Il existe certaines règles pour comparer des nombres. Prenons l'exemple suivant.
Hier le thermomètre indiquait 15˚ C, et aujourd'hui il indique 20˚ C. Aujourd'hui il fait plus chaud qu'hier. Le nombre 15 est inférieur au nombre 20, on peut l'écrire ainsi : 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.
Considérons maintenant les températures négatives. Hier il faisait -12˚ C, et aujourd'hui -8˚ C. Aujourd'hui il fait plus chaud qu'hier. Par conséquent, considérez que le nombre -12 est inférieur au nombre -8. Sur la ligne de coordonnées horizontales, le point de valeur -12 est situé à gauche du point de valeur -8. On peut l'écrire ainsi : -12< -8.
Ainsi, si nous comparons des nombres à l'aide d'une ligne de coordonnées horizontale, des deux nombres, le plus petit est celui dont l'image sur la ligne de coordonnées est située à gauche, et le plus grand est celui dont l'image est située à droite. Par exemple, nous avons A > B et C dans la figure, mais B > C.
Sur la ligne de coordonnées, les nombres positifs sont situés à droite de zéro et les nombres négatifs sont à gauche de zéro, chaque nombre positif est supérieur à zéro et chaque nombre négatif est inférieur à zéro, et donc chaque nombre négatif est inférieur à chaque nombre positif.
Ainsi, la première chose à laquelle vous devez faire attention lorsque vous comparez des nombres est les signes des nombres comparés. Un nombre avec un moins (négatif) est toujours inférieur à un nombre positif.
Si nous comparons deux nombres négatifs, alors nous devons comparer leurs modules : le nombre avec le module moins sera plus grand, et le nombre avec le module moins sera moins. Par exemple, -7 et -5. Les nombres comparés sont négatifs. Comparez leurs modules 5 et 7. 7 est supérieur à 5, donc -7 est inférieur à -5. Si nous marquons deux nombres négatifs sur la ligne de coordonnées, le plus petit nombre sera à gauche et le plus grand sera situé à droite. -7 est situé à gauche de -5, donc -7< -5.
Comparaison de fractions ordinaires
De deux fractions ayant le même dénominateur, celle qui a le plus petit numérateur est la plus petite et celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande.
Vous ne pouvez comparer que des fractions ayant le même dénominateur.
Algorithme de comparaison de fractions ordinaires
1) Si la fraction a une partie entière, on commence la comparaison avec celle-ci. La plus grande fraction est celle dont la partie entière est la plus grande. Si les fractions n'ont pas de partie entière ou sont égales, passez à l'étape suivante.
2) Si des fractions avec des dénominateurs différents doivent les ramener à un dénominateur commun.
3) Comparez les numérateurs des fractions. La plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.
Notez qu'une fraction avec une partie entière sera toujours plus grande qu'une fraction sans partie entière.
Comparaison décimale
Les décimales ne peuvent être comparées qu'avec le même nombre de chiffres (chiffres) à droite de la virgule décimale.
Algorithme de comparaison décimal
1) Faites attention au nombre de caractères à droite de la virgule. Si le nombre de chiffres est le même, nous pouvons commencer à comparer. Sinon, ajoutez le nombre requis de zéros dans l'une des fractions décimales.
2) Comparez les décimaux de gauche à droite : entiers avec entiers, dixièmes avec dixièmes, centièmes avec centièmes, etc.
3) La plus grande fraction sera celle dont l'une des parties est plus grande que l'autre fraction (on commence la comparaison avec des entiers : si la partie entière d'une fraction est plus grande, alors toute la fraction est plus grande).
Par exemple, comparons des nombres décimaux :
1) Ajouter le nombre requis de zéros dans la première fraction pour égaliser le nombre de décimales
57.300 et 57.321
2) On commence à comparer de gauche à droite :
entiers avec entiers : 57 = 57 ;
dixièmes avec dixièmes : 3 = 3 ;
centièmes avec centièmes : 0< 2.
Étant donné que les centièmes de la première fraction décimale se sont avérés inférieurs, la fraction entière sera inférieure :
57,300 < 57,321
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Comparer des nombres est l'un des sujets les plus faciles et les plus agréables d'un cours de mathématiques. Cependant, il faut dire que ce n'est pas si simple. Par exemple, peu de gens ont du mal à comparer des nombres positifs à un ou deux chiffres.
Mais les nombres avec un grand nombre de signes posent déjà des problèmes, souvent les gens se perdent lorsqu'ils comparent des nombres négatifs et ne se souviennent pas comment comparer deux nombres avec différents signes. Nous allons essayer de répondre à toutes ces questions.
Règles de comparaison des nombres positifs
Commençons par le plus simple - avec des nombres qui n'ont aucun signe devant eux, c'est-à-dire des nombres positifs.
- Tout d'abord, il convient de rappeler que tous les nombres positifs sont, par définition, supérieurs à zéro, même si nous parlons sur un nombre fractionnaire sans entier. Par exemple, la fraction décimale 0,2 sera supérieure à zéro, puisque sur la ligne de coordonnées le point qui lui correspond est toujours à deux petites divisions de zéro.
- Si nous parlons de comparer deux nombres positifs avec un grand nombre de caractères, vous devez comparer chacun des chiffres. Par exemple, 32 et 33. Le chiffre des dizaines pour ces nombres est le même, mais le nombre 33 est plus grand, car dans les unités le chiffre "3" est supérieur à "2".
