Domanda allo scienziato: Ho sentito che la somma di tutti i numeri naturali è -1/12. È una specie di trucco o è vero?

Risposta del servizio stampa del MIPT- Sì, un tale risultato può essere ottenuto utilizzando una tecnica chiamata espansione di una funzione in una serie.

La domanda posta dal lettore è piuttosto complicata, e quindi non stiamo rispondendo con il solito testo per la rubrica "Domanda a uno scienziato" per diversi paragrafi, ma con una parvenza notevolmente semplificata di un articolo matematico.

Negli articoli scientifici sulla matematica, dove è richiesto di dimostrare qualche teorema complesso, la storia è divisa in più parti e in esse possono essere dimostrate varie affermazioni ausiliarie una per una. Partiamo dal presupposto che i lettori abbiano familiarità con il corso di matematica all'interno delle nove classi, quindi ci scusiamo in anticipo con coloro che trovano la storia troppo semplice: i laureati possono immediatamente rivolgersi a http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation .

Somma totale

Iniziamo parlando di come puoi sommare tutti i numeri naturali. I numeri naturali sono numeri usati per contare oggetti solidi: sono tutti interi e non negativi. Sono i numeri naturali che i bambini imparano prima di tutto: 1, 2, 3 e così via. La somma di tutti i numeri naturali sarà un'espressione della forma 1+2+3+... = e così via all'infinito.

La serie dei numeri naturali è infinita, è facile dimostrarlo: dopo tutto, a un numero arbitrariamente grande si può sempre sommare. O anche moltiplicare questo numero per se stesso, o addirittura calcolarne il fattoriale: è chiaro che risulterà un valore ancora più grande, che sarà anche un numero naturale.

Tutte le operazioni con valori infinitamente grandi vengono trattate in dettaglio nel corso dell'analisi matematica, ma ora, per essere comprese da coloro che non hanno ancora superato questo corso, semplificheremo in qualche modo l'essenza. Diciamo che l'infinito, a cui si è aggiunto uno, l'infinito, che era al quadrato o fattoriale dell'infinito, è tutto anche infinito. Possiamo presumere che l'infinito sia un oggetto matematico così speciale.

E secondo tutte le regole dell'analisi matematica nell'ambito del primo semestre, anche la somma 1+2+3+...+infinito è infinita. Questo è facile da capire dal paragrafo precedente: se aggiungi qualcosa all'infinito, sarà ancora l'infinito.

Tuttavia, nel 1913, il brillante matematico indiano autodidatta Srinivasa Ramanujan Iyengor escogitò un modo per sommare i numeri naturali in un modo leggermente diverso. Nonostante Ramanujan non avesse ricevuto un'istruzione speciale, la sua conoscenza non si limitava al corso scolastico di oggi: il matematico sapeva dell'esistenza della formula di Eulero-Maclaurin. Dal momento che svolge un ruolo importante nell'ulteriore narrazione, dovrà anche essere raccontata in modo più dettagliato.

Formula di Eulero-Maclaurina

Iniziamo scrivendo questa formula:

Come puoi vedere, è piuttosto complesso. Alcuni lettori possono saltare completamente questa sezione, altri possono leggere i relativi libri di testo o almeno l'articolo di Wikipedia, e per il resto daremo un breve commento. Il ruolo chiave nella formula è svolto da una funzione arbitraria f(x), che può essere quasi qualsiasi cosa, purché abbia un numero sufficiente di derivate. Per coloro che non hanno familiarità con questo concetto matematico (e hanno comunque deciso di leggere ciò che è stato scritto qui!), diciamo ancora più semplice: il grafico della funzione non dovrebbe essere una linea che si interrompe bruscamente in nessun punto.

La derivata di una funzione, se il suo significato è estremamente semplificato, è un valore che mostra quanto velocemente la funzione cresce o diminuisce. Da un punto di vista geometrico, la derivata è la tangente della pendenza della tangente al grafo.

