m e n c'è un numero intero K e nk= m, quindi il numero m diviso per n

L'uso delle abilità di divisibilità semplifica i calcoli e aumenta proporzionalmente la velocità della loro esecuzione. Analizziamo nel dettaglio la caratteristica principale caratteristiche di divisibilità.

Il criterio più semplice di divisibilità per unità: tutti i numeri sono divisibili per uno. È altrettanto elementare e con segni di divisibilità per Due, cinque, dieci. Un numero pari può essere diviso per due, o uno con una cifra finale di 0, per cinque - un numero con una cifra finale di 5 o 0. Solo quei numeri con una cifra finale di 0 saranno divisi per dieci, per 100 - solo quei numeri le cui due cifre finali sono zeri, accesi 1000 - solo quelli con tre zeri finali.

Per esempio:

Il numero 79516 può essere diviso per 2, poiché termina con 6, un numero pari; 9651 non è divisibile per 2, poiché 1 è una cifra dispari; 1790 è divisibile per 2 perché la cifra finale è zero. 3470 sarà diviso per 5 (la cifra finale è 0); 1054 non è divisibile per 5 (finale 4). 7800 sarà diviso per 10 e 100; 542000 è divisibile per 10, 100, 1000.

Caratteristica meno conosciuta, ma molto facile da usare caratteristiche di divisibilità sul 3 e 9 , 4 , 6 e 8, 25 . Ci sono anche caratteristiche di divisibilità per 7, 11, 13, 17, 19 e così via, ma in pratica sono usati molto meno frequentemente.

Una caratteristica della divisione per 3 e per 9.

Sul tre e/o su nove senza resto, verranno divisi quei numeri per i quali il risultato della somma delle cifre è un multiplo di tre e/o nove.

Per esempio:

Il numero 156321, risultato dell'addizione 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 sarà diviso per 3 e diviso per 9, rispettivamente, il numero stesso può essere diviso per 3 e 9. Il numero 79123 non sarà diviso per 3 o 9, in modo che la somma delle sue cifre (22) non sia divisibile per questi numeri.

Una caratteristica della divisione per 4, 8, 16 e così via.

Un numero può essere diviso senza resto per quattro, se le sue ultime due cifre sono zeri o sono un numero che può essere diviso per 4. In tutti gli altri casi, la divisione senza resto non è possibile.

Per esempio:

Il numero 75300 è divisibile per 4, poiché le ultime due cifre sono zeri; 48834 non è divisibile per 4 perché le ultime due cifre danno 34, che non è divisibile per 4; 35908 è divisibile per 4, poiché le ultime due cifre di 08 danno il numero 8 divisibile per 4.

Un principio simile è applicabile al criterio di divisibilità per otto. Un numero è divisibile per otto se le sue ultime tre cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 8. In caso contrario, il quoziente ottenuto dalla divisione non sarà un intero.

Stesse proprietà per la divisione per 16, 32, 64 ecc., ma non vengono utilizzati nei calcoli quotidiani.

Una caratteristica della divisibilità per 6.

Il numero è divisibile per sei, se è divisibile sia per due che per tre, con tutte le altre opzioni, la divisione senza resto è impossibile.

Per esempio:

126 è divisibile per 6, poiché è divisibile sia per 2 (il numero pari finale è 6) sia per 3 (la somma delle cifre 1 + 2 + 6 = 9 è divisibile per tre)

Una caratteristica della divisibilità per 7.

Il numero è divisibile per Sette se la differenza del suo doppio ultimo numero e "il numero rimasto senza l'ultima cifra" è divisibile per sette, allora il numero stesso è divisibile per sette.

Per esempio:

Il numero è 296492. Prendiamo l'ultima cifra "2", raddoppiala, esce 4. Sottrai 29649 - 4 = 29645. È problematico scoprire se è divisibile per 7, quindi analizzato nuovamente. Successivamente, raddoppiamo l'ultima cifra "5", risulta 10. Sottraiamo 2964 - 10 = 2954. Il risultato è lo stesso, non è chiaro se sia divisibile per 7, quindi continuiamo l'analisi. Analizziamo con l'ultima cifra "4", doppia, risulta 8. Sottrai 295 - 8 = 287. Confrontiamo duecentottantasette - non è divisibile per 7, in relazione a ciò continuiamo la ricerca. Per analogia, l'ultima cifra "7", raddoppiata, esce 14. Sottrai 28 - 14 \u003d 14. Il numero 14 è divisibile per 7, quindi il numero originale è divisibile per 7.

Una caratteristica della divisibilità per 11.

Sul undici sono divisibili solo quei numeri per i quali il risultato della somma delle cifre poste in posti dispari o è uguale alla somma delle cifre poste in posti pari, oppure è diverso per un numero divisibile per undici.

Per esempio:

Il numero 103.785 è divisibile per 11, poiché la somma delle cifre in posizione dispari, 1 + 3 + 8 = 12, è uguale alla somma delle cifre in posizione pari, 0 + 7 + 5 = 12. Il numero 9.163.627 è divisibile per 11, poiché la somma delle cifre in posizione dispari è 9 + 6 + 6 + 7 = 28 e la somma delle cifre in posizione pari è 1 + 3 + 2 = 6; la differenza tra i numeri 28 e 6 è 22, e questo numero è divisibile per 11. Il numero 461.025 non è divisibile per 11, poiché i numeri 4 + 1 + 2 = 7 e 6 + 0 + 5 = 11 non sono uguali a tra loro e la loro differenza 11 - 7 = 4 non è divisibile per 11.

Una caratteristica della divisibilità per 25.

Sul venticinque dividerà i numeri le cui due cifre finali sono zeri o formerà un numero che può essere diviso per venticinque (cioè i numeri che terminano con 00, 25, 50 o 75). Negli altri casi, il numero non può essere diviso interamente per 25.