- Comment comparer deux nombres décimaux ? Ici, vous devez d'abord regarder la partie entière - par exemple, une fraction de 3,5 sera inférieure à 4,6. Que faire si la partie entière est la même, mais que les décimales sont différentes ? Dans ce cas, la règle des nombres entiers s'applique - vous devez comparer les signes par chiffres jusqu'à ce que vous trouviez des dixièmes, centièmes, millièmes plus grands et plus petits. Par exemple, 4,86 est supérieur à 4,75 car huit dixièmes sont supérieurs à sept.
Comparer des nombres négatifs
Si nous avons des nombres -a et -c dans le problème, et que nous devons déterminer lequel d'entre eux est le plus grand, alors la règle universelle s'applique. Tout d'abord, les modules de ces nombres sont écrits - |a| et |c| - et sont comparés les uns aux autres. Le nombre dont le module est le plus grand sera plus petit par rapport aux nombres négatifs, et vice versa - le plus grand nombre sera celui dont le module est le plus petit.
Que faire si vous avez besoin de comparer un nombre négatif et un nombre positif ?
Une seule règle fonctionne ici, et elle est élémentaire. Les nombres positifs sont toujours supérieurs aux nombres avec un signe moins - quels qu'ils soient. Par exemple, le nombre "1" sera toujours supérieur au nombre "-1458" simplement parce que l'unité est à droite de zéro sur la ligne de coordonnées.
Vous devez également vous rappeler que tout nombre négatif est toujours inférieur à zéro.
Nous continuons à étudier les nombres rationnels. Dans cette leçon, nous allons apprendre à les comparer.
Des leçons précédentes, nous avons appris que plus le nombre est situé à droite sur la ligne de coordonnées, plus il est grand. Et par conséquent, plus le nombre est situé à gauche sur la ligne de coordonnées, plus il est petit.
Par exemple, si vous comparez les nombres 4 et 1, vous pouvez immédiatement répondre que 4 est supérieur à 1. C'est une affirmation tout à fait logique et tout le monde sera d'accord avec cela.
La preuve est la ligne de coordonnées. Il montre que le quatre se trouve à droite de l'unité
Pour ce cas, il existe une règle que vous pouvez utiliser si vous le souhaitez. Il ressemble à ceci :
De deux nombres positifs, le nombre avec le plus grand module est le plus grand.
Pour répondre à la question de savoir quel nombre est le plus grand et lequel est le plus petit, vous devez d'abord trouver les modules de ces nombres, comparer ces modules, puis répondre à la question.
Par exemple, comparons les mêmes nombres 4 et 1 en appliquant la règle ci-dessus
Trouver des modules de nombres :
|4| = 4
|1| = 1
Comparez les modules trouvés :
4 > 1
Nous répondons à la question :
4 > 1
Pour les nombres négatifs, il existe une autre règle, elle ressemble à ceci :
De deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus petit est le plus grand.
Par exemple, comparons les nombres −3 et −1
Trouver des modules de nombres
|−3| = 3
|−1| = 1
Comparez les modules trouvés :
3 > 1
Nous répondons à la question :
−3 < −1
Ne confondez pas le module d'un nombre avec le nombre lui-même. Une erreur courante que font de nombreux débutants. Par exemple, si le module du nombre -3 est supérieur au module du nombre -1, cela ne signifie pas que le nombre -3 est supérieur au nombre -1.
Le nombre -3 est inférieur au nombre -1. Cela peut être compris en utilisant la ligne de coordonnées
On peut voir que le nombre -3 se trouve plus à gauche que -1. Et on sait que plus on est à gauche, moins c'est.
Si vous comparez un nombre négatif avec un nombre positif, la réponse s'imposera d'elle-même. Tout nombre négatif sera inférieur à tout nombre positif. Par exemple, −4 est inférieur à 2
On peut voir que -4 est plus à gauche que 2. Et nous savons que "plus on est à gauche, moins c'est".
Ici, tout d'abord, vous devez regarder les signes des nombres. Un moins devant un nombre indique que le nombre est négatif. S'il n'y a aucun signe du nombre, alors le nombre est positif, mais vous pouvez l'écrire pour plus de clarté. Rappelez-vous qu'il s'agit d'un signe plus
Nous avons considéré comme exemple des nombres entiers de la forme -4, -3 -1, 2. Il n'est pas difficile de comparer de tels nombres, ainsi que de les représenter sur une ligne de coordonnées.
Il est beaucoup plus difficile de comparer d'autres types de nombres, tels que les fractions, les nombres fractionnaires et les nombres décimaux, dont certains sont négatifs. Ici, dans l'ensemble, vous devrez appliquer les règles, car il n'est pas toujours possible de représenter avec précision de tels nombres sur la ligne de coordonnées. Dans certains cas, le nombre sera nécessaire pour faciliter la comparaison et la compréhension.
Exemple 1 Comparer des nombres rationnels
Ainsi, il est nécessaire de comparer un nombre négatif avec un nombre positif. Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif. Par conséquent, sans perdre de temps, nous répondons qu'il est inférieur à
Exemple 2
Vous voulez comparer deux nombres négatifs. De deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont le module est le plus petit.
Trouver des modules de nombres :
Comparez les modules trouvés :
Exemple 3 Comparez les nombres 2.34 et
Vous voulez comparer un nombre positif avec un nombre négatif. Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif. Donc, sans perdre de temps, nous répondons que 2,34 est supérieur à
Exemple 4 Comparez les nombres rationnels et
Trouver des modules de nombres :
Comparez les modules trouvés. Mais d'abord, amenons-les sous une forme compréhensible, afin qu'il soit plus facile de comparer, à savoir, nous allons les traduire en fractions impropres et les amener à un dénominateur commun
Selon la règle, de deux nombres négatifs, le plus grand est le nombre dont le module est le plus petit. Donc le rationnel est supérieur à car le module du nombre est inférieur au module du nombre
Exemple 5
Vous voulez comparer zéro avec un nombre négatif. Zéro est supérieur à tout nombre négatif, donc sans perdre de temps, nous répondons que 0 est supérieur à
Exemple 6 Comparer les nombres rationnels 0 et
Il est nécessaire de comparer zéro avec un nombre positif. Zéro est inférieur à tout nombre positif, donc sans perdre de temps, nous répondons que 0 est inférieur à
Exemple 7. Comparer les nombres rationnels 4.53 et 4.403
Il faut comparer deux nombres positifs. De deux nombres positifs, le nombre avec le plus grand module est le plus grand.
Faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit le même dans les deux fractions. Pour ce faire, dans la fraction 4,53, ajoutez un zéro à la fin
Trouver des modules de nombres
Comparez les modules trouvés :
Selon la règle, de deux nombres positifs, le plus grand est celui dont le module est le plus grand. Donc le nombre rationnel 4,53 est supérieur à 4,403 car le module de 4,53 est supérieur au module de 4,403
Exemple 8 Comparez les nombres rationnels et
Vous voulez comparer deux nombres négatifs. De deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus petit est le plus grand.
Trouver des modules de nombres :
Comparez les modules trouvés. Mais d'abord, amenons-les sous une forme compréhensible pour faciliter la comparaison, à savoir, nous allons traduire le nombre fractionnaire en une fraction impropre, puis nous amènerons les deux fractions à un dénominateur commun :
Selon la règle, de deux nombres négatifs, le plus grand est le nombre dont le module est le plus petit. Donc le rationnel est supérieur à car le module du nombre est inférieur au module du nombre
Il est beaucoup plus facile de comparer des nombres décimaux que de comparer des fractions communes et des nombres fractionnaires. Dans certains cas, en regardant la partie entière d'une telle fraction, vous pouvez immédiatement répondre à la question de savoir quelle fraction est la plus grande et laquelle est la plus petite.
Pour ce faire, vous devez comparer les modules de parties entières. Cela vous permettra de répondre rapidement à la question du problème. Après tout, comme vous le savez, les parties entières dans les fractions décimales ont un poids supérieur aux fractions.
Exemple 9 Comparer les nombres rationnels 15,4 et 2,1256
Le module de la partie entière de la fraction 15,4 est supérieur au module de la partie entière de la fraction 2,1256
donc la fraction 15,4 est supérieure à la fraction 2,1256
15,4 > 2,1256
En d'autres termes, nous n'avons pas eu à passer du temps à ajouter des zéros à la fraction 15,4 et à comparer les fractions résultantes comme des nombres ordinaires.
154000 > 21256
Les règles de comparaison restent les mêmes. Dans notre cas, nous avons comparé des nombres positifs.
Exemple 10 Comparer les nombres rationnels −15,2 et −0,152
Vous voulez comparer deux nombres négatifs. De deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus petit est le plus grand. Mais nous ne comparerons que des modules de parties entières
On voit que le module de la partie entière de la fraction -15,2 est supérieur au module de la partie entière de la fraction -0,152.
Cela signifie que le rationnel −0,152 est supérieur à −15,2 car le module de la partie entière de −0,152 est inférieur au module de la partie entière de −15,2
−0,152 > −15,2
Exemple 11. Comparer les nombres rationnels −3,4 et −3,7
Vous voulez comparer deux nombres négatifs. De deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus petit est le plus grand. Mais nous ne comparerons que des modules de parties entières. Mais le problème est que les modules des entiers sont égaux :
Dans ce cas, vous devrez utiliser l'ancienne méthode : trouver les modules de nombres rationnels et comparer ces modules
Comparez les modules trouvés :
Selon la règle, de deux nombres négatifs, le plus grand est le nombre dont le module est le plus petit. Donc le rationnel −3,4 est supérieur à −3,7 car le module de −3,4 est inférieur au module de −3,7
−3,4 > −3,7
Exemple 12. Comparer les nombres rationnels 0,(3) et
Il faut comparer deux nombres positifs. Et comparez une fraction périodique avec une fraction simple.
Traduisons la fraction périodique 0, (3) en une fraction ordinaire et comparons-la à la fraction . Après avoir converti la fraction périodique 0, (3) en une fraction ordinaire, elle se transforme en une fraction
Trouver des modules de nombres :
Comparez les modules trouvés. Mais d'abord, amenons-les sous une forme compréhensible, afin qu'il soit plus facile de comparer, à savoir, nous les amènerons à un dénominateur commun : 
Selon la règle, de deux nombres positifs, le plus grand est celui dont le module est le plus grand. Donc le nombre rationnel est supérieur à 0,(3) car le module du nombre est supérieur au module du nombre 0,(3)
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Lors de la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que de problèmes avec des modules, il est nécessaire de localiser les racines trouvées sur la ligne réelle. Comme vous le savez, les racines trouvées peuvent être différentes. Ils peuvent être comme ça :, ou ils peuvent être comme ça :,.
En conséquence, si les nombres ne sont pas rationnels mais irrationnels (si vous avez oublié ce que c'est, regardez dans le sujet), ou sont des expressions mathématiques complexes, alors les placer sur la droite numérique est très problématique. De plus, les calculatrices ne peuvent pas être utilisées à l'examen, et un calcul approximatif ne garantit pas à 100 % qu'un nombre est inférieur à un autre (et s'il y a une différence entre les nombres comparés ?).
Bien sûr, vous savez que les nombres positifs sont toujours supérieurs aux nombres négatifs, et que si nous représentons un axe des nombres, alors lors de la comparaison, les plus grands nombres sera situé à droite que le plus petit : ; ; etc.