Sul lato sinistro della formula è la somma della forma “il valore di f(x) al punto m + il valore di f(x) al punto m+1 + il valore di f(x) al punto m+2 e così via fino al punto m+n”. Inoltre, i numeri m ed n sono naturali, questo va sottolineato in modo particolare.

Sulla destra vediamo diversi termini e sembrano molto ingombranti. Il primo (termina con dx) è l'integrale della funzione dal punto m al punto n. A rischio di incorrere nell'ira di tutti

Il terzo termine è la somma dei numeri di Bernoulli (B 2k) divisa per il fattoriale del valore doppio del numero k e moltiplicata per la differenza tra le derivate della funzione f(x) nei punti n ed m. Inoltre, ciò che complica ancora di più, qui non è solo una derivata, ma una derivata di ordine 2k-1. Cioè, l'intero terzo termine è simile a questo:

Il numero di Bernoulli B 2 ("2" poiché nella formula c'è 2k, e iniziamo ad aggiungere da k=1) viene diviso per il fattoriale 2 (per ora sono solo due) e moltiplicato per la differenza delle derivate del primo ordine (2k-1 con k=1) funzioni f(x) nei punti n e m

Il numero di Bernoulli B 4 ("4" poiché 2k è nella formula e k è ora uguale a 2) viene diviso per il fattoriale 4 (1 × 2x3 × 4 \u003d 24) e moltiplicato per la differenza delle derivate del terzo ordine (2k-1 con k \u003d 2) funzioni f(x) nei punti n e m

Il numero di Bernoulli B 6 (vedi sopra) è diviso per il fattoriale 6 (1×2×3×4×5×6=720) e moltiplicato per la differenza delle derivate di quinto ordine (2k-1 per k=3) della funzione f( x) ai punti n e m

La somma continua fino a k=p. I numeri k e p sono ottenuti da alcuni valori arbitrari, che possiamo scegliere in diversi modi, insieme a m e n - numeri naturali, che limitano l'area che stiamo considerando con la funzione f (x). Cioè, ci sono fino a quattro parametri nella formula e questo, insieme all'arbitrarietà della funzione f (x), apre molto spazio alla ricerca.

La restante modesta R, purtroppo, non è qui una costante, ma anche una costruzione piuttosto ingombrante, espressa nei termini dei numeri di Bernoulli già menzionati sopra. Ora è il momento di spiegare di cosa si tratta, da dove viene e perché in generale i matematici hanno iniziato a considerare espressioni così complesse.

Numeri di Bernoulli ed espansioni di serie

Nell'analisi matematica, esiste un concetto chiave come l'espansione in serie. Ciò significa che puoi prendere una funzione e scriverla non direttamente (ad esempio, y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), ma come somma infinita di un insieme di termini dello stesso tipo . Ad esempio, molte funzioni possono essere rappresentate come una somma di funzioni di potenza moltiplicata per alcuni coefficienti, ovvero un grafico di forma complessa verrà ridotto a una combinazione di curve lineari, quadratiche, cubiche... e così via.

Nella teoria dell'elaborazione del segnale elettrico, la cosiddetta serie di Fourier gioca un ruolo enorme: qualsiasi curva può essere espansa in una serie di seni e coseni di periodi diversi; tale scomposizione è necessaria per convertire il segnale del microfono in una sequenza di zeri e uno all'interno, diciamo, del circuito elettronico di un telefono cellulare. Le espansioni in serie consentono anche di considerare funzioni non elementari e alcune delle più importanti equazioni fisiche, una volta risolte, danno espressioni sotto forma di serie e non sotto forma di una combinazione finita di funzioni.

Nel XVII secolo, i matematici iniziarono a lavorare a stretto contatto con la teoria delle serie. Un po 'più tardi, ciò ha permesso ai fisici di calcolare in modo efficiente i processi di riscaldamento di vari oggetti e risolvere molti altri problemi che non considereremo qui. Notiamo solo che nel programma MIPT, così come nei corsi di matematica di tutte le principali università di fisica, almeno un semestre è dedicato alle equazioni con soluzioni sotto forma di una o l'altra serie.