Per esempio:

9450 è divisibile per 25 (finisce con 50); 5085 non è divisibile per 25.

Segni di divisibilità dei numeri su 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 e altri numeri è utile sapere per risolvere velocemente problemi sulla notazione digitale di un numero. Invece di dividere un numero per un altro, è sufficiente controllare una serie di segni, in base ai quali è possibile determinare in modo univoco se un numero è divisibile per un altro completamente (se è un multiplo) o meno.

I principali segni di divisibilità

Portiamo principali segni di divisibilità dei numeri:

• Segno di divisibilità di un numero per "2" Il numero è equamente divisibile per 2 se il numero è pari (l'ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8)
  Esempio: il numero 1256 è un multiplo di 2 perché termina con 6. E il numero 49603 non è nemmeno divisibile per 2 perché termina con 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "3" Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
  Esempio: il numero 4761 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 18 ed è divisibile per 3. E il numero 143 non è un multiplo di 3 perché la somma delle sue cifre è 8 e non è divisibile per 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "4" Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre del numero sono zero o se il numero composto dalle ultime due cifre è divisibile per 4
  Esempio: il numero 2344 è un multiplo di 4 perché 44 / 4 = 11. E il numero 3951 non è divisibile per 4 perché 51 non è divisibile per 4.
• Segno di divisibilità di un numero per "5" Un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra del numero è 0 o 5
  Esempio: il numero 5830 è divisibile per 5 perché termina con 0. Ma il numero 4921 non è divisibile per 5 perché termina con 1.
• Segno di divisibilità di un numero per "6" Un numero è divisibile per 6 se è divisibile per 2 e 3
  Esempio: Il numero 3504 è multiplo di 6 perché termina con 4 (segno di divisibilità per 2) e la somma delle cifre del numero è 12 ed è divisibile per 3 (segno di divisibilità per 3). E il numero 5432 non è completamente divisibile per 6, sebbene il numero finisca per 2 (si osserva il segno di divisibilità per 2), tuttavia la somma delle cifre è 14 e non è completamente divisibile per 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "8" Un numero è divisibile per 8 se le ultime tre cifre del numero sono zero o se il numero composto dalle ultime tre cifre del numero è divisibile per 8
  Esempio: il numero 93112 è divisibile per 8 perché 112 / 8 = 14. E il numero 9212 non è un multiplo di 8 perché 212 non è divisibile per 8.
• Segno di divisibilità di un numero per "9" Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9
  Esempio: Il numero 2916 è multiplo di 9 perché la somma delle cifre è 18 ed è divisibile per 9. E il numero 831 non è nemmeno divisibile per 9 perché la somma delle cifre del numero è 12 e non è divisibile per 9.
• Segno di divisibilità di un numero per "10" Un numero è divisibile per 10 se termina con 0
  Esempio: il numero 39590 è divisibile per 10 perché termina con 0. E il numero 5964 non è divisibile per 10 perché non termina con 0.
• Segno di divisibilità di un numero per "11" Un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre dei posti dispari è uguale alla somma delle cifre dei posti pari o le somme devono differire per 11
  Esempio: il numero 3762 è divisibile per 11 perché 3 + 6 = 7 + 2 = 9. E il numero 2374 non è divisibile per 11 perché 2 + 7 = 9 e 3 + 4 = 7.
• Segno di divisibilità di un numero per "25" Un numero è divisibile per 25 se termina con 00, 25, 50 o 75
  Esempio: il numero 4950 è un multiplo di 25 perché termina con 50. E 4935 non è divisibile per 25 perché termina con 35.

Criteri di divisibilità per un numero composto

Per scoprire se un dato numero è divisibile per un numero composto, devi scomporre questo numero composto in fattori relativamente primi, di cui sono noti i criteri di divisibilità. I numeri del coprima sono numeri che non hanno divisori comuni diversi da 1. Ad esempio, un numero è divisibile per 15 se è divisibile per 3 e 5.

Consideriamo un altro esempio di divisore composto: un numero è divisibile per 18 se è divisibile per 2 e 9. In questo caso, non puoi scomporre 18 in 3 e 6, poiché non sono coprimi, poiché hanno un divisore comune di 3 Lo verificheremo con l'esempio.

Il numero 456 è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 15, e divisibile per 6, poiché è divisibile sia per 3 che per 2. Ma se dividi manualmente 456 per 18, ottieni il resto. Se, per il numero 456, controlliamo i segni di divisibilità per 2 e 9, è subito chiaro che è divisibile per 2, ma non divisibile per 9, poiché la somma delle cifre del numero è 15 e non è divisibile per 9.

Continua una serie di articoli sui segni di divisibilità segno di divisibilità per 3. Questo articolo fornisce innanzitutto la formulazione del criterio di divisibilità per 3 e fornisce esempi dell'applicazione di questo criterio per scoprire quali degli interi dati sono divisibili per 3 e quali no. Viene inoltre data la prova del test di divisibilità per 3. Vengono anche considerati approcci per stabilire la divisibilità per 3 di numeri dati come valore di qualche espressione.

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Segno di divisibilità per 3, esempi

Iniziamo con formulazioni del test di divisibilità per 3: un intero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, se la somma delle sue cifre non è divisibile per 3, allora il numero stesso non è divisibile per 3.

Dalla suddetta formulazione risulta chiaro che il segno di divisibilità per 3 non può essere utilizzato senza la capacità di eseguire addizioni di numeri naturali. Inoltre, per applicare con successo il segno di divisibilità per 3, è necessario sapere che di tutti i numeri naturali a una cifra, i numeri 3, 6 e 9 sono divisibili per 3 e i numeri 1, 2, 4, 5, 7 e 8 non sono divisibili per 3.