Mais est-ce toujours aussi simple ? Où sur la droite numérique nous marquons .
Comment les comparer, par exemple, avec un nombre ? C'est là que le bât blesse...)
Pour commencer, parlons en termes généraux de comment et quoi comparer.
Important : il est souhaitable de faire les transformations de manière à ce que le signe de l'inégalité ne change pas ! Autrement dit, au cours des transformations, il n'est pas souhaitable de multiplier par un nombre négatif, et c'est interdit carré si l'une des parties est négative.
Comparaison de fractions
Il faut donc comparer deux fractions : et.
Il existe plusieurs options pour savoir comment procéder.
Option 1. Amener les fractions à un dénominateur commun.
Écrivons-le sous la forme d'une fraction ordinaire :
- (comme vous pouvez le voir, j'ai aussi réduit par le numérateur et le dénominateur).
Maintenant, nous devons comparer des fractions :
Maintenant, nous pouvons continuer à comparer également de deux manières. Nous pouvons:
- il suffit de tout réduire à un dénominateur commun, en présentant les deux fractions comme impropres (le numérateur est supérieur au dénominateur) :
Quel nombre est le plus grand ? C'est vrai, celui dont le numérateur est le plus grand, c'est-à-dire le premier.
- "jeter" (supposons que nous avons soustrait un de chaque fraction, et que le rapport des fractions entre elles, respectivement, n'a pas changé) et nous comparerons les fractions :
Nous les ramenons également à un dénominateur commun :
Nous avons obtenu exactement le même résultat que dans le cas précédent - le premier nombre est supérieur au second :
Vérifions également si nous avons correctement soustrait un ? Calculons la différence du numérateur dans le premier calcul et le second :
1)
2)
Nous avons donc examiné comment comparer des fractions, en les ramenant à un dénominateur commun. Passons à une autre méthode - comparer des fractions en les ramenant à un ... numérateur commun.
Option 2. Comparer des fractions en réduisant à un numérateur commun.
Oui oui. Ce n'est pas une faute de frappe. À l'école, cette méthode est rarement enseignée à qui que ce soit, mais très souvent, elle est très pratique. Pour que vous compreniez rapidement son essence, je ne vous poserai qu'une seule question - "dans quels cas la valeur de la fraction est-elle la plus grande?" Bien sûr, vous direz "lorsque le numérateur est le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible".
Par exemple, vous direz certainement que Vrai ? Et si nous devons comparer de telles fractions : Je pense que vous mettrez également le signe correctement tout de suite, car dans le premier cas, ils sont divisés en parties et dans le second en entiers, ce qui signifie que dans le second cas, les morceaux s'avèrent très petits et, par conséquent: . Comme vous pouvez le voir, les dénominateurs sont différents ici, mais les numérateurs sont les mêmes. Cependant, pour comparer ces deux fractions, vous n'avez pas besoin de trouver un dénominateur commun. Bien que ... trouvez-le et voyez si le signe de comparaison est toujours faux?
Mais le signe est le même.
Revenons à notre tâche initiale - comparer et. Nous allons comparer et Nous amenons ces fractions non pas à un dénominateur commun, mais à un numérateur commun. Pour cela c'est simple numérateur et dénominateur multiplier la première fraction par. On a:
Et. Quelle fraction est la plus grande ? C'est vrai, le premier.
Option 3. Comparer des fractions par soustraction.
Comment comparer des fractions par soustraction ? Oui, très simple. Nous soustrayons un autre d'une fraction. Si le résultat est positif, alors la première fraction (réduite) est supérieure à la seconde (soustraite), et s'il est négatif, alors vice versa.
Dans notre cas, essayons de soustraire la première fraction de la seconde : .
Comme vous l'avez déjà compris, nous traduisons également en une fraction ordinaire et obtenons le même résultat -. Notre expression devient :
De plus, nous devons encore recourir à la réduction à un dénominateur commun. La question est de savoir comment : de la première manière, convertir des fractions en fractions impropres, ou de la seconde, comme si l'on "supprimait" l'unité ? Soit dit en passant, cette action a une justification complètement mathématique. Voir:
J'aime mieux la deuxième option, car la multiplication au numérateur lors de la réduction à un dénominateur commun devient beaucoup plus facile.
On ramène à un dénominateur commun :
L'essentiel ici est de ne pas se tromper sur le nombre et l'endroit où nous avons soustrait. Regardez attentivement la solution et ne confondez pas accidentellement les signes. Nous avons soustrait le premier du deuxième nombre et avons obtenu une réponse négative, alors ? .. C'est vrai, le premier nombre est supérieur au second.
J'ai compris? Essayez de comparer des fractions :
Stop STOP. Ne vous précipitez pas pour amener à un dénominateur commun ou soustraire. Regardez : il peut être facilement converti en fraction décimale. Combien est-ce que ça va coûter? Droit. Qu'est-ce qui finit par être plus?
Ceci est une autre option - comparer des fractions en réduisant à un nombre décimal.
Option 4. Comparer des fractions en utilisant la division.
Oui oui. Et donc c'est aussi possible. La logique est simple : lorsque nous divisons un plus grand nombre par un plus petit, nous obtenons un nombre supérieur à un dans la réponse, et si nous divisons un plus petit nombre par un plus grand, alors la réponse tombe sur l'intervalle de à.
Pour vous souvenir de cette règle, prenez pour comparaison deux nombres premiers, par exemple, je. Savez-vous quoi de plus? Maintenant, divisons par. Notre réponse est . En conséquence, la théorie est correcte. Si nous divisons par, ce que nous obtenons est inférieur à un, ce qui confirme à son tour ce qui est réellement inférieur.
