Cours en 6ème sur le sujet

"Décomposition en facteurs premiers»

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

Pour se faire une idée de la décomposition des nombres en facteurs premiers, la possibilité d'utiliser pratiquement l'algorithme correspondant.

Former les compétences et les capacités d'utiliser les signes de divisibilité lors de la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Développement:

Développer des compétences informatiques, la capacité de généraliser, d'analyser, d'identifier des modèles, de comparer.

Éducatif:

Cultiver l'attention, une culture de la pensée mathématique, une attitude sérieuse envers le travail éducatif.

Contenu de la leçon :

1. Compte rendu oral.

2. Répétition du matériel couvert.

3. Explication du nouveau matériel.

4. Fixation du matériel.

5. Réflexion.

6. Résumer la leçon.

Pendant les cours

Motivation (autodétermination) pour les activités d'apprentissage.

Introduction:

Bonjour gars. Le sujet de notre leçon est "Décomposition des nombres en facteurs premiers". Certains d'entre vous le connaissent déjà. Et afin de mieux fixer l'objectif de la leçon, nous travaillerons avec vous un peu à l'oral.

Agir (verbalement) .

Calculer:

1. 15x (325 -325) + 236x1 - 30 : 1 206

2. 207 - (0 x4376 -0:585) + 315 : 315 208

3. (60 - 0:60) + (150:1 -48x0) 210

4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212

Répétition du matériel étudié

Continuer la série résultante pour 3 numéros

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Choisissez parmi eux des nombres divisibles

sur : 2 (206 ; 208 ; 210 ; 212 ; 214 ; 216 ; 218)

par 3 : (210;216)

par 9: (216)

par 5 : (210)

par 4 : (208 ; 212 ; 216)

Formuler des signes de divisibilité

Des questions: 1. Quels nombres sont appelés premiers ?

2. Quels nombres sont appelés composés ?

3. Quel est le numéro 1 ?

4. Nommez tous les nombres premiers des deux premières dizaines.

5. Combien de nombres premiers?

6. Le nombre 32 est-il premier ?

7. Le nombre 73 est-il premier ?

Explication du nouveau matériel.

Résolvons un problème très intéressant.

Vécu, il y avait des ennuis et une grand-mère. Ils avaient un poulet Ryaba. Une poule pond un œuf d'or sur sept et un œuf d'argent sur trois. Est-ce que ça pourrait être?

(Réponse : non, car 21 testicules peuvent être d'or et d'argent) Pourquoi ?

Que devrions-nous apprendre dans la leçon d'aujourd'hui ? (Décomposer tous les nombres en facteurs premiers)

Pourquoi pensez-vous que nous avons besoin de cela? (pour résoudre des exemples plus complexes et également réduire les fractions)

Aujourd'hui, le sujet de notre leçon nous aidera à mieux comprendre et résoudre ces problèmes.

Résoudre le problème : Il est nécessaire d'attribuer un terrain rectangulaire d'une superficie de 18 mètres carrés. m., Quelles peuvent être les dimensions de cette aire, si elles doivent être exprimées en nombres naturels ?

Solution : 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3

2. 18= 2x9 = 2x3x3

3. 18=3x6 = 3x2x 3

Travailler en équipe de deux.

Qu'avons-nous fait? (Représenté sous forme de produit ou factorisé). Est-il possible de poursuivre la décomposition ? Mais comme ? Qu'est-ce que vous obtenez?

Question : que dire de ces multiplicateurs ?

Tous les facteurs sont des nombres premiers.

Ouvrez le manuel Que faut-il faire ? Qui peut m'expliquer comment c'est fait ? (Discussion en binôme)

A partir de l'exemple analysé, on décompose le nombre 84 en facteurs premiers (algorithme de décomposition) :

84 2 756 2 - le professeur montre au tableau.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3

Décomposez le nombre 756 en facteurs premiers. Comparez avec ma solution. Qu'avez-vous remarqué ?