Jacob Bernoulli ha studiato il problema della somma dei numeri naturali nella stessa misura (1^6 + 2^6 + 3^6 + ... per esempio) e ha ottenuto numeri che possono essere utilizzati per espandere altre funzioni nelle serie di potenze sopra menzionate - per esempio, tg(x). Anche se, sembrerebbe, la tangente non è molto simile almeno a una parabola, almeno a qualsiasi funzione di potenza!

I polinomi di Bernoulli trovarono in seguito la loro applicazione non solo nelle equazioni della fisica matematica, ma anche nella teoria della probabilità. Questo, in generale, è prevedibile (dopotutto, alcuni processi fisici, come il moto browniano o il decadimento dei nuclei, sono dovuti proprio a vari tipi di incidenti), ma merita comunque una menzione speciale.

L'ingombrante formula di Eulero-Maclaurin è stata utilizzata dai matematici per vari scopi. Poiché, da un lato, contiene la somma dei valori delle funzioni in determinati punti, e dall'altro, ci sono sia integrali che espansioni in serie, usando questa formula è possibile (a seconda di ciò che sappiamo) come prendere un integrale complesso e determinare la somma delle serie.

Srinivasa Ramanujan ha presentato un'altra domanda per questa formula. Lo modificò un po' e ottenne la seguente espressione:

In funzione di f(x), ha considerato semplicemente x - sia f(x) = x, questa è un'ipotesi del tutto legittima. Ma per questa funzione, la derivata prima è semplicemente uguale a uno, e la seconda e tutte le derivate successive sono uguali a zero: se tutto viene accuratamente sostituito nell'espressione sopra e vengono determinati i corrispondenti numeri di Bernoulli, allora esattamente -1/12 sarà rivelarsi.

Questo, ovviamente, è stato considerato dallo stesso matematico indiano come qualcosa di straordinario. Poiché non era solo un autodidatta, ma un talentuoso autodidatta, non raccontò a tutti della scoperta che correggeva i fondamenti della matematica, ma scrisse invece una lettera a Godfrey Hardy, un esperto riconosciuto nel campo di entrambi i numeri teoria e analisi matematica. A proposito, la lettera conteneva una nota che Hardy avrebbe probabilmente voluto indicare all'autore dell'ospedale psichiatrico più vicino: tuttavia, il risultato, ovviamente, non fu un ospedale, ma un lavoro congiunto.

Paradosso

Riassumendo tutto quanto sopra, otteniamo quanto segue: la somma di tutti i numeri naturali è uguale a −1/12 quando si utilizza una formula speciale che consente di espandere una funzione arbitraria in una serie con coefficienti chiamati numeri di Bernoulli. Tuttavia, ciò non significa che 1+2+3+4 risulti maggiore di 1+2+3+... e così via all'infinito. In questo caso si tratta di un paradosso, dovuto al fatto che l'espansione in serie è una sorta di approssimazione e semplificazione.

Si può fare un esempio di un paradosso matematico molto più semplice ed evidente associato all'espressione di una cosa in termini di qualcos'altro. Prendiamo un foglio di carta in una scatola e tracciamo una linea a gradini con la larghezza e l'altezza del gradino in una cella. La lunghezza di una tale linea, ovviamente, è uguale al doppio del numero di celle - ma la lunghezza della diagonale che raddrizza la "scala" è uguale al numero di celle moltiplicato per la radice di due. Se fai la scala molto piccola, sarà sempre della stessa lunghezza e la linea spezzata, praticamente indistinguibile dalla diagonale, sarà alla radice di due volte la stessa diagonale! Come puoi vedere, per esempi paradossali non è necessario scrivere formule lunghe e complesse.