Ora possiamo considerare il più semplice esempi di applicazione del test di divisibilità per 3. Scopriamo se il numero è divisibile per 3?42. Per fare questo calcoliamo la somma delle cifre del numero ?42, è uguale a 4+2=6. Poiché 6 è divisibile per 3, allora, in virtù del segno di divisibilità per 3, si può sostenere che anche il numero?42 è divisibile per 3. Ma l'intero positivo 71 non è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 7+1=8 e 8 non è divisibile per 3.

0 è divisibile per 3? Per rispondere a questa domanda non è necessario il criterio di divisibilità per 3, qui occorre ricordare la corrispondente proprietà di divisibilità, che afferma che zero è divisibile per qualsiasi intero. Quindi 0 è divisibile per 3.

In alcuni casi, per dimostrare che un dato numero ha o non ha la capacità di essere divisibile per 3, il test di divisibilità per 3 deve essere applicato più volte di seguito. Facciamo un esempio.

Mostra che il numero 907444812 è divisibile per 3.

La somma delle cifre di 907444812 è 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Per scoprire se 39 è divisibile per 3, calcoliamo la sua somma di cifre: 3+9=12 . E per scoprire se 12 è divisibile per 3, troviamo la somma delle cifre del numero 12, abbiamo 1+2=3. Poiché abbiamo ottenuto il numero 3, che è divisibile per 3, quindi, a causa del segno di divisibilità per 3, il numero 12 è divisibile per 3. Pertanto, 39 è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 12 e 12 è divisibile per 3. Infine, 907333812 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 39 e 39 è divisibile per 3.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione di un altro esempio.

Il numero è divisibile per 3?543 ​​205?

Calcoliamo la somma delle cifre di questo numero: 5+4+3+2+0+5=19 . A sua volta, la somma delle cifre del numero 19 è 1+9=10 e la somma delle cifre del numero 10 è 1+0=1 . Avendo ottenuto il numero 1, che non è divisibile per 3, dal criterio di divisibilità per 3 consegue che 10 non è divisibile per 3. Pertanto, 19 non è divisibile per 3, perché la somma delle sue cifre è 10 e 10 non è divisibile per 3. Pertanto, il numero originario?543205 non è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre, pari a 19, non è divisibile per 3.

Vale la pena notare che la divisione diretta di un dato numero per 3 permette anche di concludere se il numero dato è divisibile per 3 oppure no. Con ciò vogliamo dire che non va trascurata la divisione a favore del segno di divisibilità per 3. Nell'ultimo esempio, dividendo 543 205 per 3 per una colonna, ci assicureremmo che 543 205 non sia divisibile per 3, da cui potremmo dire che ?543 205 non è nemmeno divisibile per 3.

Prova del test di divisibilità per 3

La seguente rappresentazione del numero a ci aiuterà a dimostrare il segno di divisibilità per 3. Possiamo scomporre qualsiasi numero naturale a in cifre, dopodiché la regola della moltiplicazione per 10, 100, 1000 e così via ci permette di ottenere una rappresentazione della forma a=an 10 n +an?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , dove an , an?1 , …, a 0 sono le cifre da sinistra a destra nel numero a . Per chiarezza, diamo un esempio di tale rappresentazione: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Ora scriviamo un numero di uguaglianze abbastanza ovvie: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 e così via.

Sostituendo nell'equazione a=an 10 n +an?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 invece di 10 , 100 , 1 000 e così via 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 e così via, otteniamo
.

Le proprietà dell'addizione dei numeri naturali e le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali consentono di riscrivere l'uguaglianza risultante come segue:

Espressione è la somma delle cifre di a. Indichiamolo per brevità e comodità con la lettera A, cioè accettiamo . Quindi otteniamo una rappresentazione del numero a della forma, che useremo per provare il test di divisibilità per 3.

Inoltre, per dimostrare il test di divisibilità per 3, abbiamo bisogno delle seguenti proprietà di divisibilità:

• affinché un intero a sia divisibile per un intero b è necessario e sufficiente che il modulo di a sia divisibile per il modulo di b;
• se nell'uguaglianza a=s+t tutti i termini, eccetto qualcuno, sono divisibili per un intero b, allora anche questo termine è divisibile per b.

Ora siamo completamente preparati e possiamo portare a termine prova di divisibilità per 3, per comodità, formuliamo questa caratteristica come condizione necessaria e sufficiente per la divisibilità per 3 .

Perché un intero a sia divisibile per 3, è necessario e sufficiente che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3.

Per a=0 il teorema è ovvio.

Se a è diverso da zero, allora il modulo di a è un numero naturale, allora è possibile una rappresentazione, dove è la somma delle cifre di a.

Poiché la somma e il prodotto degli interi è un intero, allora è un intero, quindi per la definizione di divisibilità, il prodotto è divisibile per 3 per ogni a 0 , a 1 , …, a n .

Se la somma delle cifre del numero a è divisibile per 3, cioè A è divisibile per 3, allora, per la proprietà di divisibilità indicata prima del teorema, è divisibile per 3, quindi a è divisibile per 3. Questo dimostra la sufficienza.

Se a è divisibile per 3, allora è anche divisibile per 3, quindi per la stessa proprietà di divisibilità il numero A è divisibile per 3, cioè la somma delle cifre del numero a è divisibile per 3. Questo dimostra la necessità.

Altri casi di divisibilità per 3

A volte gli interi vengono specificati non in modo esplicito, ma come valore di qualche espressione con una variabile per un dato valore della variabile. Ad esempio, il valore di un'espressione per alcuni n naturali è un numero naturale. È chiaro che con una tale specificazione dei numeri, la divisione diretta per 3 non aiuterà a stabilirne la divisibilità per 3, e il segno di divisibilità per 3 non sarà sempre applicabile. Considereremo ora diversi approcci per risolvere tali problemi.

L'essenza di questi approcci è rappresentare l'espressione originale come un prodotto di più fattori, e se almeno uno dei fattori è divisibile per 3, allora, a causa della corrispondente proprietà di divisibilità, sarà possibile concludere che l'intero il prodotto è divisibile per 3.