À la page 194, trouvez la réponse à la question suivante ?

Tout nombre se décompose en un produit de facteurs premiers

la seule manière.

Consolidation du matériel étudié .

1. Factoriser les nombres : 20 ; 188 ; 254.

Allons vérifier diapositive 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5 ; 188 = 2²∙47 ; 254 = 2∙127.

Les cartes sont offertes à tous. Les élèves décident et vérifient avec l'original qui se trouve sur le bureau du professeur. Si vous l'avez bien fait, mettez-vous un signe plus dans le tableau croisé dynamique. (Résoudre par 3)

Numéro de carte 2. Factoriser les nombres : 30 ; 136 ; 438.

Numéro de carte 3. Factoriser les nombres : 40 ; 125 ; 326.

Numéro de carte 4. Factoriser les nombres : 50 ; 78; 285.

Numéro de carte 5. Factoriser les nombres : 60 ; 654 ; 99.

Numéro de carte 6. Factoriser les nombres : 70 ; 65; 136.

Une fois les travaux terminés, nous vérifierons.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5² ; 78 = 2∙3∙13 ; 285 = 3∙5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5 ; 654 = 2∙3∙109 ; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Résultat.

Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

(Décomposer entier naturel facteurs premiers signifie représenter un nombre comme un produit de nombres premiers.)

2) La décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers est-elle unique ?

(Quelle que soit la façon dont la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers est effectuée, on obtient sa factorisation unique, l'ordre des facteurs n'est pas pris en compte.)

Devoirs.

Décomposer 4 nombres quelconques en facteurs premiers.

Que signifie factoriser ? Comment faire? Que peut-on apprendre en décomposant un nombre en facteurs premiers ? Les réponses à ces questions sont illustrées par des exemples concrets.

Définitions :

Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs distincts.

Un nombre composé est un nombre qui a plus de deux diviseurs.

Factoriser un nombre naturel signifie le représenter comme un produit de nombres naturels.

Décomposer un nombre naturel en facteurs premiers signifie le représenter comme un produit de nombres premiers.

Remarques:

• Dans le développement d'un nombre premier, l'un des facteurs est égal à un et l'autre est égal à ce nombre lui-même.
• Cela n'a aucun sens de parler de décomposition de l'unité en facteurs.
• Un nombre composé peut être décomposé en facteurs dont chacun est différent de 1.

	Factorisons le nombre 150. Par exemple, 150 est égal à 15 fois 10. 15 est un nombre composé. Il peut être décomposé en facteurs premiers de 5 et 3. 10 est un nombre composé. Il peut être décomposé en facteurs premiers de 5 et 2. Après avoir noté leurs développements en facteurs premiers au lieu de 15 et 10, nous avons obtenu une décomposition du nombre 150.
	Le nombre 150 peut être factorisé d'une autre manière. Par exemple, 150 est le produit des nombres 5 et 30. 5 est un nombre premier. 30 est un nombre composé. Il peut être représenté par le produit de 10 et 3. 10 est un nombre composé. Il peut être décomposé en facteurs premiers de 5 et 2. Nous avons obtenu la décomposition du nombre 150 en facteurs premiers d'une manière différente.
	Notez que les première et deuxième extensions sont les mêmes. Ils ne diffèrent que par l'ordre des multiplicateurs. Il est d'usage d'écrire les facteurs par ordre croissant.
Tout nombre composé peut être décomposé en facteurs premiers de manière unique jusqu'à l'ordre des facteurs.

