Sprendžiant lygtis ir nelygybes, taip pat uždavinius su moduliais, reikia surasti rastas šaknis realioje tiesėje. Kaip žinia, rastos šaknys gali būti įvairios. Jie gali būti tokie:, arba jie gali būti tokie:,.
Atitinkamai, jei skaičiai yra ne racionalūs, o neracionalūs (jei pamiršote, kas tai yra, pažiūrėkite į temą) arba yra sudėtingos matematinės išraiškos, tada jų išdėstymas skaičių eilutėje yra labai problematiškas. Be to, egzamine negali būti naudojami skaičiuotuvai, o apytikslis skaičiavimas nesuteikia 100% garantijų, kad vienas skaičius yra mažesnis už kitą (o jei yra skirtumas tarp lyginamų skaičių?).
Žinoma, jūs žinote, kad teigiami skaičiai visada yra didesni už neigiamus ir kad jei atstovaujame skaičių ašį, tada lyginant didžiausi skaičiai bus dešinėje nei mažiausi: ; ; ir tt
Bet ar visada taip lengva? Kur skaičių eilutėje pažymime .
Kaip juos palyginti, pavyzdžiui, su skaičiumi? Čia ir yra trintis...)
Pirmiausia pakalbėkime bendrais bruožais, kaip ir ką palyginti.
Svarbu: transformacijas pageidautina atlikti taip, kad nelygybės ženklas nesikeistų! Tai yra, atliekant transformacijas, nepageidautina dauginti iš neigiamo skaičiaus ir tai uždrausta kvadratas, jei viena iš dalių yra neigiama.
Trupmenų palyginimas
Taigi, turime palyginti dvi trupmenas: ir.
Yra keletas variantų, kaip tai padaryti.
1 variantas. Suveskite trupmenas į bendrą vardiklį.
Parašykime kaip paprastąją trupmeną:
- (kaip matote, aš taip pat sumažinau skaitiklį ir vardiklį).
Dabar turime palyginti trupmenas:
Dabar galime ir toliau lyginti dviem būdais. Mes galime:
- tiesiog sumažinkite viską iki bendro vardiklio, pateikdami abi trupmenas kaip netinkamas (skaitiklis didesnis už vardiklį):
Kuris skaičius didesnis? Teisingai, tas, kurio skaitiklis didesnis, tai yra, pirmasis.
- „išmesti“ (tarkime, kad iš kiekvienos trupmenos atėmėme po vieną, o trupmenų santykis tarpusavyje nepasikeitė) ir palyginsime trupmenas:
Taip pat juos sujungiame į bendrą vardiklį:
Gavome lygiai tokį patį rezultatą kaip ir ankstesniu atveju - pirmasis skaičius yra didesnis nei antrasis:
Taip pat patikrinkime, ar teisingai atėmėme vieną? Apskaičiuokime skaitiklio skirtumą pirmame ir antrame skaičiavime:
1)
2)
Taigi, mes pažvelgėme į tai, kaip palyginti trupmenas, sujungdami jas į bendrą vardiklį. Pereikime prie kito metodo – trupmenų palyginimo suvedant jas į bendrą... skaitiklį.
2 variantas. Trupmenų palyginimas sumažinant iki bendro skaitiklio.
Taip taip. Tai nėra rašybos klaida. Mokykloje šio metodo retai kas moko, bet labai dažnai jis yra labai patogus. Kad greitai suprastumėte jo esmę, užduosiu tik vieną klausimą - „kokiais atvejais trupmenos vertė yra didžiausia? Žinoma, sakysite „kai skaitiklis yra kuo didesnis, o vardiklis kuo mažesnis“.
Pavyzdžiui, jūs tikrai pasakysite, kad Tiesa? Ir jei reikia palyginti tokias trupmenas: Manau, kad ir jūs iš karto teisingai uždėsite ženklą, nes pirmuoju atveju jie yra padalinti į dalis, o antruoju - į ištisas, o tai reiškia, kad antruoju atveju gabalai yra labai maži ir atitinkamai: . Kaip matote, vardikliai čia skiriasi, bet skaitikliai yra vienodi. Tačiau norint palyginti šias dvi trupmenas, nereikia rasti bendro vardiklio. Nors ... suraskite ir pažiūrėkite, ar palyginimo ženklas vis dar neteisingas?
Bet ženklas tas pats.
Grįžkime prie pradinės užduoties – palyginti ir. Palyginsime ir Šias trupmenas suvedame ne į bendrą vardiklį, o į bendrą skaitiklį. Dėl to tai paprasta skaitiklis ir vardiklis padauginkite pirmąją trupmeną iš. Mes gauname:
Ir. Kuri frakcija didesnė? Teisingai, pirmasis.
3 variantas. Trupmenų palyginimas naudojant atimtį.
Kaip palyginti trupmenas naudojant atimtį? Taip, labai paprasta. Iš vienos trupmenos atimame kitą. Jei rezultatas yra teigiamas, tada pirmoji trupmena (sumažinta) yra didesnė už antrąją (atimta), o jei neigiama, tada atvirkščiai.
Mūsų atveju pabandykime atimti pirmąją trupmeną iš antrosios: .
Kaip jau supratote, mes taip pat paverčiame įprastą trupmeną ir gauname tą patį rezultatą -. Mūsų išraiška tampa:
Be to, mes vis dar turime sumažinti sumažinimą iki bendro vardiklio. Kyla klausimas, kaip: pirmuoju būdu paversti trupmenas į netinkamas, ar antruoju, tarsi "pašalinti" vienetą? Beje, šis veiksmas turi visiškai matematinį pagrindimą. Žiūrėk:
Man labiau patinka antrasis variantas, nes padauginti skaitiklį sumažinant iki bendro vardiklio tampa daug kartų lengviau.
Siūlome bendrą vardiklį:
Čia svarbiausia nesusipainioti, iš kokio skaičiaus ir iš kur atėmėme. Atidžiai pažiūrėkite į sprendimo eigą ir netyčia nesupainiokite ženklų. Iš antrojo skaičiaus atėmėme pirmąjį ir gavome neigiamą atsakymą, taigi? .. Tiesa, pirmasis skaičius yra didesnis nei antrasis.
