymėjimas bus 48 = 2 4 3 .

7 pavyzdys

Išskaidydami skaičių 3400, galite naudoti dalijimosi ženklus. V Ši byla svarbūs yra dalijimosi iš 10 ir iš 100 ženklai. Iš čia gauname, kad 3 400 = 34 100, kur 100 gali būti padalintas iš 10, tai yra, parašytas kaip 100 = 10 10, o tai reiškia, kad 3 400 = 34 10 10. Remdamiesi dalijimosi ženklu, gauname, kad 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Visi veiksniai yra paprasti. Kanoninė plėtra įgauna formą 3400 = 2 3 5 2 17.

Kai randame pirminius koeficientus, reikia naudoti dalijimosi ženklus ir daugybos lentelę. Jei skaičių 75 atstovaujate kaip veiksnių sandaugą, tuomet turite atsižvelgti į dalijimosi iš 5 taisyklę. Gauname, kad 75 = 5 15 ir 15 = 3 5 . Tai yra, norimas skaidymas yra sandaugos 75 = 5 · 3 · 5 formos pavyzdys.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Bet kuris natūralusis skaičius gali būti išskaidytas į pirminių veiksnių sandaugą. Jei jums nepatinka dirbti su dideliais skaičiais, pvz., 5733, išmokite juos įtraukti į pirminius veiksnius (šiuo atveju 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Su panašia užduotimi dažnai susiduriama kriptografijoje, kuri sprendžia informacijos saugumo problemas. Jei nesate pasiruošę sukurti savo saugios el. pašto sistemos, pirmiausia sužinokite, kaip į pirminius veiksnius įtraukti skaičius.

Žingsniai

1 dalis

Pagrindinių veiksnių paieška

1. Pradėti nuo originalus numeris. Pasirinkite sudėtinį skaičių, didesnį nei 3. Nėra prasmės imti pirminį skaičių, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieneto.

   • Pavyzdys: skaičių 24 išskaidome į pirminių skaičių sandaugą.

2. Išskaidykime šį skaičių į dviejų veiksnių sandaugą. Raskite du mažesnius skaičius, kurių sandauga yra lygi pradiniam skaičiui. Galite naudoti bet kokius daugiklius, bet lengviau imti pirminius skaičius. Vienas geras būdas yra pabandyti padalyti pradinį skaičių iš 2, tada iš 3, tada iš 5 ir pamatyti, iš kurių pirminių skaičių jis dalijasi.

   • Pavyzdys: jei nežinote skaičiaus 24 faktorių, pabandykite jį padalyti iš mažų pirminių skaičių. Taigi pamatysite, kad pateiktas skaičius dalijasi iš 2: 24 = 2x12. Tai gera pradžia.
   • Kadangi 2 yra pirminis skaičius, gerai jį naudoti skaidant lyginius skaičius.

3. Pradėkite kurti daugiklio medį.Ši paprasta procedūra padės padalyti skaičių į pagrindinius veiksnius. Norėdami pradėti, nubrėžkite dvi „šakas“ nuo pradinio skaičiaus. Kiekvienos šakos gale parašykite rastus daugiklius.

   • Pavyzdys:

4. Suskaičiuokite šią skaičių eilutę. Pažvelkite į du naujus skaičius (antroji daugiklio medžio eilutė). Ar jie abu pirminiai skaičiai? Jei vienas iš jų nėra pagrindinis, taip pat įtraukite jį į du veiksnius. Nubrėžkite dar dvi šakas ir trečioje medžio eilutėje parašykite du naujus daugiklius.

   • Pavyzdys: 12 nėra pirminis skaičius, todėl jį reikia apskaičiuoti. Mes naudojame skaidymą 12 = 2 x 6 ir įrašome trečioje medžio eilutėje:
   • 2x6

5. Toliau judėkite žemyn medžiu. Jei vienas iš naujų veiksnių yra pirminis skaičius, nubrėžkite iš jo vieną „šaką“ ir tą patį skaičių parašykite jo gale. Pirminiai skaičiai nėra skaidomi į mažesnius veiksnius, todėl tiesiog perkelkite juos į žemiau esantį lygį.

   • Pavyzdys: 2 yra pirminis skaičius. Tiesiog perkelkite 2 iš antros į trečią eilutę:
   • 2 2 6

6. Laikykite faktoringo skaičius tol, kol liks tik pirminiai skaičiai. Patikrinkite kiekvieną naują medžio eilutę. Jei bent vienas iš naujų faktorių nėra pirminis skaičius, padalykite jį ir parašykite naują eilutę. Galų gale jums liks tik pirminiai skaičiai.

   • Pavyzdys: 6 nėra pirminis skaičius, todėl jis taip pat turėtų būti įvertintas. Tuo pačiu metu 2 yra pirminis skaičius, o du 2 perkeliame į kitą lygį:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Paskutinę eilutę parašykite kaip pirminių faktorių sandaugą. Galų gale jums liks tik pirminiai skaičiai. Kai tai atsitiks, pagrindinis faktorizavimas baigtas. Paskutinė eilutė yra pirminių skaičių, kurių sandauga suteikia pradinį skaičių, rinkinys.

   • Patikrinkite savo atsakymą: padauginkite skaičius paskutinėje eilutėje. Rezultatas turėtų būti pradinis skaičius.
   • Pavyzdys: Paskutinėje faktorių medžio eilutėje yra skaičiai 2 ir 3. Abu šie skaičiai yra pirminiai, todėl išplėtimas baigtas. Taigi skaičiaus 24 skaidymas į pirminius veiksnius turi tokią formą: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Daugiklių tvarka neturi reikšmės. Išplėtimas taip pat gali būti parašytas kaip 2 x 3 x 2 x 2.