La formula di Eulero-Maclaurin, se non ti addentri nell'analisi matematica, è la stessa approssimazione di una linea spezzata invece di una linea retta. Usando questa approssimazione, puoi ottenere lo stesso −1/12, ma questo è tutt'altro che sempre appropriato e giustificato. In una serie di problemi di fisica teorica, tali calcoli vengono utilizzati per i calcoli, ma questa è l'avanguardia della ricerca, in cui è troppo presto per parlare della corretta rappresentazione della realtà mediante astrazioni matematiche e discrepanze tra i diversi calcoli con ciascuno altri sono abbastanza comuni.

Pertanto, le stime della densità di energia del vuoto basate sulla teoria quantistica dei campi e basate su osservazioni astrofisiche differiscono di oltre 120 ordini di grandezza. Questo è 10^120 tempi di alimentazione. Questo è uno dei problemi irrisolti della fisica moderna; qui risplende chiaramente attraverso una lacuna nella nostra conoscenza dell'universo. Oppure il problema è la mancanza di metodi matematici adeguati per descrivere il mondo che ci circonda. I fisici teorici, insieme ai matematici, stanno cercando di trovare modi per descrivere processi fisici in cui non ci saranno serie divergenti (che vanno all'infinito), ma questo è tutt'altro che un compito facile.

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Definizione. Interi- questi sono i numeri che servono per il conteggio: 1, 2, 3, ..., n, ...

L'insieme dei numeri naturali è solitamente indicato dal simbolo N(dal lat. naturalis- naturale).

I numeri naturali nel sistema dei numeri decimali vengono scritti utilizzando dieci cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

L'insieme dei numeri naturali è insieme ordinato, cioè. per ogni numero naturale m e n, vale una delle seguenti relazioni:

• oppure m = n (m è uguale a n ),
• oppure m > n (m è maggiore di n ),
• o m< n (m меньше n ).

• Meno naturale numero - unità (1)
• Non esiste un numero naturale più grande.
• Zero (0) non è un numero naturale.

L'insieme dei numeri naturali è infinito, poiché per ogni numero n esiste sempre un numero m maggiore di n

Dei numeri naturali vicini viene chiamato il numero che sta a sinistra del numero n il numero precedente n e viene chiamato il numero a destra seguente n.

Operazioni sui numeri naturali

Le operazioni chiuse sui numeri naturali (operazioni risultanti in numeri naturali) includono le seguenti operazioni aritmetiche:

• Aggiunta
• Moltiplicazione
• Esponenziale a b , dove a è la base della potenza e b è l'esponente. Se la base e l'esponente sono numeri naturali, il risultato sarà un numero naturale.

Inoltre, vengono considerate altre due operazioni. Da un punto di vista formale, non sono operazioni su numeri naturali, poiché il loro risultato non sarà sempre un numero naturale.

• Sottrazione(Allo stesso tempo, il ridotto deve essere maggiore del sottratto)
• Divisione

Classi e gradi

Scarico - la posizione (posizione) di una cifra in una voce numerica.

Il grado più basso è quello a destra. L'ordine più alto è quello più a sinistra.

Esempio:

5 - unità, 0 - decine, 7 - centinaia,
2 - migliaia, 4 - decine di migliaia, 8 - centinaia di migliaia,
3 - milioni, 5 - decine di milioni, 1 - centinaia di milioni

Per facilità di lettura, i numeri naturali sono divisi in gruppi di tre cifre ciascuno, partendo da destra.

Classe- un gruppo di tre cifre in cui è suddiviso il numero, partendo da destra. L'ultima classe può essere di tre, due o una cifra.

• La prima classe è la classe delle unità;
• La seconda classe è la classe delle migliaia;
• La terza classe è la classe di milioni;
• La quarta classe è la classe dei miliardi;
• La quinta classe è la classe dei trilioni;
• La sesta classe è la classe dei quadrilioni (quadrilioni);
• La settima classe è la classe dei quintilioni (quintilioni);
• L'ottava classe è la classe del sestilione;
• La nona classe è la classe dei septillons;

Esempio:

34 - miliardi 456 milioni 196 mila 45

Confronto di numeri naturali

1. Confronto di numeri naturali con diverso numero di cifre

   Tra i numeri naturali, quello con più cifre è maggiore

2. Confronto di numeri naturali con lo stesso numero di cifre

   Confronta i numeri un po' alla volta, iniziando dalla cifra più significativa. Più di quello, che ha più unità nella cifra più alta con lo stesso nome

Esempio:

3466 > 346 - poiché il numero 3466 è composto da 4 cifre e il numero 346 è composto da 3 cifre.