Lors de la décomposition de grands nombres en facteurs premiers, une entrée de colonne est utilisée :

	Le plus petit nombre premier par lequel 216 est divisible est 2. Divisez 216 par 2. Nous obtenons 108.
	Le nombre résultant 108 est divisible par 2. Faisons la division. Nous obtenons 54 en conséquence.
	Selon le test de divisibilité par 2, le nombre 54 est divisible par 2. Après division, on obtient 27.
	Le nombre 27 se termine par un nombre impair 7. Ce Non divisible par 2. Le prochain nombre premier est 3. Divisez 27 par 3. Nous obtenons 9. Le plus petit nombre premier Le nombre par lequel 9 est divisible est 3. Trois est lui-même un nombre premier, divisible par lui-même et par un. Divisons 3 par nous-mêmes. En conséquence, nous avons obtenu 1.

• Un nombre n'est divisible que par les nombres premiers qui font partie de son développement.
• Un nombre n'est divisible que par les nombres composés dont la décomposition en facteurs premiers est entièrement contenue en lui.

Prenons des exemples :

	4900 est divisible par les nombres premiers 2, 5 et 7 (ils sont inclus dans l'expansion du nombre 4900), mais n'est pas divisible, par exemple, par 13.
	11 550 75. Il en est ainsi parce que l'expansion du nombre 75 est entièrement contenue dans l'expansion du nombre 11550. Le résultat de la division sera le produit des facteurs 2, 7 et 11. 11550 n'est pas divisible par 4 car il y a un 2 supplémentaire dans l'expansion de 4.

Trouver le quotient de la division du nombre a par le nombre b, si ces nombres sont décomposés en facteurs premiers comme suit a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19 ; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	La décomposition du nombre b est entièrement contenue dans la décomposition du nombre a.
	Le résultat de la division de a par b est le produit des trois nombres restants dans le développement de a. Donc la réponse est : 30.

Bibliographie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Mathématiques 6.-M. : Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6e année. - Gymnase. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - M. : Lumières, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Tâches pour le cours de mathématiques de la 5e à la 6e année. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de la 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathématiques: Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du lycée. - M.: Education, Mathematics Teacher Library, 1989.

1. Portail Internet Matematika-na.ru ().
2. Portail Internet Math-portal.ru ().

Devoirs

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Mathématiques 6.-M. : Mnemozina, 2012. N°127, N°129, N°141.
2. Autres tâches : n° 133, n° 144.

Cet article donne des réponses à la question sur la factorisation d'un nombre dans des feuilles. Considérons une idée générale de décomposition avec des exemples. Analysons la forme canonique de la décomposition et son algorithme. Toutes les méthodes alternatives seront envisagées en utilisant les signes de divisibilité et la table de multiplication.

Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Reprenons la notion de facteurs premiers. On sait que tout facteur premier est un nombre premier. Dans un produit de la forme 2 7 7 23 nous avons que nous avons 4 facteurs premiers sous la forme 2 , 7 , 7 , 23 .

La factorisation implique sa représentation sous forme de produits de nombres premiers. Si vous devez décomposer le nombre 30, nous obtenons 2, 3, 5. L'entrée prendra la forme 30 = 2 3 5 . Il est possible que les multiplicateurs puissent être répétés. Un nombre comme 144 a 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Tous les nombres ne sont pas sujets à la décomposition. Les nombres supérieurs à 1 et qui sont des nombres entiers peuvent être factorisés. Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes lorsqu'ils sont décomposés, il est donc impossible de représenter ces nombres comme un produit.

Lorsque z fait référence à des nombres entiers, il est représenté comme un produit de a et b, où z est divisé par a et b. Les nombres composés sont décomposés en facteurs premiers à l'aide du théorème de base de l'arithmétique. Si le nombre est supérieur à 1, alors sa factorisation p 1 , p 2 , … , p n prend la forme a = p 1 , p 2 , … , p n . La décomposition est supposée dans une seule variante.

Décomposition canonique d'un nombre en facteurs premiers

Les facteurs peuvent être répétés lors de la décomposition. Ils sont écrits de manière compacte à l'aide d'un degré. Si, lors de la décomposition du nombre a, nous avons un facteur p 1 , qui se produit s 1 fois et ainsi de suite p n - s n fois. Ainsi, la décomposition prend la forme une=p 1 s 1 une = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Cette entrée s'appelle la décomposition canonique d'un nombre en facteurs premiers.