Supratau? Pabandykite palyginti trupmenas:
Sustok, sustok. Neskubėkite vesti prie bendro vardiklio ar atimti. Pažiūrėkite: jį galima lengvai konvertuoti į dešimtainę trupmeną. Kiek tai bus? Teisingai. Kas baigiasi daugiau?
Tai dar vienas variantas – trupmenų lyginimas mažinant dešimtainį skaičių.
4 variantas. Trupmenų palyginimas dalijant.
Taip taip. Ir taip taip pat įmanoma. Logika paprasta: padalijus didesnį skaičių iš mažesnio, atsakyme gauname didesnį už vienetą skaičių, o jei mažesnį skaičių padaliname iš didesnio, tai atsakymas patenka į intervalą nuo iki.
Norėdami prisiminti šią taisyklę, palyginkite bet kurias dvi pirminiai skaičiai, pavyzdžiui, i. Ar žinai, kas daugiau? Dabar padalinkime iš. Mūsų atsakymas yra. Atitinkamai, teorija yra teisinga. Jei padalinsime iš, tai, ką gauname, yra mažiau nei vienetas, o tai savo ruožtu patvirtina, kas iš tikrųjų yra mažiau.
Pabandykime taikyti šią taisyklę paprastosioms trupmenoms. Palyginti:
Padalinkite pirmąją trupmeną iš antrosios:
Sutrumpinkime po truputį.
Rezultatas yra mažesnis, todėl dividendas yra mažesnis už daliklį, tai yra:
Išanalizavome visas įmanomas trupmenų palyginimo galimybes. Kaip matote, jų yra 5:
- sumažinimas iki bendro vardiklio;
- redukcija į bendrą skaitiklį;
- sumažinimas iki dešimtainės trupmenos formos;
- atimti;
- padalinys.
Pasiruošę treniruotis? Palyginkite trupmenas geriausiu būdu:
Palyginkime atsakymus:
- (- konvertuoti į dešimtainę)
- (vieną trupmeną padalinkite iš kitos ir sumažinkite iš skaitiklio ir vardiklio)
- (pasirinkite visą dalį ir palyginkite trupmenas to paties skaitiklio principu)
- (vieną trupmeną padalinkite iš kitos ir sumažinkite iš skaitiklio ir vardiklio).
2. Laipsnių palyginimas
Dabar įsivaizduokite, kad turime palyginti ne tik skaičius, bet ir išraiškas, kuriose yra laipsnis ().
Žinoma, galite lengvai įdėti ženklą:
Galų gale, jei laipsnį pakeisime daugyba, gausime:
Iš šio mažo ir primityvaus pavyzdžio išplaukia taisyklė:
Dabar pabandykite palyginti šiuos dalykus: . Taip pat galite lengvai įdėti ženklą:
Nes jei eksponentiškumą pakeisime daugyba...
Apskritai tu viską supranti, ir tai visai nesunku.
Sunkumai iškyla tik tada, kai lyginant laipsniai turi skirtingus pagrindus ir rodiklius. Tokiu atveju reikia stengtis suvesti prie bendro pagrindo. Pavyzdžiui:
Žinoma, jūs žinote, kad tai, atitinkamai, išraiška yra tokia:
Atidarykime skliaustus ir palyginkime, kas atsitiks:
Šiek tiek ypatingas atvejis, kai laipsnio () bazė yra mažesnė už vieną.
Jei, tada dviejų ar daugiau laipsnių, tas, kurio rodiklis yra mažesnis.
Pabandykime įrodyti šią taisyklę. Leisti būti.
Pateikiame tam tikrą natūralųjį skaičių kaip skirtumą tarp ir.
Logiška, ar ne?
Dabar atkreipkime dėmesį į būklę - .
Atitinkamai:. Vadinasi,.
Pavyzdžiui:
Kaip suprantate, mes svarstėme atvejį, kai galių pagrindai yra lygūs. Dabar pažiūrėkime, kada bazė yra diapazone nuo iki, bet rodikliai yra lygūs. Čia viskas labai paprasta.
Prisiminkime, kaip tai palyginti su pavyzdžiu:
Žinoma, jūs greitai suskaičiavote:
Todėl, kai palyginimui susiduriate su panašiomis problemomis, turėkite omenyje paprastą panašų pavyzdį, kurį galite greitai apskaičiuoti, ir, remdamiesi šiuo pavyzdžiu, sudėkite ženklus į sudėtingesnį.
Atlikdami transformacijas atminkite, kad jei dauginate, pridedate, atimate ar dalinate, tai visi veiksmai turi būti atliekami tiek kairėje, tiek dešinėje pusėse (jei dauginate iš, tai reikia dauginti abiem).
Be to, kartais atlikti bet kokias manipuliacijas yra tiesiog nenaudinga. Pavyzdžiui, reikia palyginti. Tokiu atveju nėra taip sunku pakelti galią ir išdėstyti ženklą pagal tai:
Praktikuokime. Palyginkite laipsnius:
Pasiruošę palyginti atsakymus? Štai ką aš padariau:
- - tokspat
- - tokspat
- - tokspat
- - tokspat
3. Skaičių su šaknimi palyginimas
Pradėkime nuo to, kas yra šaknys? Ar prisimeni šį įrašą?
Realiojo skaičiaus šaknis yra skaičius, kuriam galioja lygybė.
Šaknys nelyginis laipsnis egzistuoja neigiamiems ir teigiamiems skaičiams, ir net šaknys– Tik teigiamai.
Šaknies reikšmė dažnai yra begalinis dešimtainis skaičius, todėl sunku ją tiksliai apskaičiuoti, todėl svarbu mokėti palyginti šaknis.
Jei pamiršote, kas tai yra ir su kuo jis valgomas -. Jei viską atsimeni, išmokime lyginti šaknis žingsnis po žingsnio.