A volte questo approccio può essere implementato utilizzando il binomio di Newton. Consideriamo una soluzione di esempio.

Il valore dell'espressione è divisibile per 3 per ogni n naturale?

L'uguaglianza è evidente. Usiamo la formula binomiale di Newton:

Nell'ultima espressione, possiamo togliere 3 da parentesi e otteniamo. Il prodotto risultante è divisibile per 3, poiché contiene un fattore 3, e il valore dell'espressione tra parentesi per n naturale è un numero naturale. Pertanto, è divisibile per 3 per ogni n naturale.

In molti casi, la divisibilità per 3 può essere dimostrata con il metodo dell'induzione matematica. Analizziamo la sua applicazione nella risoluzione di un esempio.

Dimostra che per ogni n naturale il valore dell'espressione è divisibile per 3 .

Per la dimostrazione utilizziamo il metodo dell'induzione matematica.

Per n=1, il valore dell'espressione è , e 6 è divisibile per 3 .

Supponiamo che il valore dell'espressione sia divisibile per 3 quando n=k , cioè divisibile per 3 .

Tenendo conto che è divisibile per 3 , mostreremo che il valore dell'espressione per n=k+1 è divisibile per 3 , cioè mostreremo che è divisibile per 3.

Facciamo alcune trasformazioni:

L'espressione è divisa per 3 e l'espressione è divisibile per 3, quindi la loro somma è divisibile per 3.

Quindi il metodo dell'induzione matematica ha dimostrato la divisibilità per 3 per ogni n naturale.

Mostriamo un altro approccio alla dimostrazione della divisibilità per 3 . Se mostriamo che per n=3 m , n=3 m+1 e n=3 m+2 , dove m è un intero arbitrario, il valore di qualche espressione (con variabile n) è divisibile per 3 , allora questo si dimostrerà divisibilità dell'espressione per 3 per qualsiasi intero n . Considera questo approccio quando risolvi l'esempio precedente.

Mostra cosa è divisibile per 3 per ogni n naturale.

Per n=3 m abbiamo. Il prodotto risultante è divisibile per 3 perché contiene un fattore 3 divisibile per 3 .

Il prodotto risultante è anche divisibile per 3.

E questo prodotto è divisibile per 3.

Pertanto, è divisibile per 3 per ogni n naturale.

In conclusione, presentiamo la soluzione di un altro esempio.

È il valore dell'espressione divisibile per 3 per alcuni naturali n .

Per n=1 abbiamo. La somma delle cifre del numero risultante è 3, quindi il segno di divisibilità per 3 ci permette di affermare che questo numero è divisibile per 3.

Per n=2 abbiamo. La somma delle cifre e di questo numero è 3, quindi è divisibile per 3.

È chiaro che per ogni altro n naturale avremo numeri la cui somma delle cifre è 3, quindi questi numeri sono divisibili per 3.

In questo modo, poiché ogni n naturale è divisibile per 3.

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Matematica, grado 6, libro di testo per studenti di organizzazioni educative, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

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Il materiale teorico nel libro di testo è presentato in modo tale che l'insegnante possa applicare un approccio all'insegnamento basato sui problemi. Con l'aiuto del sistema di notazione si distinguono esercizi di quattro livelli di complessità. In ogni paragrafo, i compiti di controllo sono formulati in base a ciò che gli studenti devono sapere ed essere in grado di raggiungere per raggiungere il livello dello standard di insegnamento della matematica. Ci sono test a casa e risposte alla fine del libro di testo. Le illustrazioni a colori (disegni e diagrammi) forniscono un elevato livello di chiarezza del materiale didattico.
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Compiti.

4. Disegna un triangolo ABC e segna un punto O al di fuori di esso (come in Figura 11). Costruisci una figura simmetrica al triangolo ABC rispetto al punto O.

5. Disegna il triangolo KMN e costruisci una figura simmetrica a questo triangolo rispetto a:
a) i suoi vertici - punti M;
b) punti O - i punti medi del lato MN.

6. Costruisci una figura simmetrica:
a) raggio OM relativo al punto O; annotare quale punto è simmetrico al punto O;
b) il raggio OM rispetto ad un punto arbitrario A che non appartiene a tale raggio;
c) retta AB rispetto al punto O, non appartenente a tale retta;
d) linea AB rispetto al punto O appartenente a tale linea; annotare quale punto è simmetrico al punto O.
In ogni caso, descrivi la posizione relativa delle figure simmetriche centrali.

Sommario
Capitolo I. Numeri positivi e negativi. Coordinate
§ 1. Rotazione e simmetria centrale
§ 2. Numeri positivi e negativi. Linea di coordinate
§ 3. Modulo numerico. Numeri opposti
§ 4. Confronto dei numeri
§ 5. Parallelismo di linee
§ 6. Espressioni numeriche contenenti i segni "+", "-"
§ 7. Somma algebrica e sue proprietà
§ 8. La regola per calcolare il valore della somma algebrica di due numeri
§ 9. Distanza tra i punti della linea delle coordinate
§ 10. Simmetria assiale
§ 11. Lacune numeriche
§ 12. Moltiplicazione e divisione dei numeri positivi e negativi
§ 13. Coordinate
§ 14. Piano delle coordinate
§ 15. Moltiplicazione e divisione delle frazioni ordinarie
§ 16. Regola di moltiplicazione per problemi combinatori
Capitolo II. Conversione di espressioni letterali
§ 17. Espansione della staffa
§ 18. Semplificazione delle espressioni
§ 19. Soluzione di equazioni
§ 20. Risoluzione di problemi per la compilazione di equazioni
§ 21. Due problemi principali sulle frazioni
§ 22. Cerchio. Circonferenza
§ 23. Cerchio. Area di un cerchio
§ 24. Palla. Sfera
Capitolo III. Divisibilità dei numeri naturali
§ 25. Divisori e multipli
§ 26. Divisibilità di un'opera
§ 27. Divisibilità della somma e differenza dei numeri
§ 28. Segni di divisibilità per 2, 5, 10, 4 e 25
§ 29. Segni di divisibilità per 3 e 9
§ 30. Numeri primi. Scomporre un numero in fattori primi
§ 31. Massimo comun divisore
§ 32. Numeri di coprimi. Un segno di divisibilità per un prodotto. Minimo comune multiplo
Capitolo IV. La matematica intorno a noi
§ 33. Il rapporto di due numeri
§ 34. Schemi
§ 35. Proporzionalità delle quantità
§ 36. Risolvere i problemi usando le proporzioni
§ 37. Compiti vari
§ 38. Prima conoscenza del concetto di "probabilità"
§ 39. Prima conoscenza del calcolo delle probabilità
Prove a casa
Argomenti per le attività del progetto
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Aggiunta di numeri.