En décomposant le nombre 609840, on obtient que 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa forme canonique sera 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . En utilisant le développement canonique, vous pouvez trouver tous les diviseurs d'un nombre et leur nombre.

Pour factoriser correctement, vous devez avoir une compréhension des nombres premiers et composés. Le but est d'obtenir un nombre consécutif de diviseurs de la forme p 1 , p 2 , … , p n Nombres une , une 1 , une 2 , … , une n - 1, cela permet d'obtenir une = p 1 une 1, où a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, où a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. pn an , où une n = une n - 1 : p n. Dès réception un n = 1, alors l'égalité une = p 1 p 2 … p n on obtient la décomposition recherchée du nombre a en facteurs premiers. remarquerez que p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Pour trouver les plus petits diviseurs communs, vous devez utiliser la table des nombres premiers. Ceci est fait en utilisant l'exemple de trouver le plus petit diviseur premier du nombre z. En prenant les nombres premiers 2, 3, 5, 11 et ainsi de suite, et nous divisons le nombre z par eux. Puisque z n'est pas un nombre premier, gardez à l'esprit que le plus petit diviseur premier ne sera pas supérieur à z . On peut voir qu'il n'y a pas de diviseurs de z , alors il est clair que z est un nombre premier.

Exemple 1

Prenons l'exemple du nombre 87. Quand on le divise par 2, on a ça 87 : 2 \u003d 43 avec un reste de 1. Il s'ensuit que 2 ne peut pas être un diviseur, la division doit être faite entièrement. Divisé par 3, on obtient 87 : 3 = 29. D'où la conclusion - 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.

Lors de la décomposition en facteurs premiers, il est nécessaire d'utiliser une table de nombres premiers, où a. Lors de la décomposition de 95, environ 10 nombres premiers doivent être utilisés, et lors de la décomposition de 846653, environ 1000.

Considérons l'algorithme de factorisation premier :

• trouver le plus petit facteur avec un diviseur p 1 d'un nombre une par la formule a 1 \u003d a: p 1 quand a 1 \u003d 1, alors a est un nombre premier et est inclus dans la factorisation, lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a \u003d p 1 a 1 et suivez jusqu'au point ci-dessous ;
• trouver un diviseur premier p 2 de a 1 par énumération séquentielle de nombres premiers, en utilisant a 2 = a 1 : p 2 , quand un 2 = 1 , alors le développement prend la forme a = p 1 p 2 , quand a 2 \u003d 1, alors a \u003d p 1 p 2 a 2 , et nous passons à l'étape suivante ;
• itérer sur des nombres premiers et trouver un diviseur premier page 3 Nombres un 2 selon la formule a 3 \u003d a 2: p 3 quand a 3 \u003d 1 , alors on obtient que a = p 1 p 2 p 3 , lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a = p 1 p 2 p 3 a 3 et passez à l'étape suivante ;
• trouver un diviseur premier p n Nombres un n - 1 par énumération de nombres premiers avec p n - 1, ainsi que une n = une n - 1 : p n, où a n = 1 , l'étape est finale, par conséquent on obtient que a = p 1 p 2 … p n .

Le résultat de l'algorithme est écrit sous la forme d'un tableau avec des facteurs décomposés avec une barre verticale séquentiellement dans une colonne. Considérez la figure ci-dessous.

L'algorithme résultant peut être appliqué en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Lors de la factorisation en facteurs premiers, l'algorithme de base doit être suivi.

Exemple 2

Décomposer le nombre 78 en facteurs premiers.