Tarkime, kad reikia palyginti:
Norint palyginti šias dvi šaknis, nereikia atlikti jokių skaičiavimų, tiesiog išanalizuoti pačią „šaknies“ sąvoką. Supratai apie ką aš kalbu? Taip, apie tai: kitu atveju jis gali būti parašytas kaip trečioji kažkokio skaičiaus laipsniai, lygi šaknies išraiškai.
Kas daugiau? arba? Tai, žinoma, galite palyginti be jokių sunkumų. Kuo didesnį skaičių padidinsime iki laipsnio, tuo didesnė reikšmė bus.
Taigi. Supraskime taisyklę.
Jei šaknų rodikliai yra vienodi (mūsų atveju tai yra), tada reikia palyginti šaknies išraiškas (ir) - kuo didesnis šaknies skaičius, tuo didesnė šaknies reikšmė su vienodais rodikliais.
Sunku prisiminti? Tada tiesiog turėkite omenyje pavyzdį ir. Tai daugiau?
Šaknų rodikliai yra vienodi, nes šaknis yra kvadratinė. Vieno skaičiaus () šakninė išraiška yra didesnė už kito (), o tai reiškia, kad taisyklė tikrai teisinga.
Bet ką daryti, jei radikalios išraiškos yra vienodos, bet skiriasi šaknų laipsniai? Pavyzdžiui: .
Taip pat visiškai aišku, kad ištraukus didesnio laipsnio šaknį, bus gautas mažesnis skaičius. Paimkime, pavyzdžiui:
Pirmosios šaknies reikšmę pažymėkite kaip, o antrosios - kaip, tada:
Galite lengvai suprasti, kad šiose lygtyse turėtų būti daugiau, todėl:
Jei šakninės išraiškos yra vienodos(mūsų atveju), o šaknų rodikliai yra skirtingi(mūsų atveju tai yra ir), tada reikia lyginti rodiklius(Ir) - kuo didesnis eksponentas, tuo mažesnė duota išraiška.
Pabandykite palyginti šias šaknis:
Palyginkime rezultatus?
Sėkmingai su tuo susitvarkėme :). Kyla kitas klausimas: o jeigu mes visi esame skirtingi? Ir laipsnis, ir radikali išraiška? Ne viskas taip sunku, tereikia... „atsikratyti“ šaknies. Taip taip. Atsikratyti jo.)
Jei turime skirtingus laipsnius ir radikaliąsias išraiškas, turime rasti mažiausią bendrą šaknies eksponentų kartotinį (skaitykite skyrių apie tai) ir pakelti abi išraiškas iki galios, lygios mažiausiam bendrajam kartotiniui.
Kad mes visi esame žodžiais ir žodžiais. Štai pavyzdys:
- Mes žiūrime į šaknų rodiklius - ir. Jų mažiausias bendras kartotinis yra .
- Pakelkime abi išraiškas į laipsnį:
- Pakeiskime išraišką ir išplėskime skliaustus (daugiau informacijos skyriuje):
- Pagalvokime, ką padarėme, ir pastatykime ženklą:
4. Logaritmų palyginimas
Taigi lėtai, bet užtikrintai priėjome prie klausimo, kaip palyginti logaritmus. Jei neprisimenate, koks tai gyvūnas, patariu pirmiausia perskaityti teoriją iš skyriaus. Skaityti? Tada atsakykite į keletą svarbių klausimų:
- Kas yra logaritmo argumentas ir koks jo pagrindas?
- Kas lemia, ar funkcija didėja, ar mažėja?
Jei viską atsimeni ir gerai išmokai – pradėkime!
Norėdami palyginti logaritmus tarpusavyje, turite žinoti tik 3 gudrybes:
- sumažinimas iki tos pačios bazės;
- mesti tą patį argumentą;
- palyginimas su trečiuoju numeriu.
Pirmiausia atkreipkite dėmesį į logaritmo pagrindą. Prisiminkite, kad jei jis yra mažesnis, tada funkcija mažėja, o jei ji didesnė, tada ji didėja. Tuo bus pagrįsti mūsų sprendimai.
Apsvarstykite galimybę palyginti logaritmus, kurie jau buvo sumažinti iki tos pačios bazės arba argumento.
Pirmiausia supaprastinkime problemą: įveskime palygintus logaritmus vienodais pagrindais. Tada:
- Funkcija, kai didėja intervale nuo, pagal apibrėžimą reiškia tada („tiesioginis palyginimas“).
- Pavyzdys:- pagrindai yra vienodi, atitinkamai lyginame argumentus: , todėl:
- Funkcija at mažėja intervale nuo, o tai pagal apibrėžimą reiškia tada ("atvirkštinis palyginimas"). - bazės yra vienodos, atitinkamai lyginame argumentus: , tačiau logaritmų ženklas bus „atvirkštinis“, nes funkcija mažėja: .
Dabar apsvarstykite atvejus, kai pagrindai skiriasi, bet argumentai tie patys.
- Pagrindas didesnis.
- . Šiuo atveju naudojame „atvirkštinį palyginimą“. Pavyzdžiui: - argumentai yra tie patys, ir. Mes lyginame pagrindus: tačiau logaritmų ženklas bus „atvirkštinis“:
- Bazė a yra tarp.
- . Šiuo atveju naudojame „tiesioginį palyginimą“. Pavyzdžiui:
- . Šiuo atveju naudojame „atvirkštinį palyginimą“. Pavyzdžiui:
Parašykime viską bendra lentelės forma:
| , kuriame | , kuriame | |
Atitinkamai, kaip jau supratote, lygindami logaritmus, turime pasiekti tą pačią bazę arba argumentą, Mes pasiekiame tą pačią bazę naudodami formulę, skirtą pereiti iš vienos bazės į kitą.
Taip pat galite palyginti logaritmus su trečiuoju skaičiumi ir pagal tai nuspręsti, kas yra mažiau, o kas daugiau. Pavyzdžiui, pagalvokite, kaip palyginti šiuos du logaritmus?
Maža užuomina – palyginimui jums labai padės logaritmas, kurio argumentas bus lygus.
galvojo? Spręskime kartu.