34666 < 245784 - perché 34666 ha 5 cifre e 245784 ha 6 cifre.

Esempio:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Il secondo numero naturale con lo stesso numero di cifre è maggiore perché 6 > 2.

Il numero più semplice è numero naturale. Sono usati nella vita di tutti i giorni per contare oggetti, ad es. per calcolare il loro numero e l'ordine.

Che cos'è un numero naturale: numeri naturali nominare i numeri utilizzati per conteggio articoli o per indicare il numero di serie di un qualsiasi articolo tra tutti omogenei Oggetti.

Interisono numeri che iniziano da uno. Si formano naturalmente durante il conteggio.Ad esempio, 1,2,3,4,5... -primi numeri naturali.

numero naturale più piccolo- uno. Non esiste un numero naturale più grande. Quando si conta il numero zero non viene utilizzato, quindi zero è un numero naturale.

serie naturale di numeriè la successione di tutti i numeri naturali. Scrivi i numeri naturali:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

In numeri naturali, ogni numero è uno in più del precedente.

Quanti numeri ci sono nella serie naturale? La serie naturale è infinita, non esiste il numero naturale più grande.

Decimale poiché 10 unità di qualsiasi categoria formano 1 unità dell'ordine più alto. posizionale così come il valore di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero, ad es. dalla categoria in cui è registrato.

Classi di numeri naturali.

Qualsiasi numero naturale può essere scritto utilizzando 10 numeri arabi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Per leggere i numeri naturali, vengono divisi, partendo da destra, in gruppi di 3 cifre ciascuno. 3 prima i numeri a destra sono la classe delle unità, i prossimi 3 sono la classe delle migliaia, poi le classi dei milioni, miliardi eeccetera. Ciascuna delle cifre della classe è chiamata suascarico.

Confronto di numeri naturali.

Dei 2 numeri naturali, il numero chiamato prima nel conteggio è minore. Per esempio, numero 7 più piccola 11 (scritto così:7 < 11 ). Quando un numero è maggiore del secondo, si scrive così:386 > 99 .

Tabella di cifre e classi di numeri.

Unità di 1a classe	1a cifra dell'unità 2° posto dieci 3° grado centinaia
2a classe mille	Unità della prima cifra di migliaia 2a cifra decine di migliaia 3° grado centinaia di migliaia
Milioni di terza elementare	Milioni di unità di prima cifra 2a cifra decine di milioni 3a cifra centinaia di milioni
miliardi di quarta elementare	miliardi di unità di prima cifra Decine di miliardi di seconda cifra 3a cifra centinaia di miliardi

I numeri dalla quinta elementare in su sono numeri grandi. Unità della 5a classe - trilioni, 6a classe - quadrilioni, 7a classe - quintilioni, 8a classe - sestilioni, 9a classe - eptillions. Proprietà di base dei numeri naturali. Commutatività dell'addizione . a + b = b + a Commutatività della moltiplicazione. ab=ba Associatività dell'addizione. (a + b) + c = a + (b + c) Associatività della moltiplicazione. Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione: Azioni sui numeri naturali. 4. La divisione dei numeri naturali è un'operazione inversa alla moltiplicazione. Se un b ∙ c \u003d a, poi Formule di divisione: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (un∙ b) : c = (a:c) ∙ b (un∙ b) : c = (b:c) ∙ a Espressioni numeriche e uguaglianze numeriche. Una notazione in cui i numeri sono collegati da segni di azione è espressione numerica. Ad esempio, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Le voci in cui il segno di uguale concatena 2 espressioni numeriche è uguaglianze numeriche. L'uguaglianza ha un lato sinistro e un lato destro. L'ordine in cui vengono eseguite le operazioni aritmetiche. L'addizione e la sottrazione di numeri sono operazioni di primo grado, mentre la moltiplicazione e la divisione sono operazioni di secondo grado. Quando un'espressione numerica è composta da azioni di un solo grado, vengono eseguite in sequenza da sinistra a destra. Quando le espressioni sono costituite solo da azioni di primo e secondo grado, le azioni vengono prima eseguite secondo grado, e poi - azioni di primo grado. Quando sono presenti parentesi nell'espressione, le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime. Ad esempio, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Interi molto familiare e naturale per noi. E questo non sorprende, poiché la loro conoscenza inizia dai primi anni della nostra vita a livello intuitivo.