• a+b=c, dove a e b sono termini, c è la somma.
• Per trovare il termine sconosciuto, sottrarre il termine noto dalla somma.

Sottrazione di numeri.

• a-b=c, dove a è il minuendo, b è il sottraendo, c è la differenza.
• Per trovare il minuendo sconosciuto, devi aggiungere il sottraendo alla differenza.
• Per trovare il sottraendo sconosciuto, devi sottrarre la differenza dal minuendo.

Moltiplicazione dei numeri.

• b=c, dove a e b sono fattori, c è il prodotto.
• Per trovare l'incognita, devi dividere il prodotto per il fattore noto.

Divisione dei numeri.

• a:b=c, dove a è il dividendo, b è il divisore, c è il quoziente.
• Per trovare il dividendo sconosciuto, devi moltiplicare il divisore per il quoziente.
• Per trovare un divisore sconosciuto, devi dividere il dividendo per il quoziente.

Le leggi dell'addizione

• a+b=b+a(spostamento: la somma non cambia dal riordinamento dei termini).
• (a+b)+c=a+(b+c)(associativa: per sommare un terzo numero alla somma di due termini, puoi sommare al primo numero la somma del secondo e del terzo).

Tabella delle aggiunte.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Leggi della moltiplicazione.

• a b=b a(spostamento: la permutazione dei fattori non cambia il prodotto).
• (a b) c=a (b c)(combinativo: per moltiplicare il prodotto di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare il primo numero per il prodotto del secondo e del terzo).
• (a+b) c=a c+b c(legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare ogni termine per questo numero e sommare i risultati).
• (a-b) c=a c-b c(legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: per moltiplicare la differenza di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare per questo numero ridotto e sottratto separatamente e sottrarre il secondo dal primo risultato).

Tabellina.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Divisori e multipli.

• divisore numero naturale ma nominare il numero naturale con cui ma diviso senza resto. (I numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sono divisori del numero 24, poiché 24 è divisibile per ciascuno di essi senza resto) 1-divisore di qualsiasi numero naturale. Il massimo divisore di qualsiasi numero è il numero stesso.
• Multiplo numero naturale Bè un numero naturale divisibile senza resto per B. (I numeri 24, 48, 72, ... sono multipli del numero 24, poiché sono divisibili per 24 senza resto). Il multiplo più piccolo di qualsiasi numero è il numero stesso.

Segni di divisibilità dei numeri naturali.

• I numeri usati quando si contano gli oggetti (1, 2, 3, 4, ...) sono chiamati numeri naturali. L'insieme dei numeri naturali è indicato dalla lettera n.
• Numeri 0, 2, 4, 6, 8 chiamata Anche numeri. I numeri che terminano con cifre pari sono chiamati numeri pari.
• Numeri 1, 3, 5, 7, 9 chiamata strano numeri. I numeri che terminano con cifre dispari sono chiamati numeri dispari.
• Segno di divisibilità per il numero 2. Tutti i numeri naturali che terminano con una cifra pari sono divisibili per 2.
• Segno di divisibilità per il numero 5. Tutti i numeri naturali che terminano con 0 o 5 sono divisibili per 5.
• Segno di divisibilità per il numero 10. Tutti i numeri naturali che finiscono con 0 sono divisibili per 10.
• Segno di divisibilità per il numero 3. Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, il numero stesso è divisibile per 3.
• Segno di divisibilità per il numero 9. Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, il numero stesso è divisibile per 9.
• Segno di divisibilità per il numero 4. Se il numero composto dalle ultime due cifre di un dato numero è divisibile per 4, il numero stesso è divisibile per 4.
• Segno di divisibilità per il numero 11. Se la differenza tra la somma delle cifre nei posti dispari e la somma delle cifre nei posti pari è divisibile per 11, allora il numero stesso è divisibile per 11.

• Un numero primo è un numero che ha solo due divisori: uno e il numero stesso.
• Un numero composto è un numero che ha più di due divisori.
• Il numero 1 non è né un numero primo né composto.
• Scrivere un numero composto come prodotto di soli numeri primi è chiamato scomporre un numero composto in fattori primi. Qualsiasi numero composto può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di fattori primi.

• Il massimo comune divisore di determinati numeri naturali è il più grande numero naturale per il quale ciascuno di questi numeri è divisibile.
• Il massimo comun divisore di questi numeri è uguale al prodotto dei fattori primi comuni nelle espansioni di questi numeri. Esempio. MCD(24, 42)=2 3=6, poiché 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, i loro fattori primi comuni sono 2 e 3.
• Se i numeri naturali hanno un solo divisore comune, uno, questi numeri sono chiamati coprimi.

• Il minimo comune multiplo di dati numeri naturali è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di ciascuno dei numeri dati. Esempio. LCM(24, 42)=168. Questo è il numero più piccolo divisibile sia per 24 che per 42.
• Per trovare la LCM di più numeri naturali dati, è necessario: 1) scomporre ciascuno dei numeri dati in fattori primi; 2) scrivi l'espansione del più grande dei numeri e moltiplicala per i fattori mancanti dalle espansioni di altri numeri.
• Il più piccolo multiplo di due numeri coprimi è uguale al prodotto di questi numeri.