Šiuos du logaritmus galime lengvai palyginti su jumis:
Nežinau kaip? Pažiūrėkite aukščiau. Mes ką tik išardėme. Koks ženklas ten bus? Teisingai:
Sutinku?
Palyginkime vienas su kitu:
Turėtumėte gauti šiuos dalykus:
Dabar sujunkite visas mūsų išvadas į vieną. Įvyko?
5. Trigonometrinių išraiškų palyginimas.
Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas? Kam skirtas vienetinis apskritimas ir kaip jame rasti trigonometrinių funkcijų reikšmę? Jei nežinote atsakymų į šiuos klausimus, labai rekomenduoju perskaityti teoriją šia tema. Ir jei žinote, tada lyginti trigonometrines išraiškas jums nėra sunku!
Šiek tiek atnaujinkime atmintį. Nubraižykime vienetinį trigonometrinį apskritimą ir jame įrašytą trikampį. Ar susitvarkei? Dabar pažymėkite, kurioje pusėje turime kosinusą, o kurioje sinusą, naudodami trikampio kraštines. (Žinoma, prisimenate, kad sinusas yra priešingos pusės santykis su hipotenuze, o gretimos kosinusas?). Ar piešėte? gerai! Paskutinis prisilietimas – padėkite kur turėsime, kur ir pan. Padėti? Phew) Palygink, kas nutiko man ir tau.
Fu! Dabar pradėkime palyginimą!
Tarkime, kad turime palyginti ir . Nubrėžkite šiuos kampus naudodami langelius (kur pažymėjome kur), išdėstydami taškus ant vieneto apskritimo. Ar susitvarkei? Taip ir padariau.
Dabar nuleiskime statmeną nuo taškų, kuriuos pažymėjome apskritime, iki ašies... Kurį? Kuri ašis rodo sinusų reikšmę? Teisingai,. Štai ką turėtumėte gauti:
Žvelgiant į šią figūrą, kuri yra didesnė: ar? Žinoma, nes taškas yra aukščiau už tašką.
Panašiai lyginame kosinusų vertę. Mes tik nuleidžiame statmeną į ašį ... Teisingai, . Atitinkamai žiūrime, kuris taškas yra dešinėje (na, ar aukščiau, kaip sinusų atveju), tada reikšmė yra didesnė.
Tikriausiai jau žinote, kaip lyginti tangentus, tiesa? Viskas, ką jums reikia žinoti, yra tai, kas yra tangentas. Taigi, kas yra liestinė?) Teisingai, sinuso ir kosinuso santykis.
Norėdami palyginti liestinės, taip pat nubrėžiame kampą, kaip ir ankstesniu atveju. Tarkime, kad reikia palyginti:
Ar piešėte? Dabar taip pat pažymime sinuso reikšmes koordinačių ašyje. Pastebėjote? O dabar koordinačių eilutėje nurodykite kosinuso reikšmes. Įvyko? Palyginkime:
Dabar analizuokite tai, ką parašėte. - didelį segmentą padaliname į mažą. Atsakymas bus vertė, kuri yra lygiai didesnė už vieną. Tiesa?
O kai padalijame mažą iš didžiojo. Atsakymas bus skaičius, kuris yra lygiai mažesnis už vieną.
Taigi kurios trigonometrinės išraiškos vertė yra didesnė?
Teisingai:
Kaip dabar suprantate, kotangentų palyginimas yra tas pats, tik atvirkščiai: mes žiūrime, kaip segmentai, apibrėžiantys kosinusą ir sinusą, yra susiję vienas su kitu.
Pabandykite patys palyginti šias trigonometrines išraiškas:
Pavyzdžiai.
Atsakymai.
SKAIČIŲ PALYGINIMAS. VIDUTINIS LYGIS.
Kuris iš skaičių didesnis: ar? Atsakymas akivaizdus. O dabar: ar? Ne taip jau akivaizdu, tiesa? Ir taip: ar?
Dažnai reikia žinoti, kuri iš skaitinių išraiškų yra didesnė. Pavyzdžiui, spręsdami nelygybę, ašies taškus sudėkite teisinga tvarka.
Dabar aš išmokysiu jus palyginti tokius skaičius.
Jei reikia palyginti skaičius ir įdėti ženklą tarp jų (kilęs iš lotyniško žodžio Versus arba sutrumpintas vs. - prieš):. Šis ženklas pakeičia nežinomą nelygybės ženklą (). Toliau atliksime identiškas transformacijas, kol paaiškės, kurį ženklą reikia dėti tarp skaičių.
Skaičių palyginimo esmė tokia: ženklą traktuojame taip, lyg tai būtų koks nors nelygybės ženklas. Ir su išraiška galime padaryti viską, ką paprastai darome su nelygybėmis:
- pridėti bet kokį skaičių prie abiejų dalių (ir atimti, žinoma, taip pat galime)
- „judinkite viską viena kryptimi“, tai yra, iš abiejų dalių atimkite vieną iš lyginamų posakių. Vietoje atimtos išraiškos liks: .
- padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus. Jei šis skaičius neigiamas, nelygybės ženklas apverčiamas: .
- Pakelkite abi puses į tą pačią galią. Jei ši galia yra lygi, turite įsitikinti, kad abi dalys turi tą patį ženklą; jei abi dalys yra teigiamos, ženklas nesikeičia, kai pakeliamas į laipsnį, o jei jos yra neigiamos, tai pasikeičia į priešingą.
- paimkite to paties laipsnio šaknį iš abiejų dalių. Jei išgausime lyginio laipsnio šaknį, pirmiausia turite įsitikinti, kad abi išraiškos yra neneigiamos.
- bet kokios kitos lygiavertės transformacijos.
Svarbu: transformacijas pageidautina atlikti taip, kad nelygybės ženklas nesikeistų! Tai yra, transformacijų metu nepageidautina dauginti iš neigiamo skaičiaus ir neįmanoma kvadratuoti, jei viena iš dalių yra neigiama.