Le informazioni in questo articolo creano una comprensione di base dei numeri naturali, ne rivelano lo scopo, instillano le abilità di scrittura e lettura dei numeri naturali. Per una migliore assimilazione del materiale, vengono forniti gli esempi e le illustrazioni necessari.

Navigazione della pagina.

I numeri naturali sono una rappresentazione generale.

Il seguente parere non è privo di sana logica: la comparsa del problema del conteggio degli oggetti (primo, secondo, terzo oggetto, ecc.) e il problema dell'indicazione del numero di oggetti (uno, due, tre oggetti, ecc.) ha portato alla creazione di uno strumento per la sua soluzione, questo strumento è stato numeri interi.

Questa proposta mostra scopo principale dei numeri naturali- portare informazioni sul numero di qualsiasi articolo o sul numero di serie di un determinato articolo nell'insieme di articoli considerato.

Affinché una persona possa utilizzare i numeri naturali, devono essere accessibili in qualche modo, sia per la percezione che per la riproduzione. Se suoni ogni numero naturale, diventerà percepibile a orecchio e se rappresenti un numero naturale, allora può essere visto. Questi sono i modi più naturali per trasmettere e percepire i numeri naturali.

Quindi iniziamo ad acquisire le capacità di raffigurare (scrivere) e le capacità di esprimere (leggere) i numeri naturali, mentre apprendiamo il loro significato.

Notazione decimale per un numero naturale.

Innanzitutto, dovremmo decidere su cosa costruiremo quando scriviamo i numeri naturali.

Memorizziamo le immagini dei seguenti personaggi (ve li mostriamo separati da virgole): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Le immagini mostrate sono una registrazione del cosiddetto numeri. Accettiamo subito di non capovolgere, inclinare o altrimenti distorcere i numeri durante la scrittura.

Ora siamo d'accordo che solo le cifre indicate possono essere presenti nella notazione di qualsiasi numero naturale e nessun altro simbolo può essere presente. Siamo anche d'accordo sul fatto che le cifre nella notazione di un numero naturale hanno la stessa altezza, sono disposte in una riga una dopo l'altra (senza rientri quasi), e sulla sinistra c'è una cifra diversa dalla cifra 0 .

Ecco alcuni esempi della corretta notazione dei numeri naturali: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (nota: i rientri tra i numeri non sono sempre gli stessi, di più su questo verrà discusso durante la revisione). Dagli esempi precedenti, si può vedere che un numero naturale non contiene necessariamente tutte le cifre 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; alcune o tutte le cifre coinvolte nella scrittura di un numero naturale possono essere ripetute.

Inserimenti 014 , 0005 , 0 , 0209 non sono record di numeri naturali, poiché c'è una cifra a sinistra 0 .

Viene chiamata la registrazione di un numero naturale, effettuata tenendo conto di tutti i requisiti descritti nel presente paragrafo notazione decimale di un numero naturale.

Inoltre non faremo distinzione tra i numeri naturali e la loro notazione. Chiariamo questo: più avanti nel testo, frasi come “dato un numero naturale 582 ", il che significherà che è dato un numero naturale, la cui notazione ha la forma 582 .

Numeri naturali nel senso del numero di oggetti.