8. Jei norite, supaprastinkite atsakymą naudodami galios žymėjimą. Jei esate susipažinę su skaičių padidinimu iki laipsnio, galite parašyti savo atsakymą paprastesniu būdu. Atminkite, kad bazė yra parašyta žemiau, o viršutinis indeksas rodo, kiek kartų ši bazė turi būti padauginta iš savęs.

   • Pavyzdys: kiek kartų skaičius 2 pasirodo rastame 2 x 2 x 2 x 3 plėtinyje? Tris kartus, todėl išraišką 2 x 2 x 2 galima parašyti kaip 2 3 . Supaprastintu žymėjimu gauname 23x3.

   2 dalis

   Pirminio faktorizavimo naudojimas

   1. Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį. Didžiausias bendrasis dviejų skaičių daliklis (GCD) yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai dalijasi be liekanos. Toliau pateiktame pavyzdyje parodyta, kaip naudoti pirminį faktorių, norint rasti didžiausią bendrą 30 ir 36 daliklį.

      • Išskaidykime abu skaičius į pirminius veiksnius. Skaičiaus 30 išplėtimas yra 2 x 3 x 5. Skaičius 36 išskaidomas į pirminius koeficientus taip: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Raskite skaičių, kuris atsiranda abiejuose plėtiniuose. Abiejuose sąrašuose šį skaičių išbraukiame ir įrašome į naują eilutę. Pavyzdžiui, 2 įvyksta dviem išplėtimais, todėl mes rašome 2 naujoje eilutėje. Po to mums lieka 30 = 2 x 3 x 5 ir 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Kartokite šį veiksmą tol, kol išplėtimuose neliks bendrų veiksnių. Abiejuose sąrašuose taip pat yra skaičius 3, todėl galime rašyti naujoje eilutėje 2 ir 3 . Po to išplėtimus vėl palyginkite: 30 = 2 x 3 x 5 ir 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Kaip matote, bendrų faktorių juose nebeliko.
      • Norėdami rasti didžiausią bendrą daliklį, turite rasti visų bendrųjų veiksnių sandaugą. Mūsų pavyzdyje tai yra 2 ir 3, taigi gcd yra 2 x 3 = 6 . Tai didžiausias skaičius, iš kurių skaičiai 30 ir 36 dalijasi be liekanos.

   2. GCD gali būti naudojamas trupmenoms supaprastinti. Jei įtariate, kad trupmeną galima sumažinti, naudokite didžiausią bendrąjį daliklį. Norėdami rasti skaitiklio ir vardiklio GCD, naudokite aukščiau pateiktą procedūrą. Tada trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš šio skaičiaus. Dėl to tą pačią frakciją gausite paprastesne forma.

      • Pavyzdžiui, supaprastinkime trupmeną 30/36. Kaip minėjome aukščiau, 30 ir 36 GCD yra 6, todėl skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį. Mažiausias dviejų skaičių kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių. Pavyzdžiui, 2 ir 3 LCM yra 6, nes tai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 2 ir 3. Toliau pateikiamas pavyzdys, kaip rasti LCM naudojant pirminį faktorių:

      • Pradedame nuo dviejų faktorių skirstymo į pagrindinius veiksnius. Pavyzdžiui, skaičiaus 126 išplėtimas gali būti parašytas kaip 2 x 3 x 3 x 7. Skaičius 84 išskaidomas į pirminius veiksnius, kurių forma yra 2 x 2 x 3 x 7.
      • Palyginkime, kiek kartų kiekvienas veiksnys atsiranda plėtojant. Pasirinkite sąrašą, kuriame daugiklis pasitaiko didžiausią skaičių kartų, ir apveskite šią vietą. Pavyzdžiui, skaičius 2 pateikiamas vieną kartą plėtojant 126 ir du kartus sąraše, jei yra 84, todėl apibraukite 2x2 antrajame daugiklių sąraše.
      • Pakartokite šį veiksmą su kiekvienu daugikliu. Pavyzdžiui, 3 dažniau pasitaiko pirmą kartą išplečiant, todėl apibraukite jį ratu 3x3. Skaičius 7 pasirodo vieną kartą abiejuose sąrašuose, todėl apibraukite 7 (nesvarbu, kuriame sąraše, jei nurodytas veiksnys abiejuose sąrašuose pasitaiko tiek pat kartų).
      • Norėdami rasti LCM, padauginkite visus apskritimu apvestus skaičius. Mūsų pavyzdyje mažiausias bendras 126 ir 84 kartotinis yra 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Tai mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 126 ir 84 be liekanos.

   4. Norėdami pridėti trupmenas, naudokite LCM. Pridedant dvi trupmenas, jas reikia sujungti į bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, suraskite dviejų vardiklių LCM. Tada kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš tokio skaičiaus, kad trupmenų vardikliai būtų lygūs LCM. Po to galite pridėti frakcijas.

      • Pavyzdžiui, reikia rasti sumą 1/6 + 4/21.
      • Naudodami aukščiau pateiktą metodą, galite rasti 6 ir 21 LCM. Jis lygus 42.
      • Paverskime trupmeną 1/6 taip, kad jos vardiklis būtų 42. Norėdami tai padaryti, padalykite 42 iš 6: 42 ÷ 6 = 7. Dabar trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 7: 1/6 x 7/7 = 7 /42.
      • Kad antrajai trupmenai būtų priskirtas vardiklis 42, 42 padalinkite iš 21: 42 ÷ 21 = 2. Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42.
      • Sumažėjus trupmenoms iki to paties vardiklio, jas galima nesunkiai sudėti: 7/42 + 8/42 = 15/42.