Pažvelkime į keletą tipiškų situacijų.
1. Eksponentiškumas.
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Kadangi abi nelygybės pusės yra teigiamos, galime kvadratu atsikratyti šaknies:
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Čia taip pat galime kvadratuoti, bet tai tik padės atsikratyti kvadratinės šaknies. Čia reikia pakelti iki tokio laipsnio, kad išnyktų abi šaknys. Tai reiškia, kad šio laipsnio rodiklis turi dalytis ir iš (pirmosios šaknies laipsnio), ir iš. Šis skaičius yra, todėl padidiname jį iki laipsnio:
2. Daugyba iš konjugato.
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Kiekvieną skirtumą padauginkite ir padalinkite iš konjuguotos sumos:
Akivaizdu, kad vardiklis dešinėje yra didesnis nei vardiklis kairėje. Todėl dešinioji trupmena yra mažesnė nei kairioji:
3. Atimtis
Prisiminkime tai.
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Žinoma, galėtume viską sukonfigūruoti, pergrupuoti ir vėl kvadratuoti. Bet jūs galite padaryti ką nors protingesnio:
Galima pastebėti, kad kiekvienas terminas kairėje pusėje yra mažesnis nei kiekvienas terminas dešinėje.
Atitinkamai, visų kairėje pusėje esančių terminų suma yra mažesnė už visų dešinėje pusėje esančių terminų sumą.
Bet buk atsargus! Mūsų klausė daugiau...
Dešinė pusė didesnė.
Pavyzdys.
Palyginkite skaičius ir.
Sprendimas.
Prisiminkite trigonometrijos formules:
Patikrinkime, kuriuose ketvirčiuose yra taškai ir atsigulkime ant trigonometrinio apskritimo.
4. Padalinys.
Čia taip pat naudojame paprastą taisyklę: .
Su arba, tai yra.
Pasikeitus ženklui: .
Pavyzdys.
Palyginkite: .
Sprendimas.
5. Palyginkite skaičius su trečiuoju skaičiumi
Jei ir, tada (tranzityvumo dėsnis).
Pavyzdys.
Palyginti.
Sprendimas.
Palyginkime skaičius ne tarpusavyje, o su skaičiumi.
Tai akivaizdu.
Iš kitos pusės, .
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Abu skaičiai yra didesni, bet mažesni. Pasirinkite tokį skaičių, kad jis būtų didesnis už vieną, bet mažesnis už kitą. Pavyzdžiui, . Patikrinkime:
6. Ką daryti su logaritmais?
Nieko ypatingo. Kaip atsikratyti logaritmų, išsamiai aprašyta temoje. Pagrindinės taisyklės yra šios:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Rodyklė į kairę (\rm( ))\left[ (\begin(masyvas)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \pleištas (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \pleištas y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Taip pat galime pridėti taisyklę apie logaritmus su skirtingais pagrindais ir tuo pačiu argumentu:
Tai galima paaiškinti taip: kuo didesnis pagrindas, tuo mažiau jį reikės pakelti, norint gauti tokį patį. Jei bazė yra mažesnė, tada yra atvirkščiai, nes atitinkama funkcija monotoniškai mažėja.
Pavyzdys.
Palyginkite skaičius: i.
Sprendimas.
Pagal aukščiau pateiktas taisykles:
O dabar pažangi formulė.
Logaritmų palyginimo taisyklę taip pat galima parašyti trumpiau:
Pavyzdys.
Kas daugiau: ar?
Sprendimas.
Pavyzdys.
Palyginkite, kuris iš skaičių yra didesnis: .
Sprendimas.
SKAIČIŲ PALYGINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ
1. Eksponentiškumas
Jei abi nelygybės pusės yra teigiamos, jas galima padalyti kvadratu, kad būtų pašalinta šaknis
2. Daugyba iš konjugato
Konjugatas yra daugiklis, papildantis kvadratų skirtumo formulės išraišką: - konjugatas už ir atvirkščiai, nes .
3. Atimtis
4. Padalinys
Tuo arba yra
Pasikeitus ženklui:
5. Palyginimas su trečiuoju skaičiumi
Jei ir tada
6. Logaritmų palyginimas
Pagrindinės taisyklės:
Logaritmai su skirtingais pagrindais ir tuo pačiu argumentu.
Tema
Pamokos tipas
- naujos medžiagos tyrimas ir pirminis įsisavinimas
Pamokos tikslai
Pamokos planas
1. Įvadas.
2. Teorinė dalis
3. Praktinė dalis.
4. Namų darbai.
5. Klausimai
Įvadas
Pažiūrėkime vaizdo įrašą kaip rūšiuoti neigiamus skaičius
Dabar sutvarkykite neigiamus skaičius ir iššifruokite pamokos temą:
Atsakymas: žodis „palyginimas“.
Teorinė dalis
Skaičių palyginimas. taisykles
Lyginant du skaičius, pirmiausia reikia atkreipti dėmesį į lyginamų skaičių požymius. Skaičius su minusu (neigiamu) visada yra mažesnis nei teigiamas.
Jei abu lyginami skaičiai turi minuso ženklus (neigiamus), turime palyginti jų modulius, tai yra, palyginti juos neatsižvelgdami į minuso ženklus. Skaičius, kurio modulis yra didesnis, iš tikrųjų yra mažesnis.
Pavyzdžiui -3 ir -5. Lyginami skaičiai yra neigiami. Taigi palyginkime jų modulius 3 ir 5. 5 yra didesnis nei 3, taigi -5 yra mažesnis nei -3.
Jei vienas iš lyginamų skaičių yra nulis, tai neigiamas skaičius bus mažesnis už nulį.
(-3 < 0) O teigiamo yra daugiau.
(3 > 0)
Taip pat galite palyginti skaičius naudodami horizontalią koordinačių liniją. Skaičius kairėje yra mažesnis nei skaičius dešinėje.
Galioja ir priešinga taisyklė. Taškas su didesne koordinate koordinačių tiesėje yra dešinėje nei taškas su mažesne koordinate.