Essayons d'appliquer cette règle sur des fractions ordinaires. Comparer:
Divisez la première fraction par la seconde :
Raccourcis au fur et à mesure.
Le résultat est inférieur, donc le dividende est inférieur au diviseur, c'est-à-dire :
Nous avons analysé toutes les options possibles pour comparer des fractions. Comme vous pouvez le voir, il y en a 5 :
- réduction à un dénominateur commun;
- réduction à un numérateur commun ;
- réduction sous la forme d'une fraction décimale ;
- soustraction;
- division.
Prêt à vous entraîner ? Comparez les fractions de la meilleure façon :
Comparons les réponses :
- (- convertir en décimal)
- (diviser une fraction par une autre et réduire par le numérateur et le dénominateur)
- (sélectionner la partie entière et comparer les fractions selon le principe du même numérateur)
- (diviser une fraction par une autre et réduire par le numérateur et le dénominateur).
2. Comparaison des diplômes
Imaginez maintenant que nous devions comparer non seulement des nombres, mais des expressions où il y a un degré ().
Bien sûr, vous pouvez facilement mettre un signe :
Après tout, si nous remplaçons le degré par la multiplication, nous obtenons :
À partir de ce petit exemple primitif, la règle suit :
Essayez maintenant de comparer les éléments suivants : . Vous pouvez aussi facilement mettre un signe :
Parce que si on remplace l'exponentiation par la multiplication...
En général, vous comprenez tout, et ce n'est pas difficile du tout.
Les difficultés ne surgissent que lorsque, comparés, les diplômes ont des bases et des indicateurs différents. Dans ce cas, il faut essayer de se rapprocher d'une base commune. Par exemple:
Bien sûr, vous savez que cela, en conséquence, l'expression prend la forme :
Ouvrons les parenthèses et comparons ce qui se passe :
Un cas un peu particulier est celui où la base du degré () est inférieure à un.
Si, alors de deux degrés ou plus, celui dont l'indicateur est le moins.
Essayons de prouver cette règle. Laisser être.
Introduisons-nous quelques entier naturel comme la différence entre et.
Logique, n'est-ce pas ?
Faisons maintenant attention à la condition - .
Respectivement: . En conséquence, .
Par exemple:
Comme vous l'avez compris, nous avons considéré le cas où les bases des puissances sont égales. Voyons maintenant quand la base est dans la plage de à, mais les exposants sont égaux. Tout est très simple ici.
Rappelons-nous comment comparer cela avec un exemple :
Bien sûr, vous avez rapidement calculé :
Par conséquent, lorsque vous rencontrez des problèmes similaires à des fins de comparaison, gardez à l'esprit un exemple similaire simple que vous pouvez calculer rapidement et, sur la base de cet exemple, placez des signes dans un exemple plus complexe.
Lorsque vous effectuez des transformations, rappelez-vous que si vous multipliez, additionnez, soustrayez ou divisez, toutes les actions doivent être effectuées à gauche et à droite (si vous multipliez par, vous devez multiplier les deux).
De plus, il y a des moments où faire des manipulations n'est tout simplement pas rentable. Par exemple, vous devez comparer. DANS ce cas, il n'est pas si difficile d'élever à une puissance et d'organiser le signe en fonction de ceci:
Entraînons-nous. Comparez les diplômes :
Prêt à comparer les réponses ? C'est ce que j'ai fait:
- - le même que
- - le même que
- - le même que
- - le même que
3. Comparaison de nombres avec une racine
Commençons par ce que sont les racines ? Vous souvenez-vous de cette entrée ?
La racine d'un nombre réel est un nombre pour lequel l'égalité est vraie.
Les racines un degré impair existe pour les nombres négatifs et positifs, et même les racines- Uniquement pour le positif.
La valeur de la racine est souvent une décimale infinie, ce qui rend difficile son calcul précis, il est donc important de pouvoir comparer les racines.
Si vous avez oublié de quoi il s'agit et avec quoi il se mange -. Si vous vous souvenez de tout, apprenons à comparer les racines étape par étape.
Disons qu'il faut comparer :
Pour comparer ces deux racines, vous n'avez pas besoin de faire de calculs, analysez simplement le concept même de "racine". Compris de quoi je parle ? Oui, à ce sujet : sinon, il peut être écrit comme la troisième puissance d'un nombre, égal à l'expression racine.
Quoi de plus? ou? Ceci, bien sûr, vous pouvez comparer sans aucune difficulté. Plus le nombre que nous élevons à une puissance est grand, plus la valeur sera grande.
Alors. Obtenons la règle.
Si les exposants des racines sont les mêmes (dans notre cas, c'est le cas), alors il est nécessaire de comparer les expressions racine (et) - plus le nombre racine est grand, plus la valeur de la racine avec des indicateurs égaux est grande.
Difficile à retenir ? Ensuite, gardez juste un exemple à l'esprit et. Plus que?
Les exposants des racines sont les mêmes, puisque la racine est carrée. L'expression racine d'un nombre () est supérieure à un autre (), ce qui signifie que la règle est vraiment vraie.
Mais que se passe-t-il si les expressions radicales sont les mêmes, mais que les degrés des racines sont différents ? Par exemple: .
Il est également tout à fait clair que lors de l'extraction d'une racine d'un degré supérieur, un nombre plus petit sera obtenu. Prenons par exemple :
Dénotons la valeur de la première racine comme, et la seconde - comme, alors :
Vous pouvez facilement voir qu'il devrait y avoir plus dans ces équations, donc :
Si les expressions racine sont les mêmes(dans notre cas), et les exposants des racines sont différents(dans notre cas, c'est et), alors il faut comparer les exposants(Et) - plus l'exposant est grand, plus l'expression donnée est petite.