B- denominatore di una frazione, mostra quante parti uguali sono divise;

un-il numeratore della frazione, mostra quante parti sono state prese. La barra frazionaria indica il segno di divisione.

A volte, invece di una linea frazionaria orizzontale, mettono una barra e una frazione ordinaria viene scritta in questo modo: a/b.

• In frazione corretta il numeratore è minore del denominatore.
• In frazione impropria il numeratore è maggiore del denominatore o uguale al denominatore.

Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, si otterrà una frazione uguale ad esso.

Dividendo sia il numeratore che il denominatore di una frazione per il loro comune divisore diverso da uno si chiama riduzione di frazione.

• Un numero composto da una parte intera e una parte frazionaria si dice numero misto.
• Per rappresentare una frazione impropria come un numero misto, è necessario dividere il numeratore della frazione per il denominatore, quindi il quoziente incompleto sarà la parte intera del numero misto, il resto sarà il numeratore della parte frazionaria , e il denominatore rimarrà lo stesso.
• Per rappresentare un numero misto come frazione impropria, devi moltiplicare la parte intera del numero misto per il denominatore, aggiungere il numeratore della parte frazionaria al risultato e scriverlo nel numeratore della frazione impropria e lasciare il denominatore lo stesso.

• Ray Oh con origine al punto DI, in cui taglio unico a e direzione, chiamata raggio di coordinate.
• Viene chiamato il numero corrispondente al punto del raggio di coordinate coordinata questo punto. Per esempio , A(3). Leggi: punto A con coordinata 3.

• Il minimo comune denominatore ( NOZ) di queste frazioni irriducibili è il minimo comune multiplo ( NOC) denominatori di queste frazioni.
• Per portare le frazioni al minimo comune denominatore, devi: 1) trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di queste frazioni, sarà il minimo comune denominatore. 2) troviamo un fattore aggiuntivo per ciascuna delle frazioni, per cui dividiamo il nuovo denominatore per il denominatore di ciascuna frazione. 3) moltiplicare il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per il suo fattore addizionale.

• Di due frazioni con lo stesso denominatore, quella con il numeratore più grande è la più grande e quella con il numeratore più piccolo è la più piccola.
• Di due frazioni con lo stesso numeratore, quella con il denominatore minore è la maggiore e quella con il denominatore maggiore è la minore.
• Per confrontare frazioni con numeratori e denominatori diversi, è necessario ridurre le frazioni al minimo comune denominatore, quindi confrontare le frazioni con gli stessi denominatori.

Operazioni sulle frazioni ordinarie.

• Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, somma i loro numeratori e lascia lo stesso denominatore.
• Se devi sommare frazioni con denominatori diversi, prima riduci le frazioni al minimo comune denominatore, quindi aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori.
• Per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, il numeratore della seconda frazione viene sottratto dal numeratore della prima frazione e il denominatore rimane lo stesso.
• Se devi sottrarre frazioni con denominatori diversi, vengono prima portate a un denominatore comune e quindi vengono sottratte le frazioni con gli stessi denominatori.
• Quando si eseguono operazioni per l'aggiunta o la sottrazione di numeri misti, queste operazioni vengono eseguite separatamente per le parti intere e per le parti frazionarie, quindi il risultato viene scritto come un numero misto.

• Il prodotto di due frazioni ordinarie è uguale a una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori delle frazioni date.
• Per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale, devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso denominatore.
• Due numeri il cui prodotto è uguale a uno sono detti numeri reciproci.
• Quando si moltiplicano numeri misti, vengono prima convertiti in frazioni improprie.
• Per trovare una frazione di un numero, devi moltiplicare il numero per quella frazione.

• Per dividere una frazione comune per una frazione comune, devi moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
• Quando si dividono numeri misti, vengono prima convertiti in frazioni improprie.
• Per dividere una frazione ordinaria per un numero naturale, devi moltiplicare il denominatore della frazione per questo numero naturale e lasciare lo stesso numeratore. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
• Per trovare un numero per la sua frazione, devi dividere per questa frazione il numero corrispondente.

• Una frazione decimale è un numero scritto nel sistema decimale e con cifre inferiori a uno. (3,25; 0,1457 ecc.)
• Le posizioni decimali dopo la virgola sono dette posizioni decimali.
• La frazione decimale non cambierà se vengono aggiunti o scartati zeri alla fine della frazione decimale.

Per aggiungere frazioni decimali, è necessario: 1) equalizzare il numero di cifre decimali in queste frazioni; 2) scrivili uno sotto l'altro in modo che la virgola sia scritta sotto la virgola; 3) eseguire l'addizione, ignorando la virgola, e mettere una virgola sotto le virgole nelle frazioni sommate nella somma.

Per eseguire la sottrazione delle frazioni decimali, è necessario: 1) equalizzare il numero di cifre decimali nel minuendo e sottraendo; 2) firmare il sottratto sotto il ridotto in modo che il comma sia sotto il comma; 3) eseguire la sottrazione, ignorando la virgola, e nel risultato mettere la virgola sotto le virgole del minuendo e del sottraendo.

• Per moltiplicare una frazione decimale per un numero naturale, devi moltiplicarla per questo numero, ignorando la virgola, e nel prodotto risultante, separare tante cifre a destra quante erano dopo il punto decimale nella frazione data.
• Per moltiplicare una frazione decimale per un'altra, devi eseguire la moltiplicazione, ignorando le virgole e, nel risultato risultante, separare tante cifre con una virgola a destra quante erano dopo le virgole in entrambi i fattori insieme.
• Per moltiplicare un decimale per 10, 100, 1000, ecc., è necessario spostare la virgola decimale a destra di 1, 2, 3, ecc. cifre.
• Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc., è necessario spostare la virgola a sinistra di 1, 2, 3, ecc. cifre.