Pavyzdžiui, paveiksle taškas E yra į dešinę nuo taško A, o jo koordinatė yra didesnė. (5 > 1)
Sveikųjų skaičių palyginimas
Skaičių absoliučių verčių (modulių) palyginimas
Modulo nelygybės
Praktinė dalis
Skaičių palyginimas skaičių eilutėje
Užduotys
1. Paaiškinkite, kodėl:
-5 mažiau nei -1,
-2 virš -16,
-25 yra mažesnis nei 3,
Dar 0 - 9.
2. Palyginkite:
skaičiai rodomi koordinačių eilutėje: 0; bet; in; iš. Palyginti:
1) a > 0; 2) į< 0; 3) 0 >iš.
skaičiai rodomi koordinačių eilutėje: 0; bet; in; iš. Palyginkite juos:
1) a > b; 2) su< а; 3) в < с.
3. Kuri iš nelygybių yra teisinga?
Skaičiai a ir b yra neigiami; | a | > | į |.
a) a > b; b) a< в.
4. Palyginkite skaičių a ir b modulį.
Skaičiai a ir b yra neigiami; bet< в.
5. Kuri iš nelygybių yra teisinga?
a yra teigiamas skaičius
c yra neigiamas skaičius.
a) a > b; b) a< в?
6. Palyginkite:
Namų darbai
1. Palyginkite skaičius
2. Apskaičiuokite
3. Išdėstykite skaičius didėjančia tvarka
Klausimai
Ką rodo tiesės taško koordinatė?
Koks yra skaičiaus modulis geometriniu požiūriu?
Koks yra teigiamo skaičiaus modulis?
Koks yra neigiamo skaičiaus modulis?
Kas yra nulio modulis?
Ar bet kurio skaičiaus absoliuti reikšmė gali būti neigiama?
Koks yra priešingas skaičius 5?
Kuris skaičius yra priešingas pats sau?
Išvestis
Bet kuris neigiamas skaičius yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių.
Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis didesnis, yra mažesnis.
Nulis yra didesnis už bet kurį neigiamą skaičių, bet mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių.
Horizontalioje koordinačių linijoje taškas su didesne koordinate yra į dešinę nuo taško, kurio koordinatė yra mažesnė.
Naudotų šaltinių sąrašas
1. Matematinė enciklopedija (5 tomai). - M.: Tarybinė enciklopedija, 2002. - T. 1.
2. „Naujausias moksleivių vadovas“ „NAMAS XXI amžius“ 2008m
3. Pamokos tema "Skaičių palyginimas" santrauka Autorius: Petrova V.P., matematikos mokytoja (5-9 kl.), Kijevas
4. N.Ya.Vilenkinas, A.S. Česnokovas, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika 6 klasei, Vadovėlis vidurinei mokyklai
Darbas prie pamokos
Pautinka A.V.
Petrova V.P.
Sudarė ir redagavo A.V.Pautinka
Galite iškelti klausimą apie šiuolaikinį švietimą, išsakyti idėją ar išspręsti skubią problemą adresu Švietimo forumas kur tarptautiniu mastu susirenka šviežių minčių ir veiksmų švietimo taryba. Sukūrę
Yra tam tikros skaičių palyginimo taisyklės. Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.
Vakar termometras rodė 15˚C, o šiandien – 20˚C. Šiandien šilčiau nei vakar. Skaičius 15 yra mažesnis už skaičių 20, galime parašyti taip: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.
Dabar apsvarstykite neigiamą temperatūrą. Vakar buvo –12˚C, o šiandien –8˚C. Šiandien šilčiau nei vakar. Todėl apsvarstykite, kad skaičius -12 yra mažesnis nei skaičius -8. Horizontalioje koordinačių linijoje taškas, kurio vertė -12, yra taško, kurio reikšmė -8, kairėje. Galime parašyti taip: -12< -8.
Taigi, jei lyginame skaičius naudodami horizontalią koordinačių liniją, iš dviejų skaičių mažesnis yra tas, kurio vaizdas koordinačių linijoje yra kairėje, o didesnis - tas, kurio vaizdas yra dešinėje. Pavyzdžiui, paveiksle turime A > B ir C, bet B > C.
Koordinačių tiesėje teigiami skaičiai yra nulio dešinėje, o neigiami skaičiai yra kairėje nuo nulio, kiekvienas teigiamas skaičius yra didesnis už nulį ir kiekvienas neigiamas yra mažesnis už nulį, todėl kiekvienas neigiamas skaičius yra mažesnis už kiekvieną teigiamas skaičius.
Taigi, pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį lyginant skaičius, yra lyginamų skaičių ženklai. Skaičius su minusu (neigiamu) visada yra mažesnis nei teigiamas.
Jei lyginame du neigiamus skaičius, tai turime palyginti jų modulius: skaičius, kurio modulis mažesnis, bus didesnis, o skaičius, kurio modulis mažesnis, bus mažesnis. Pavyzdžiui, -7 ir -5. Palyginti skaičiai yra neigiami. Palyginkite jų modulius 5 ir 7. 7 yra didesnis nei 5, taigi -7 yra mažesnis nei -5. Jei koordinačių eilutėje pažymime du neigiamus skaičius, mažesnis skaičius bus kairėje, o didesnis - dešinėje. -7 yra kairėje nuo -5, taigi -7< -5.
Paprastųjų trupmenų palyginimas
Iš dviejų trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, ta, kurios skaitiklis yra mažesnis, yra mažesnė, o ta, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė.
Galite palyginti tik trupmenas su tuo pačiu vardikliu.
Paprastųjų trupmenų palyginimo algoritmas
1) Jei trupmena turi sveikąją dalį, palyginimą pradedame nuo jos. Didesnė dalis yra ta, kurios sveikasis skaičius yra didesnis. Jei trupmenos neturi sveikosios dalies arba jos yra lygios, pereikite prie kito žingsnio.
2) Jei trupmenas su skirtingais vardikliais reikia suvesti į bendrą vardiklį.
3) Palyginkite trupmenų skaitiklius. Didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis.