Essayez de comparer les racines suivantes :
Comparons les résultats ?
Nous avons réussi à gérer cela :). Une autre question se pose : et si nous étions tous différents ? Et le degré, et l'expression radicale ? Tout n'est pas si difficile, il suffit de ... "se débarrasser" de la racine. Oui oui. Débarrassez-vous en.)
Si nous avons différents degrés et expressions radicales, nous devons trouver le plus petit commun multiple (lisez la section à ce sujet) pour les exposants racines et élever les deux expressions à une puissance égale au plus petit commun multiple.
Que nous sommes tous dans les mots et dans les mots. Voici un exemple :
- Nous regardons les indicateurs des racines - et. Leur plus petit multiple commun est .
- Élevons les deux expressions à une puissance :
- Transformons l'expression et développons les parenthèses (plus de détails dans le chapitre) :
- Considérons ce que nous avons fait, et mettons un signe :
4. Comparaison des logarithmes
Alors, lentement mais sûrement, nous avons abordé la question de savoir comment comparer les logarithmes. Si vous ne vous souvenez pas de quel type d'animal il s'agit, je vous conseille de lire d'abord la théorie de la section. Lire? Répondez ensuite à quelques questions importantes :
- Quel est l'argument du logarithme et quelle est sa base ?
- Qu'est-ce qui détermine si une fonction est croissante ou décroissante ?
Si vous vous souvenez de tout et que vous l'avez bien appris, commençons !
Pour comparer les logarithmes entre eux, vous n'avez besoin de connaître que 3 astuces :
- réduction à la même base;
- casting au même argument;
- comparaison avec le troisième nombre.
Tout d'abord, faites attention à la base du logarithme. Vous vous souvenez que si elle est inférieure, la fonction diminue et si elle est supérieure, elle augmente. C'est sur cela que nos jugements seront basés.
Envisagez de comparer des logarithmes qui ont déjà été réduits à la même base ou au même argument.
Pour commencer, simplifions le problème : laissez entrer les logarithmes comparés sur un pied d'égalité. Puis:
- La fonction, lorsqu'elle augmente sur l'intervalle de, signifie, par définition, alors ("comparaison directe").
- Exemple:- les bases sont les mêmes, respectivement, on compare les arguments : , donc :
- La fonction, at, décroît sur l'intervalle de, ce qui signifie, par définition, alors ("comparaison inverse"). - les bases sont les mêmes, respectivement, on compare les arguments : , cependant, le signe des logarithmes sera « inverse », puisque la fonction décroît : .
Considérons maintenant les cas où les bases sont différentes, mais les arguments sont les mêmes.
- La base est plus grande.
- . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison inverse". Par exemple : - les arguments sont les mêmes, et. On compare les bases : cependant, le signe des logarithmes sera "inversé" :
- La base a est entre les deux.
- . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison directe". Par exemple:
- . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison inverse". Par exemple:
Écrivons tout sous une forme tabulaire générale :
| , dans lequel | , dans lequel | |
En conséquence, comme vous l'avez déjà compris, lors de la comparaison de logarithmes, nous devons apporter à la même base, ou argument, Nous arrivons à la même base en utilisant la formule pour passer d'une base à une autre.
Vous pouvez également comparer les logarithmes avec un troisième nombre et, sur cette base, déduire ce qui est moins et ce qui est plus. Par exemple, réfléchissez à la façon de comparer ces deux logarithmes ?
Un petit indice - à titre de comparaison, le logarithme vous aidera beaucoup, dont l'argument sera égal.
Pensait? Décidons ensemble.
Nous pouvons facilement comparer ces deux logarithmes avec vous :
Vous ne savez pas comment ? Voir au dessus. Nous venons de le démonter. Quel signe y aura-t-il ? Droit:
Accepter?
Comparons les uns avec les autres :
Vous devriez obtenir ce qui suit :
Combinez maintenant toutes nos conclusions en une seule. Arrivé?
5. Comparaison d'expressions trigonométriques.
Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente ? A quoi sert le cercle unitaire et comment y trouver la valeur des fonctions trigonométriques ? Si vous ne connaissez pas les réponses à ces questions, je vous recommande fortement de lire la théorie sur ce sujet. Et si vous le savez, alors comparer des expressions trigonométriques entre elles n'est pas difficile pour vous !
Rafraîchissons-nous un peu la mémoire. Dessinons un cercle trigonométrique unitaire et un triangle inscrit dedans. Avez-vous réussi? Marquez maintenant de quel côté nous avons le cosinus, et sur quel sinus, en utilisant les côtés du triangle. (Bien sûr, vous vous souvenez que le sinus est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, et le cosinus du côté adjacent ?). Avez-vous dessiné? Amende! La touche finale - mettre où nous l'aurons, où et ainsi de suite. Déposer? Ouf) Comparez ce qui s'est passé entre moi et vous.
Phew! Commençons maintenant la comparaison !
Supposons que nous ayons besoin de comparer et . Dessinez ces angles en utilisant les indices dans les cases (où nous avons marqué où), en disposant les points sur le cercle unitaire. Avez-vous réussi? C'est ce que j'ai fait.
Abaissons maintenant la perpendiculaire des points que nous avons marqués sur le cercle à l'axe ... Lequel? Quel axe indique la valeur des sinus ? Droit, . Voici ce que vous devriez obtenir :
En regardant ce chiffre, qui est plus grand : ou ? Bien sûr, parce que le point est au-dessus du point.