• Per dividere una frazione decimale per un numero naturale, devi dividere la frazione per questo numero, poiché i numeri naturali sono divisi, e inserire una virgola in privato quando la divisione della parte intera è terminata.
• Per dividere un decimale per 10, 100, 1000, ecc., è necessario spostare la virgola a sinistra di 1, 2, 3, ecc. cifre.

• Per dividere un numero per un decimale, devi spostare le virgole nel dividendo e nel divisore di tante cifre a destra quante sono dopo il punto decimale nel divisore, quindi dividere per un numero naturale.
• Per dividere un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc., è necessario spostare la virgola a destra di 1, 2, 3, ecc. cifre. (Dividere un decimale per 0,1; 0,01; 0,001, ecc. equivale a moltiplicare quel decimale per 10, 100, 1000, ecc.)

Per arrotondare un numero a una determinata cifra, sottolineiamo la cifra di questa cifra, quindi sostituiamo tutte le cifre dietro quella sottolineata con zeri e, se sono dopo la virgola, scartiamo. Se la prima cifra sostituita da zero o scartata è 0, 1, 2, 3 o 4, la cifra sottolineata viene lasciata invariata. Se la prima cifra sostituita da zero o scartata è 5, 6, 7, 8 o 9, la cifra sottolineata viene aumentata di 1.

Media aritmetica di più numeri.

La media aritmetica di più numeri è il quoziente della divisione della somma di questi numeri per il numero di termini.

L'intervallo di una serie di numeri.

La differenza tra il valore più grande e quello più piccolo della serie di dati è chiamata intervallo della serie di numeri.

Numero di moda serie.

Il numero che ricorre con la maggiore frequenza tra i numeri dati della serie è chiamato modo della serie di numeri.

• Un centesimo è chiamato percentuale. Compra un libro che insegni "Come risolvere i problemi di percentuale".
• Per esprimere le percentuali come frazione o numero naturale, devi dividere la percentuale per 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
• Per esprimere un numero come percentuale, devi moltiplicarlo per 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
• Per trovare una percentuale di un numero, devi esprimere la percentuale come frazione ordinaria o decimale e moltiplicare la frazione risultante per il numero dato.
• Per trovare un numero in base alla sua percentuale, devi esprimere la percentuale come frazione ordinaria o decimale e dividere il numero dato per questa frazione.
• Per trovare la percentuale del primo numero dal secondo, devi dividere il primo numero per il secondo e moltiplicare il risultato per 100%.

• Il quoziente di due numeri è chiamato rapporto di questi numeri. a: b o a/bè il rapporto tra i numeri aeb, inoltre, a è il termine precedente, b è il termine successivo.
• Se i termini di questa relazione vengono riorganizzati, la relazione risultante è chiamata l'inversa di questa relazione. Le relazioni b/a e a/b sono reciprocamente inverse.
• Il rapporto non cambierà se entrambi i termini del rapporto vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero.

• L'uguaglianza di due rapporti si chiama proporzione.
• a:b=c:d. Questa è proporzione. Leggere: ma così si applica a B, come C si riferisce a D. I numeri a e d sono detti membri estremi della proporzione e i numeri b e c sono i membri centrali della proporzione.

• Il prodotto dei termini estremi di una proporzione è uguale al prodotto dei suoi termini medi. Per proporzione a:b=c:d o a/b=c/d la proprietà principale è scritta così: a d=b c.
• Per trovare il termine estremo sconosciuto della proporzione, devi dividere il prodotto dei termini medi della proporzione per il termine estremo noto.
• Per trovare il termine medio sconosciuto della proporzione, devi dividere il prodotto dei termini estremi della proporzione per il termine medio noto. Compiti proporzionali.

Lascia il valore y dipende dalle dimensioni X. Se con un aumento X diverse volte la dimensione a aumenta dello stesso fattore, quindi tali valori X e a sono detti direttamente proporzionali.

Se due quantità sono direttamente proporzionali, il rapporto di due valori arbitrari della prima quantità è uguale al rapporto dei due valori corrispondenti della seconda quantità.

Il rapporto tra la lunghezza del segmento sulla mappa e la lunghezza della corrispondente distanza sul terreno è chiamato scala della mappa.

Lascia il valore a dipende dalle dimensioni X. Se con un aumento X diverse volte la dimensione a diminuisce dello stesso fattore, quindi tali valori X e a sono detti inversamente proporzionali.

Se due quantità sono inversamente proporzionali, il rapporto di due valori presi arbitrariamente di una quantità è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti dell'altra quantità.

• Un insieme è una raccolta di alcuni oggetti o numeri compilati secondo alcune proprietà o leggi generali (molte lettere su una pagina, molte frazioni regolari con denominatore 5, molte stelle nel cielo, ecc.).
• Gli insiemi sono composti da elementi e sono finiti o infiniti. Un insieme che non contiene alcun elemento è chiamato insieme vuoto ed è indicato Oh
• Molti IN chiamato sottoinsieme dell'insieme MA se tutti gli elementi dell'insieme IN sono elementi dell'insieme MA.
• Imposta incrocio MA e INè un insieme i cui elementi appartengono all'insieme MA e molti IN.
• Unione di insiemi MA e INè un insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno degli insiemi dati MA e IN.

Insiemi di numeri.

• n– insieme di numeri naturali: 1, 2, 3, 4,…
• Z– insieme di numeri interi: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
• Qè l'insieme dei numeri razionali rappresentabili come una frazione m/n, dove m- totale, n– naturale (-2; 3/5; v9; v25, ecc.)

• Una retta di coordinate è una retta su cui sono indicati una direzione positiva, un punto di riferimento (punto O) e un segmento unitario.
• Ogni punto sulla linea delle coordinate corrisponde a un certo numero, che è chiamato la coordinata di questo punto. Per esempio, A(5). Leggi: punto A con coordinata cinque. IN 3). Leggi: punto B con coordinata meno tre.