È tempo di affrontare il significato quantitativo che porta il numero naturale registrato. Il significato dei numeri naturali in termini di numerazione degli oggetti è considerato nell'articolo Confronto dei numeri naturali.

Cominciamo con i numeri naturali, le cui voci coincidono con le voci delle cifre, cioè con i numeri 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 .

Immagina di aver aperto gli occhi e di aver visto un oggetto, per esempio, come questo. In questo caso, possiamo scrivere ciò che vediamo 1 cosa. Il numero naturale 1 si legge come " uno"(declinazione del numero "uno", così come altri numeri, daremo nel paragrafo), per il numero 1 adottato un altro nome - " unità».

Tuttavia, il termine "unità" è multivalore, oltre al numero naturale 1 , sono chiamati qualcosa che è considerato nel suo insieme. Ad esempio, qualsiasi elemento del loro set può essere chiamato un'unità. Ad esempio, ogni mela tra molte mele è una, ogni stormo di uccelli tra molti stormi di uccelli è anche uno, e così via.

Ora apriamo gli occhi e vediamo: Cioè, vediamo un oggetto e un altro oggetto. In questo caso, possiamo scrivere ciò che vediamo 2 soggetto. Numero naturale 2 , si legge come " Due».

Allo stesso modo, - 3 soggetto (leggi " tre" soggetto), - 4 (« quattro"") del soggetto, - 5 (« cinque»), - 6 (« sei»), - 7 (« Sette»), - 8 (« otto»), - 9 (« nove") Oggetti.

Quindi, dalla posizione considerata, i numeri naturali 1 , 2 , 3 , …, 9 indicare importo Oggetti.

Un numero la cui notazione corrisponde alla notazione di una cifra 0 , chiamata " zero". Il numero zero NON è un numero naturale, tuttavia viene generalmente considerato insieme ai numeri naturali. Ricorda: zero significa assenza di qualcosa. Ad esempio, zero articoli non è un singolo articolo.

Nei successivi paragrafi dell'articolo, continueremo a svelare il significato dei numeri naturali in termini di indicazione della quantità.

numeri naturali a una cifra.

Ovviamente, il record di ciascuno dei numeri naturali 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 consiste di un segno - una cifra.

Definizione.

Numeri naturali a una cifra sono numeri naturali, il cui record è costituito da un segno - una cifra.

Elenchiamo tutti i numeri naturali a una cifra: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ci sono nove numeri naturali a una cifra.

Numeri naturali a due e tre cifre.

Innanzitutto, diamo una definizione di numeri naturali a due cifre.

Definizione.

Numeri naturali a due cifre- questi sono numeri naturali, il cui record è di due caratteri - due cifre (diverse o uguali).

Ad esempio, un numero naturale 45 - due cifre, numeri 10 , 77 , 82 anche a due cifre 5 490 , 832 , 90 037 - non a doppia cifra.

Scopriamo insieme quale significato portano i numeri a due cifre, mentre partiremo dal significato quantitativo dei numeri naturali a una cifra già a noi noti.

Innanzitutto, introduciamo il concetto dieci.

Immaginiamo una situazione del genere: abbiamo aperto gli occhi e abbiamo visto un set composto da nove oggetti e un altro oggetto. In questo caso se ne parla 1 dieci (una dozzina) articoli. Se si considerano insieme un dieci e un altro dieci, allora si parla 2 decine (due decine). Se aggiungiamo altre dieci o due decine, avremo tre decine. Continuando questo processo, otterremo quattro decine, cinque decine, sei decine, sette decine, otto decine e infine nove decine.

Ora possiamo passare all'essenza dei numeri naturali a due cifre.

Per fare ciò, considera un numero a due cifre come due numeri a una cifra: uno è a sinistra nella notazione di un numero a due cifre, l'altro è a destra. Il numero a sinistra indica il numero di decine e il numero a destra indica il numero di unità. Inoltre, se è presente una cifra a destra nel record di un numero a due cifre 0 , allora questo significa l'assenza di unità. Questo è il punto centrale dei numeri naturali a due cifre in termini di indicazione dell'importo.