De même, nous comparons la valeur des cosinus. On abaisse seulement la perpendiculaire sur l'axe... A droite, . En conséquence, nous regardons quel point est à droite (bien, ou plus haut, comme dans le cas des sinus), alors la valeur est plus grande.
Vous savez probablement déjà comment comparer des tangentes, n'est-ce pas ? Tout ce que vous devez savoir, c'est ce qui est tangent. Alors, qu'est-ce que la tangente ?) C'est vrai, le rapport du sinus au cosinus.
Pour comparer les tangentes, on trace également un angle, comme dans le cas précédent. Disons qu'il faut comparer :
Avez-vous dessiné? Maintenant, nous marquons également les valeurs du sinus sur l'axe des coordonnées. Noté? Et maintenant indiquez les valeurs du cosinus sur la ligne de coordonnées. Arrivé? Comparons:
Maintenant, analysez ce que vous avez écrit. - nous divisons un grand segment en un petit. La réponse sera une valeur exactement supérieure à un. Droit?
Et quand on divise le petit par le grand. La réponse sera un nombre qui est exactement inférieur à un.
Alors, quelle est la valeur de l'expression trigonométrique la plus grande ?
Droit:
Comme vous le comprenez maintenant, la comparaison des cotangentes est la même, mais en sens inverse : nous examinons comment les segments qui définissent le cosinus et le sinus sont liés les uns aux autres.
Essayez de comparer vous-même les expressions trigonométriques suivantes :
Exemples.
Réponses.
COMPARAISON DES CHIFFRES. NIVEAU MOYEN.
Lequel des nombres est le plus grand : ou ? La réponse est évidente. Et maintenant : ou ? Ce n'est plus si évident, n'est-ce pas ? Et donc : ou ?
Souvent, vous devez savoir laquelle des expressions numériques est la plus grande. Par exemple, lorsque vous résolvez une inéquation, placez les points sur l'axe dans le bon ordre.
Maintenant, je vais vous apprendre à comparer ces nombres.
Si vous avez besoin de comparer des nombres et, mettez un signe entre eux (dérivé du mot latin Versus ou abrégé vs. - contre):. Ce signe remplace le signe d'inégalité inconnue (). De plus, nous effectuerons des transformations identiques jusqu'à ce qu'il devienne clair quel signe doit être mis entre les nombres.
L'essence de la comparaison des nombres est la suivante : nous traitons le signe comme s'il s'agissait d'une sorte de signe d'inégalité. Et avec l'expression, on peut faire tout ce qu'on fait habituellement avec les inégalités :
- ajouter n'importe quel nombre aux deux parties (et soustraire, bien sûr, nous pouvons aussi)
- "déplacer tout dans une direction", c'est-à-dire soustraire l'une des expressions comparées des deux parties. A la place de l'expression soustraite restera : .
- multiplier ou diviser par le même nombre. Si ce nombre est négatif, le signe de l'inégalité est inversé : .
- Élevez les deux côtés à la même puissance. Si cette puissance est paire, vous devez vous assurer que les deux parties ont le même signe ; si les deux parties sont positives, le signe ne change pas lorsqu'il est élevé à une puissance, et s'ils sont négatifs, alors il change à l'opposé.
- prendre la racine du même degré des deux parties. Si nous extrayons la racine d'un degré pair, vous devez d'abord vous assurer que les deux expressions sont non négatives.
- toute autre transformation équivalente.
Important : il est souhaitable de faire les transformations de manière à ce que le signe de l'inégalité ne change pas ! C'est-à-dire qu'au cours des transformations, il n'est pas souhaitable de multiplier par un nombre négatif et il est impossible de mettre au carré si l'une des parties est négative.
Examinons quelques situations typiques.
1. Exponentiation.
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Puisque les deux côtés de l'inégalité sont positifs, nous pouvons mettre au carré pour nous débarrasser de la racine :
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Ici aussi, nous pouvons mettre au carré, mais cela ne nous aidera qu'à nous débarrasser de la racine carrée. Ici, il est nécessaire d'élever à un degré tel que les deux racines disparaissent. Cela signifie que l'exposant de ce degré doit être divisible à la fois par (le degré de la première racine) et par. Ce nombre est donc on l'élève à la puissance ème :
2. Multiplication par le conjugué.
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Multipliez et divisez chaque différence par la somme conjuguée :
Évidemment, le dénominateur de droite est supérieur au dénominateur de gauche. Par conséquent, la fraction de droite est inférieure à la gauche :
3. Soustraction
Rappelons-nous cela.
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Bien sûr, nous pourrions tout concilier, nous regrouper et nous concilier à nouveau. Mais vous pouvez faire quelque chose de plus intelligent :
On peut voir que chaque terme du côté gauche est inférieur à chaque terme du côté droit.
En conséquence, la somme de tous les termes du côté gauche est inférieure à la somme de tous les termes du côté droit.
Mais fais attention! On nous en a demandé plus...
Le côté droit est plus grand.
Exemple.
Comparez les nombres et.
Solution.
Rappelez-vous les formules de trigonométrie :
Vérifions dans quels quartiers les points et se situent sur le cercle trigonométrique.
4. Division.
Ici, nous utilisons également une règle simple : .
Avec ou, c'est.
Lorsque le signe change : .
Exemple.
Faire une comparaison : .
Solution.
5. Comparez les nombres avec le troisième nombre
Si et, alors (loi de transitivité).
Exemple.
Comparer.
Solution.
Comparons les nombres non pas entre eux, mais avec le nombre.
Il est évident que.
D'autre part, .