• Il modulo del numero a (scrivere |a|) è chiamata la distanza dall'origine al punto corrispondente al numero dato ma. Il valore del modulo di qualsiasi numero non è negativo. |3|=3; |-3|=3, perché la distanza dall'origine al numero -3 e al numero 3 è uguale a tre segmenti unitari. |0|=0 .
• Per definizione del modulo di un numero: |a|=a, Se un?0 e |a|=-a, Se a b.
• Se, quando si confrontano i numeri aeb, la differenza a-bè un numero negativo, quindi a , allora sono dette disuguaglianze rigorose.
• Se le disuguaglianze sono scritte in segni? o ?, allora sono dette disuguaglianze non rigorose.

Proprietà delle disuguaglianze numeriche.

G) Una disuguaglianza della forma x?a. Risposta:

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Law of Muna Le Laws of Manu sono un'antica raccolta indiana di prescrizioni per i doveri religiosi, morali e sociali (dharma), chiamata anche "legge degli Ariani" o "Codice d'onore degli Ariani". Manavadharmashastra è uno dei venti dharmashastra. Ecco alcuni frammenti selezionati (tradotti da Georgy Fedorovich […]

"Gestione e ottimizzazione di un'impresa manifatturiera" ABSTRACT Vengono forniti i concetti di base del galateo aziendale. È dimostrato che attualmente, quando le imprese e le organizzazioni nazionali vengono integrate nella vita economica di varie regioni del pianeta, le regole della comunicazione d'impresa richiedono un'attenzione particolare. Le prove sono date […]

Per semplificare la divisione dei numeri naturali sono state derivate le regole per la divisione per i numeri dei primi dieci e per i numeri 11, 25, che sono combinati in una sezione segni di divisibilità dei numeri naturali. Di seguito sono riportate le regole con cui l'analisi di un numero senza dividerlo per un altro numero naturale risponderà alla domanda, è un numero naturale un multiplo dei numeri 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 e un po' di unità?

I numeri naturali che hanno cifre (che terminano con) 2,4,6,8,0 nella prima cifra sono chiamati pari.

Segno di divisibilità dei numeri per 2

Tutti i numeri naturali pari sono divisibili per 2, ad esempio: 172, 94,67 838, 1670.

Segno di divisibilità dei numeri per 3

Tutti i numeri naturali la cui somma delle cifre è un multiplo di 3 sono divisibili per 3. Ad esempio:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Segno di divisibilità dei numeri per 4

Tutti i numeri naturali sono divisibili per 4, le cui ultime due cifre sono zeri o un multiplo di 4. Ad esempio:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Segno di divisibilità dei numeri per 5

Segno di divisibilità dei numeri per 6

Quei numeri naturali che sono divisibili per 2 e 3 contemporaneamente sono divisibili per 6 (tutti i numeri pari che sono divisibili per 3). Ad esempio: 126 (b - pari, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Segno di divisibilità dei numeri per 9

Quei numeri naturali sono divisibili per 9, la cui somma delle cifre è un multiplo di 9. Ad esempio:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Segno di divisibilità dei numeri per 10

Segno di divisibilità dei numeri per 11

Solo quei numeri naturali sono divisibili per 11, in cui la somma delle cifre che occupano posti pari è uguale alla somma delle cifre che occupano posti dispari, o la differenza tra la somma delle cifre di posti dispari e la somma delle cifre di posti pari è un multiplo di 11. Ad esempio:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 e 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 e 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Segno di divisibilità dei numeri per 25

Quei numeri naturali sono divisibili per 25, le cui ultime due cifre sono zeri o sono un multiplo di 25. Ad esempio:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Segno di divisibilità dei numeri per un'unità di bit

Questi numeri naturali sono divisi in un'unità di bit, in cui il numero di zeri è maggiore o uguale al numero di zeri dell'unità di bit. Ad esempio: 12.000 è divisibile per 10, 100 e 1000.

segno di divisibilità

Segno di divisibilità- una regola che consente di determinare in tempi relativamente brevi se un numero è un multiplo di un numero predeterminato senza dover eseguire una divisione effettiva. Di norma, si basa su azioni con una parte delle cifre dalla notazione di un numero in un sistema numerico posizionale (di solito decimale).

Esistono diverse semplici regole che consentono di trovare piccoli divisori di un numero nel sistema dei numeri decimali:

Segno di divisibilità per 2

Segno di divisibilità per 3

Divisibilità per 4 segno

Segno di divisibilità per 5

Segno di divisibilità per 6

Segno di divisibilità per 7

Segno di divisibilità per 8

Segno di divisibilità per 9

Segno di divisibilità per 10

Segno di divisibilità per 11

Segno di divisibilità per 12

Segno di divisibilità per 13

Segno di divisibilità per 14

Segno di divisibilità per 15

Segno di divisibilità per 17

Segno di divisibilità per 19

Segno di divisibilità per 23

Segno di divisibilità per 25

Segno di divisibilità per 99

Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 99 se e solo se il numero stesso è divisibile per 99.

Segno di divisibilità per 101

Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi con segni variabili, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 101 se e solo se il numero stesso è divisibile per 101. Ad esempio, 590547 è divisibile per 101, poiché 59-05+47=101 è divisibile per 101).

Segno di divisibilità per 2 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di due se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per la stessa potenza.

Segno di divisibilità per 5 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di 5 se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per la stessa potenza.

Segno di divisibilità per 10 n − 1

Dividiamo il numero in gruppi di n cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può contenere da 1 a n cifre) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli numeri di n cifre. Tale importo è divisibile per 10 n− 1 se e solo se il numero stesso è divisibile per 10 n − 1 .

Segno di divisibilità per 10 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di dieci se e solo se lo sono le sue ultime n cifre