Atkreipkite dėmesį, kad trupmena su sveikojo skaičiaus dalimi visada bus didesnė nei trupmena be sveikosios dalies.
Dešimtainis palyginimas
Dešimtainės skaitmenys gali būti lyginami tik su tuo pačiu skaitmenų (skaitmenų) skaičiumi kablelio dešinėje.
Dešimtainio palyginimo algoritmas
1) Atkreipkite dėmesį į simbolių skaičių kablelio dešinėje. Jei skaitmenų skaičius yra vienodas, galime pradėti lyginti. Jei ne, į vieną iš dešimtainių trupmenų pridėkite reikiamą nulių skaičių.
2) Palyginkite dešimtainius skaičius iš kairės į dešinę: sveikieji skaičiai su sveikaisiais skaičiais, dešimtosios su dešimtosiomis dalimis, šimtosios su šimtosiomis dalimis ir kt.
3) Didesnė trupmena bus ta, kurios viena iš dalių yra didesnė už kitą trupmeną (lyginimą pradedame nuo sveikųjų skaičių: jei vienos trupmenos sveikoji dalis yra didesnė, tai ir visa trupmena yra didesnė).
Pavyzdžiui, palyginkime dešimtainius:
1) Pirmoje trupmenoje pridėkite reikiamą nulių skaičių, kad išlygintumėte skaičių po kablelio skaičių
57.300 ir 57.321
2) Pradedame lyginti iš kairės į dešinę:
sveikieji skaičiai su sveikaisiais skaičiais: 57 = 57;
dešimtinės su dešimtosiomis: 3 = 3;
šimtosios su šimtosios dalys: 0< 2.
Kadangi pirmosios dešimtainės trupmenos šimtosios dalys pasirodė mažesnės, visa trupmena bus mažesnė:
57,300 < 57,321
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Mes ir toliau tiriame racionalius skaičius. Šioje pamokoje išmoksime juos palyginti.
Iš ankstesnių pamokų sužinojome, kad kuo daugiau į dešinę yra skaičius koordinačių tiesėje, tuo jis didesnis. Ir atitinkamai, kuo daugiau į kairę skaičius yra koordinačių linijoje, tuo jis mažesnis.
Pavyzdžiui, jei palyginsite skaičius 4 ir 1, tuomet iškart galėsite atsakyti, kad 4 yra didesnis nei 1. Tai visiškai logiškas teiginys ir visi su tuo sutiks.
Įrodymas yra koordinačių linija. Tai rodo, kad keturi yra įrenginio dešinėje
Šiuo atveju yra taisyklė, kurią galite naudoti, jei norite. Tai atrodo taip:
Iš dviejų teigiamų skaičių skaičius, kurio modulis didesnis, yra didesnis.
Norint atsakyti į klausimą, kuris skaičius didesnis, o kuris mažesnis, pirmiausia reikia rasti šių skaičių modulius, palyginti šiuos modulius ir tada atsakyti į klausimą.
Pavyzdžiui, palyginkime tuos pačius skaičius 4 ir 1, taikydami aukščiau pateiktą taisyklę
Raskite skaičių modulius:
|4| = 4
|1| = 1
Palyginkite rastus modulius:
4 > 1
Atsakome į klausimą:
4 > 1
Neigiamiems skaičiams galioja kita taisyklė, ji atrodo taip:
Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis yra mažesnis, yra didesnis.
Pavyzdžiui, palyginkime skaičius −3 ir −1
Raskite skaičių modulius
|−3| = 3
|−1| = 1
Palyginkite rastus modulius:
3 > 1
Atsakome į klausimą:
−3 < −1
Nepainiokite skaičiaus modulio su pačiu skaičiumi. Dažna klaida, kurią daro daugelis naujokų. Pavyzdžiui, jei skaičiaus −3 modulis yra didesnis už skaičiaus −1 modulį, tai nereiškia, kad skaičius −3 yra didesnis už skaičių −1.
Skaičius -3 yra mažesnis už skaičių -1. Tai galima suprasti naudojant koordinačių liniją
Matyti, kad skaičius -3 yra daugiau kairėje nei -1. Ir žinome, kad kuo toliau į kairę, tuo mažiau.
Jei palyginsite neigiamą skaičių su teigiamu, atsakymas pasiūlys save. Bet kuris neigiamas skaičius bus mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių. Pavyzdžiui, −4 yra mažesnis nei 2
Matyti, kad -4 yra daugiau į kairę nei 2. Ir mes žinome, kad "kuo toliau į kairę, tuo mažiau".
Čia pirmiausia reikia pažvelgti į skaičių ženklus. Minusas prieš skaičių parodys, kad skaičius yra neigiamas. Jei skaičiaus ženklo nėra, tada skaičius yra teigiamas, tačiau aiškumo dėlei galite jį užsirašyti. Prisiminkite, kad tai yra pliuso ženklas
Kaip pavyzdį nagrinėjome sveikuosius skaičius formos -4, -3 -1, 2. Tokius skaičius nesunku palyginti, taip pat pavaizduoti koordinačių tiesėje.
Daug sunkiau palyginti kitų rūšių skaičius, pvz., trupmenas, mišrius skaičius ir dešimtainius skaičius, kai kurie iš jų yra neigiami. Čia iš esmės turėsite taikyti taisykles, nes ne visada įmanoma tiksliai tokius skaičius pavaizduoti koordinačių linijoje. Kai kuriais atvejais skaičius bus reikalingas, kad būtų lengviau palyginti ir suprasti.
1 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius
Taigi, reikia palyginti neigiamą skaičių su teigiamu. Bet kuris neigiamas skaičius yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių. Todėl negaišdami laiko atsakome, kad mažiau nei
2 pavyzdys
Norite palyginti du neigiamus skaičius. Iš dviejų neigiamų skaičių didesnis yra tas, kurio modulis yra mažesnis.