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Les deux nombres sont plus grands mais plus petits. Choisissez un nombre tel qu'il soit supérieur à un mais inférieur à l'autre. Par exemple, . Allons vérifier:
6. Que faire des logarithmes ?
Rien de spécial. Comment se débarrasser des logarithmes est décrit en détail dans la rubrique. Les règles de base sont :
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \coin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \coin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Nous pouvons également ajouter une règle sur les logarithmes avec des bases différentes et le même argument :
Cela peut s'expliquer ainsi : plus la base est grande, moins il faudra la soulever pour obtenir la même. Si la base est plus petite, alors l'inverse est vrai, puisque la fonction correspondante est monotone décroissante.
Exemple.
Comparez les nombres : i.
Solution.
Selon les règles ci-dessus :
Et maintenant la formule avancée.
La règle de comparaison des logarithmes peut aussi s'écrire plus court :
Exemple.
Quel est le plus : ou ?
Solution.
Exemple.
Comparez lequel des nombres est le plus grand : .
Solution.
COMPARAISON DES CHIFFRES. EN BREF SUR LE PRINCIPAL
1. Exponentation
Si les deux côtés de l'inégalité sont positifs, ils peuvent être élevés au carré pour se débarrasser de la racine
2. Multiplication par le conjugué
Un conjugué est un multiplicateur qui complète l'expression de la formule de la différence des carrés : - conjugué pour et inversement, car .
3. Soustraction
4. Division
À ou c'est
Lorsque le signe change :
5. Comparaison avec le troisième nombre
Si et alors
6. Comparaison des logarithmes
Règles de base:
Logarithmes avec des bases différentes et le même argument.
Sujet
Type de leçon
- étude et assimilation primaire de nouveau matériel
Objectifs de la leçon
Plan de cours
1. Introduction.
2. Partie théorique
3. Partie pratique.
4. Devoirs.
5. Questions
introduction
Voyons voir vidéo comment trier les nombres négatifs
Disposez maintenant les nombres négatifs et déchiffrez le sujet de la leçon :
Réponse : le mot "comparaison".
Partie théorique
Comparaison des nombres. des règles
Lorsque vous comparez deux nombres, la première chose à regarder est les signes des nombres comparés. Un nombre avec un moins (négatif) est toujours inférieur à un nombre positif.
Si les deux nombres comparés ont des signes moins (négatifs), alors nous devons comparer leurs modules, c'est-à-dire les comparer sans tenir compte des signes moins. Le nombre dont le module s'avère être supérieur est en réalité inférieur.
Par exemple -3 et -5. Les nombres comparés sont négatifs. Comparons donc leurs modules 3 et 5. 5 est supérieur à 3, donc -5 est inférieur à -3.
Si l'un des nombres comparés est zéro, alors le nombre négatif sera inférieur à zéro.
(-3 < 0) Et le positif est plus.
(3 > 0)
Vous pouvez également comparer des nombres à l'aide d'une ligne de coordonnées horizontales. Le nombre à gauche est inférieur au nombre à droite.
La règle inverse s'applique également. Un point avec une coordonnée plus grande, sur la ligne de coordonnées, est à droite qu'un point avec une coordonnée plus petite.
Par exemple, dans la figure, le point E est à droite du point A et sa coordonnée est plus grande. (5 > 1)
Comparaison d'entiers
Comparaison des valeurs absolues (modules) des nombres
Inégalités modulo
Partie pratique
Comparer des nombres sur une droite numérique
Tâches
1. Expliquez pourquoi :
-5 inférieur à -1,
-2 sur -16,
-25 est inférieur à 3,
0 de plus - 9.
2. Comparez :
les nombres sont affichés sur la ligne de coordonnées : 0 ; mais; dans; à partir de. Comparer:
1) a > 0 ; 2) dans< 0; 3) 0 >à partir de.
les nombres sont affichés sur la ligne de coordonnées : 0 ; mais; dans; à partir de. Comparez-les:
1) un > b ; 2) avec< а; 3) в < с.
3. Laquelle des inégalités est vraie ?
Les nombres a et b sont négatifs ; | un | > | dans |.
a) a > b ; b) un< в.
4. Comparez le module des nombres a et b.
Les nombres a et b sont négatifs ; mais< в.
5. Laquelle des inégalités est vraie ?
a est un nombre positif
c est un nombre négatif.
a) a > b ; b) un< в?
6. Comparez :
Devoirs
1. Comparez les chiffres
2. Calculer
3. Organisez les nombres par ordre croissant
Des questions
Que montre la coordonnée d'un point sur une droite ?
Qu'est-ce que le module d'un nombre d'un point de vue géométrique ?
Quel est le module d'un nombre positif ?
Quel est le module d'un nombre négatif ?
Quel est le module de zéro ?
La valeur absolue d'un nombre peut-elle être négative ?
Quel est le nombre opposé de 5 ?
Quel nombre est l'opposé de lui-même ?
Sortir
Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif.
De deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus grand est le plus petit.
Zéro est supérieur à tout nombre négatif, mais inférieur à tout nombre positif.
Sur une ligne de coordonnées horizontales, un point avec une plus grande coordonnée se trouve à droite d'un point avec une plus petite coordonnée.
Liste des sources utilisées
1. Encyclopédie mathématique (en 5 volumes). - M. : Encyclopédie soviétique, 2002. - T. 1.
2. "Le dernier guide des écoliers" "MAISON XXIe siècle" 2008
3. Résumé de la leçon sur le thème "Comparaison des nombres" Auteur: Petrova V.P., professeur de mathématiques (classes 5-9), Kiev
4. N.Ya. Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Mathématiques pour la 6e année, Manuel pour le lycée
Travail sur la leçon
Pautinka A.V.
Petrova V.P.
Compilé et édité par A.V. Pautinka
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