Solution

Pour trouver le plus petit diviseur premier, il faut énumérer tous les nombres premiers dans 78 . C'est-à-dire 78 : 2 = 39. Division sans reste, c'est donc le premier diviseur premier, que nous notons p 1. Nous obtenons que a 1 = a : p 1 = 78 : 2 = 39. Nous sommes arrivés à une égalité de la forme a = p 1 a 1 , où 78 = 2 39 . Alors a 1 = 39 , c'est-à-dire que vous devez passer à l'étape suivante.

Concentrons-nous sur la recherche d'un diviseur premier p2 Nombres un 1 = 39. Vous devez trier les nombres premiers, c'est-à-dire 39 : 2 = 19 (1 restant). Comme la division a un reste, 2 n'est pas un diviseur. En choisissant le chiffre 3, on obtient que 39 : 3 = 13. Cela signifie que p 2 = 3 est le plus petit diviseur premier de 39 par a 2 = a 1 : p 2 = 39 : 3 = 13 . On obtient une égalité de la forme une = p 1 p 2 une 2 sous la forme 78 = 2 3 13 . Nous avons que a 2 = 13 n'est pas égal à 1 , alors nous devrions passer à autre chose.

Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 = 13 est trouvé par énumération de nombres, à partir de 3 . Nous obtenons que 13 : 3 = 4 (rest. 1). Cela montre que 13 n'est pas divisible par 5, 7, 11, car 13 : 5 = 2 (rest. 3), 13 : 7 = 1 (rest. 6) et 13 : 11 = 1 (rest. 2). On voit que 13 est un nombre premier. La formule ressemble à ceci : a 3 \u003d a 2 : p 3 \u003d 13 : 13 \u003d 1. Nous avons obtenu que a 3 = 1 , ce qui signifie la fin de l'algorithme. Maintenant, les facteurs sont écrits sous la forme 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Répondre: 78 = 2 3 13 .

Exemple 3

Décomposer le nombre 83 006 en facteurs premiers.

Solution

La première étape consiste à factoriser p 1 = 2 Et un 1 \u003d un : p 1 \u003d 83 006 : 2 \u003d 41 503, où 83 006 = 2 41 503 .

La deuxième étape suppose que 2 , 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers pour a 1 = 41503 mais 7 est un diviseur premier car 41503 : 7 = 5929 . Nous obtenons que p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1 : p 2 \u003d 41 503 : 7 \u003d 5 929. Évidemment, 83 006 = 2 7 5 929 .

Trouver le plus petit diviseur premier p 4 du nombre a 3 = 847 est 7 . On peut voir que a 4 \u003d a 3 : p 4 \u003d 847 : 7 \u003d 121, donc 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Pour trouver le diviseur premier du nombre a 4 = 121, nous utilisons le nombre 11, c'est-à-dire p 5 = 11. On obtient alors une expression de la forme un 5 \u003d un 4 : p 5 \u003d 121 : 11 \u003d 11, et 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Pour le numéro un 5 = 11 numéro p6 = 11 est le plus petit diviseur premier. D'où un 6 \u003d un 5 : p 6 \u003d 11 : 11 \u003d 1. Alors un 6 = 1 . Ceci indique la fin de l'algorithme. Les multiplicateurs s'écriront 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

La notation canonique de la réponse prendra la forme 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Répondre: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Exemple 4

Factorisez le nombre 897 924 289.

Solution

Pour trouver le premier facteur premier, parcourez les nombres premiers en commençant par 2. La fin de l' énumération tombe sur le nombre 937 . Alors p 1 = 937, a 1 = a : p 1 = 897 924 289 : 937 = 958 297 et 897 924 289 = 937 958 297.

La deuxième étape de l'algorithme consiste à énumérer des nombres premiers plus petits. Autrement dit, nous commençons par le nombre 937. Le nombre 967 peut être considéré comme premier, car c'est un diviseur premier du nombre a 1 = 958 297. De là, nous obtenons que p 2 \u003d 967, puis a 2 \u003d a 1 : p 1 \u003d 958 297 : 967 \u003d 991 et 897 924 289 \u003d 937 967 991.