Raskite skaičių modulius:
Palyginkite rastus modulius:
3 pavyzdys Palyginkite skaičius 2.34 ir
Norite palyginti teigiamą skaičių su neigiamu. Bet kuris teigiamas skaičius yra didesnis už bet kurį neigiamą skaičių. Todėl negaišdami laiko atsakome, kad 2,34 yra didesnis nei
4 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius ir
Raskite skaičių modulius:
Palyginkite rastus modulius. Bet pirmiausia pateikime jiems suprantamą formą, kad būtų lengviau lyginti, ty išversime į netinkamas trupmenas ir sujungsime į bendrą vardiklį
Pagal taisyklę iš dviejų neigiamų skaičių didesnis yra skaičius, kurio modulis yra mažesnis. Taigi racionalus yra didesnis nei todėl, kad skaičiaus modulis yra mažesnis už skaičiaus modulį
5 pavyzdys
Jūs norite palyginti nulį su neigiamu skaičiumi. Nulis yra didesnis už bet kurį neigiamą skaičių, todėl negaišdami laiko atsakome, kad 0 yra didesnis nei
6 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius 0 ir
Nulį reikia palyginti su teigiamu skaičiumi. Nulis yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių, todėl negaišdami laiko atsakome, kad 0 yra mažesnis nei
7 pavyzdys. Palyginkite racionalius skaičius 4,53 ir 4,403
Būtina palyginti du teigiamus skaičius. Iš dviejų teigiamų skaičių skaičius, kurio modulis didesnis, yra didesnis.
Padarykime, kad skaitmenų skaičius po kablelio būtų vienodas abiejose trupmenose. Norėdami tai padaryti, 4,53 trupmenos pabaigoje pridėkite vieną nulį
Raskite skaičių modulius
Palyginkite rastus modulius:
Pagal taisyklę iš dviejų teigiamų skaičių didesnis skaičius yra tas, kurio modulis yra didesnis. Taigi racionalusis skaičius 4,53 yra didesnis nei 4,403, nes modulis 4,53 yra didesnis nei modulis 4,403
8 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius ir
Norite palyginti du neigiamus skaičius. Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis yra mažesnis, yra didesnis.
Raskite skaičių modulius:
Palyginkite rastus modulius. Bet pirmiausia suteikime jas į suprantamą formą, kad būtų lengviau palyginti, būtent sumaišytą skaičių išversime į netinkamą trupmeną, tada abi trupmenas sujungsime į bendrą vardiklį:
Pagal taisyklę iš dviejų neigiamų skaičių didesnis yra skaičius, kurio modulis yra mažesnis. Taigi racionalus yra didesnis nei todėl, kad skaičiaus modulis yra mažesnis už skaičiaus modulį
Palyginti po kablelio skaičių yra daug lengviau nei lyginti bendrąsias trupmenas ir mišrius skaičius. Kai kuriais atvejais, žvelgdami į sveikąją tokios trupmenos dalį, galite iš karto atsakyti į klausimą, kuri trupmena didesnė, o kuri mažesnė.
Norėdami tai padaryti, turite palyginti sveikųjų dalių modulius. Tai leis greitai atsakyti į problemos klausimą. Galų gale, kaip žinote, sveikųjų skaičių dalys dešimtainėse trupmenose turi didesnį svorį nei trupmenos.
9 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius 15,4 ir 2,1256
15,4 trupmenos sveikosios dalies modulis yra didesnis nei 2,1256 trupmenos sveikosios dalies modulis
taigi trupmena 15,4 yra didesnė už trupmeną 2,1256
15,4 > 2,1256
Kitaip tariant, mums nereikėjo gaišti laiko pridedant nulius prie trupmenos 15,4 ir lyginant gautas trupmenas kaip įprastus skaičius.
154000 > 21256
Palyginimo taisyklės išlieka tos pačios. Mūsų atveju palyginome teigiamus skaičius.
10 pavyzdys Palyginkite racionalius skaičius −15,2 ir −0,152
Norite palyginti du neigiamus skaičius. Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis yra mažesnis, yra didesnis. Bet lyginsime tik sveikųjų dalių modulius
Matome, kad sveikosios trupmenos dalies modulis −15,2 yra didesnis nei sveikosios trupmenos dalies modulis −0,152.
Taigi racionalusis –0,152 yra didesnis nei –15,2, nes sveikosios dalies –0,152 modulis yra mažesnis nei –15,2 sveikosios dalies modulis
−0,152 > −15,2
11 pavyzdys. Palyginkite racionalius skaičius −3,4 ir −3,7
Norite palyginti du neigiamus skaičius. Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kurio modulis yra mažesnis, yra didesnis. Bet lyginsime tik ištisų dalių modulius. Tačiau problema ta, kad sveikųjų skaičių moduliai yra lygūs:
Tokiu atveju turėsite naudoti seną metodą: rasti racionaliųjų skaičių modulius ir palyginti šiuos modulius
Palyginkite rastus modulius:
Pagal taisyklę iš dviejų neigiamų skaičių didesnis yra skaičius, kurio modulis yra mažesnis. Taigi racionalusis –3,4 yra didesnis nei –3,7, nes modulis –3,4 yra mažesnis už –3,7 modulį
−3,4 > −3,7
12 pavyzdys. Palyginkite racionalius skaičius 0,(3) ir
Būtina palyginti du teigiamus skaičius. Ir palyginkite periodinę trupmeną su paprasta trupmena.
Periodinę trupmeną 0, (3) išverskime į paprastąją trupmeną ir palyginkime ją su trupmena . Periodinę trupmeną 0, (3) pavertus paprastąja trupmena, ji virsta trupmena
Raskite skaičių modulius:
Palyginkite rastus modulius. Bet pirmiausia suteikime juos į suprantamą formą, kad būtų lengviau palyginti, būtent sujungsime juos į bendrą vardiklį: 
Pagal taisyklę iš dviejų teigiamų skaičių didesnis skaičius yra tas, kurio modulis yra didesnis. Taigi racionalusis skaičius yra didesnis nei 0, (3), nes skaičiaus modulis yra didesnis nei skaičiaus modulis 0, (3)
Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos Vkontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