La troisième étape indique que 991 est un nombre premier, car il n'a pas de diviseur premier inférieur ou égal à 991 . La valeur approximative de l'expression radicale est 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . De cela, on peut voir que p 3 \u003d 991 et a 3 \u003d a 2 : p 3 \u003d 991 : 991 \u003d 1. Nous obtenons que la décomposition du nombre 897 924 289 en facteurs premiers est obtenue sous la forme 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Répondre: 897 924 289 = 937 967 991 .

Utilisation des tests de divisibilité pour la factorisation première

Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, il faut suivre l'algorithme. Lorsqu'il y a de petits nombres, il est permis d'utiliser la table de multiplication et les signes de divisibilité. Regardons cela avec des exemples.

Exemple 5

S'il est nécessaire de factoriser 10, le tableau indique: 2 5 \u003d 10. Les nombres résultants 2 et 5 sont premiers, ils sont donc des facteurs premiers du nombre 10.

Exemple 6

S'il est nécessaire de décomposer le nombre 48, le tableau indique: 48 \u003d 6 8. Mais 6 et 8 ne sont pas des facteurs premiers, puisqu'ils peuvent aussi se décomposer en 6 = 2 3 et 8 = 2 4 . Ensuite, la décomposition complète à partir d'ici est obtenue sous la forme 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . La notation canonique prendra la forme 48 = 2 4 3 .

Exemple 7

Lors de la décomposition du nombre 3400, vous pouvez utiliser les signes de divisibilité. DANS ce cas les signes de divisibilité par 10 et par 100 sont pertinents. De là, nous obtenons que 3 400 = 34 100, où 100 peut être divisé par 10, c'est-à-dire écrit 100 = 10 10, ce qui signifie que 3 400 = 34 10 10. Sur la base du signe de divisibilité, nous obtenons que 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Tous les facteurs sont simples. Le développement canonique prend la forme 3400 = 2 3 5 2 17.

Quand on trouve des facteurs premiers, il faut utiliser les signes de divisibilité et la table de multiplication. Si vous représentez le nombre 75 comme un produit de facteurs, alors vous devez tenir compte de la règle de divisibilité par 5. Nous obtenons que 75 = 5 15 et 15 = 3 5 . Autrement dit, la décomposition souhaitée est un exemple de la forme du produit 75 = 5 · 3 · 5 .

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Tout nombre naturel peut être décomposé en un produit de facteurs premiers. Si vous n'aimez pas traiter avec de grands nombres comme 5733, apprenez à les factoriser en facteurs premiers (dans ce cas, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Une tâche similaire est souvent rencontrée en cryptographie, qui traite des problèmes de sécurité de l'information. Si vous n'êtes pas prêt à créer votre propre système de messagerie sécurisé, apprenez d'abord à diviser les nombres en facteurs premiers.

Pas

Partie 1

Recherche de facteurs premiers

1. Commencer avec numéro d'origine. Choisissez un nombre composé supérieur à 3. Cela n'a aucun sens de prendre un nombre premier, puisqu'il n'est divisible que par lui-même et un.

   • Exemple : on décompose le nombre 24 en un produit de nombres premiers.

2. Décomposons ce nombre en produit de deux facteurs. Trouvez deux nombres plus petits dont le produit est égal au nombre d'origine. Vous pouvez utiliser n'importe quel multiplicateur, mais il est plus facile de prendre des nombres premiers. Un bon moyen est d'essayer de diviser le nombre original d'abord par 2, puis par 3, puis par 5, et de voir par lequel de ces nombres premiers il est divisible.

   • Exemple : si vous ne connaissez pas les facteurs du nombre 24, essayez de le diviser par de petits nombres premiers. Vous constaterez donc que le nombre donné est divisible par 2 : 24 = 2 x 12. C'est un bon début.
   • Puisque 2 est un nombre premier, il est bon de l'utiliser pour décomposer des nombres pairs.

3. Commencez à construire un arbre multiplicateur. Cette procédure simple vous aidera à factoriser un nombre en facteurs premiers. Pour commencer, dessinez deux "branches" à partir du nombre d'origine. À la fin de chaque branche, écrivez les multiplicateurs trouvés.

   • Exemple:

4. Factoriser la rangée de nombres suivante. Jetez un œil aux deux nouveaux nombres (deuxième ligne de l'arbre multiplicateur). Sont-ils tous les deux des nombres premiers ? Si l'un d'eux n'est pas premier, divisez-le également en deux facteurs. Dessinez deux autres branches et écrivez deux nouveaux multiplicateurs sur la troisième ligne de l'arbre.

   • Exemple : 12 n'est pas un nombre premier, il doit donc être factorisé. On utilise la décomposition 12 = 2 x 6 et on l'écrit dans la troisième ligne de l'arbre :
   • 2x6

5. Continuez à descendre l'arbre. Si l'un des nouveaux facteurs s'avère être un nombre premier, dessinez-en une "branche" et écrivez le même nombre à sa fin. Les nombres premiers ne sont pas décomposés en facteurs plus petits, il suffit donc de les transférer au niveau inférieur.

   • Exemple : 2 est un nombre premier. Déplacez simplement le 2 de la deuxième à la troisième ligne :
   • 2 2 6

6. Continuez à factoriser les nombres jusqu'à ce qu'il ne vous reste plus que des nombres premiers. Vérifiez chaque nouvelle ligne de l'arbre. Si au moins un des nouveaux facteurs n'est pas un nombre premier, factorisez-le et écrivez une nouvelle ligne. Au final, il ne vous restera plus que des nombres premiers.

   • Exemple : 6 n'est pas un nombre premier, il doit donc également être factorisé. En même temps, 2 est un nombre premier, et nous portons deux 2 au niveau suivant :
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Écrivez la dernière ligne sous la forme d'un produit de facteurs premiers. Au final, il ne vous restera plus que des nombres premiers. Lorsque cela se produit, la factorisation première est terminée. La dernière ligne est un ensemble de nombres premiers dont le produit donne le nombre d'origine.

   • Vérifiez votre réponse : multipliez les nombres de la dernière ligne. Le résultat devrait être le numéro d'origine.
   • Exemple : La dernière ligne de l'arbre factoriel contient les nombres 2 et 3. Ces deux nombres sont premiers, donc le développement est terminé. Ainsi, la décomposition du nombre 24 en facteurs premiers a la forme suivante : 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
   • L'ordre des multiplicateurs n'a pas d'importance. Le développement peut aussi s'écrire 2 x 3 x 2 x 2.

8. Si vous le souhaitez, simplifiez votre réponse en utilisant la notation de puissance. Si vous êtes habitué à élever des nombres à une puissance, vous pouvez écrire votre réponse de manière plus simple. Rappelez-vous que la base est écrite ci-dessous et que le nombre en exposant indique combien de fois cette base doit être multipliée par elle-même.

   • Exemple : combien de fois le chiffre 2 apparaît-il dans l'expansion trouvée de 2 x 2 x 2 x 3 ? Trois fois, donc l'expression 2 x 2 x 2 peut s'écrire 2 3 . En notation simplifiée, on obtient 23x3.

   Partie 2

   Utilisation de la factorisation première

   1. Trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres. Le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres est le nombre maximal par lequel les deux nombres sont divisibles sans reste. L'exemple suivant montre comment utiliser la factorisation en nombres premiers pour trouver le plus grand diviseur commun de 30 et 36.

      • Décomposons les deux nombres en facteurs premiers. Pour le nombre 30, le développement est de 2 x 3 x 5. Le nombre 36 se décompose en facteurs premiers comme suit : 2 x 2 x 3 x 3.
      • Trouvez un nombre qui apparaît dans les deux développements. Nous barrons ce numéro dans les deux listes et l'écrivons sur une nouvelle ligne. Par exemple, 2 apparaît dans deux développements, nous écrivons donc 2 dans une nouvelle ligne. Après cela, il nous reste 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Répétez cette action jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs communs dans les expansions. Les deux listes incluent également le numéro 3, donc sur une nouvelle ligne, nous pouvons écrire 2 Et 3 . Après cela, comparez à nouveau les développements : 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Comme vous pouvez le voir, il n'y a plus de facteurs communs entre eux.
      • Pour trouver le plus grand diviseur commun, il faut trouver le produit de tous les facteurs communs. Dans notre exemple, ce sont 2 et 3, donc pgcd est 2 x 3 = 6 . Ce le plus grand nombre, par lequel les nombres 30 et 36 sont divisibles sans reste.

   2. GCD peut être utilisé pour simplifier des fractions. Si vous soupçonnez qu'une fraction peut être réduite, utilisez le plus grand diviseur commun. Utilisez la procédure ci-dessus pour trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur. Divisez ensuite le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce nombre. En conséquence, vous obtiendrez la même fraction sous une forme plus simple.

      • Par exemple, simplifions la fraction 30/36. Comme nous l'avons indiqué ci-dessus, pour 30 et 36 GCD est 6, nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 6 :
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Trouver le plus petit commun multiple de deux nombres. Le plus petit commun multiple (LCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui est également divisible par les deux nombres donnés. Par exemple, le LCM de 2 et 3 est 6 car c'est le plus petit nombre divisible par 2 et 3. Voici un exemple de recherche du LCM en utilisant la factorisation première :

      • On commence par deux factorisations en facteurs premiers. Par exemple, pour le nombre 126, le développement peut s'écrire 2 x 3 x 3 x 7. Le nombre 84 est décomposé en facteurs premiers sous la forme 2 x 2 x 3 x 7.
      • Comparons combien de fois chaque facteur apparaît dans les expansions. Choisissez la liste où le multiplicateur se produit le nombre maximum de fois, et encerclez cet endroit. Par exemple, le nombre 2 apparaît une fois dans l'expansion pour 126 et deux fois dans la liste pour 84, alors encerclez 2x2 dans la deuxième liste de multiplicateurs.
      • Répétez cette action pour chaque multiplicateur. Par exemple, 3 apparaît plus souvent dans la première extension, alors entourez-le 3x3. Le chiffre 7 apparaît une fois dans les deux listes, alors encerclez 7 (peu importe dans quelle liste, si le facteur donné apparaît dans les deux listes le même nombre de fois).
      • Pour trouver le LCM, multipliez tous les nombres encerclés. Dans notre exemple, le plus petit commun multiple de 126 et 84 est 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. C'est le plus petit nombre divisible par 126 et 84 sans reste.

   4. Utilisez LCM pour ajouter des fractions. Lorsque vous additionnez deux fractions, vous devez les amener à un dénominateur commun. Pour ce faire, trouvez le LCM de deux dénominateurs. Multipliez ensuite le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un nombre tel que les dénominateurs des fractions deviennent égaux au LCM. Après cela, vous pouvez ajouter des fractions.

      • Par exemple, vous devez trouver la somme de 1/6 + 4/21.
      • En utilisant la méthode ci-dessus, vous pouvez trouver le LCM pour 6 et 21. Il est égal à 42.
      • Transformez la fraction 1/6 pour que son dénominateur soit 42. Pour ce faire, divisez 42 par 6 : 42 ÷ 6 = 7. Multipliez maintenant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7 : 1/6 x 7/7 = 7/ 42.
      • Pour amener la seconde fraction au dénominateur 42, divisez 42 par 21 : 42 ÷ 21 = 2. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42.
      • Une fois les fractions réduites au même dénominateur, elles peuvent être facilement additionnées : 7/42 + 8/42 = 15/42.