Ad esempio, un numero naturale a due cifre 72 corrisponde 7 decine e 2 unità (cioè 72 mele è un insieme di sette dozzine di mele e altre due mele) e il numero 30 risposte 3 decine e 0 non ci sono unità, cioè unità che non sono unite in decine.

Rispondiamo alla domanda: "Quanti numeri naturali a due cifre esistono"? Rispondi a loro 90 .

Passiamo alla definizione di numeri naturali a tre cifre.

Definizione.

Numeri naturali la cui notazione è composta da 3 segni - 3 vengono richiamate le cifre (diverse o ripetute). tre cifre.

Esempi di numeri naturali a tre cifre sono 372 , 990 , 717 , 222 . Interi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 non sono tre cifre.

Per comprendere il significato inerente ai numeri naturali a tre cifre, abbiamo bisogno del concetto centinaia.

Un insieme di dieci decine è 1 cento (cento). Centocento è 2 centinaia. Duecento e altri cento fa trecento. E così via, abbiamo quattrocento, cinquecento, seicento, settecento, ottocento e infine novecento.

Consideriamo ora un numero naturale a tre cifre come tre numeri naturali a una cifra, uno dopo l'altro da destra a sinistra nella notazione di un numero naturale a tre cifre. Il numero a destra indica il numero di unità, il numero successivo indica il numero di decine, il numero successivo il numero di centinaia. Numeri 0 nel record di un numero di tre cifre si intende l'assenza di decine e (o) uno.

Quindi, un numero naturale a tre cifre 812 corrisponde 8 centinaia 1 primi dieci e 2 unità; numero 305 - trecento 0 decine, cioè decine non combinate in centinaia, no) e 5 unità; numero 470 - quattrocentosette decine (non ci sono unità che non siano combinate in decine); numero 500 - cinquecento (decine non combinate in centinaia e unità non combinate in decine, no).

Allo stesso modo, è possibile definire quattro cifre, cinque cifre, sei cifre e così via. numeri naturali.

Numeri naturali multivalore.

Passiamo quindi alla definizione di numeri naturali multivalore.

Definizione.

Numeri naturali multivalore- questi sono numeri naturali, il cui record è composto da due o tre o quattro, ecc. segni. In altre parole, i numeri naturali a più cifre sono a due cifre, tre cifre, quattro cifre, ecc. numeri.

Diciamo subito che l'insieme composto da diecicento lo è mille, millemila sono un milione, mille milioni sono un miliardo, mille miliardi sono mille miliardi. A mille trilioni, millemila trilioni e così via si possono dare anche i propri nomi, ma non ce n'è bisogno in particolare.

Allora, qual è il significato dietro i numeri naturali multivalore?

Diamo un'occhiata a un numero naturale a più cifre come numeri naturali a una cifra che si susseguono uno dopo l'altro da destra a sinistra. Il numero a destra indica il numero di unità, il numero successivo è il numero di decine, il successivo è il numero di centinaia, quindi il numero di migliaia, il successivo è il numero di decine di migliaia, il successivo è di centinaia di migliaia , il prossimo è il numero di milioni, il successivo è il numero di decine di milioni, il successivo è di centinaia di milioni, il successivo - il numero di miliardi, quindi - il numero di decine di miliardi, quindi - centinaia di miliardi, quindi - trilioni, poi - decine di trilioni, poi - centinaia di trilioni e così via.

Ad esempio, un numero naturale a più cifre 7 580 521 corrisponde 1 unità, 2 dozzine, 5 centinaia 0 migliaia 8 decine di migliaia 5 centinaia di migliaia e 7 milioni.

Così, abbiamo imparato a raggruppare le unità in decine, decine in centinaia, centinaia in migliaia, migliaia in decine di migliaia e così via, e abbiamo scoperto che i numeri nel record di un numero naturale a più cifre indicano il numero corrispondente del gruppi sopra.

Lettura di numeri naturali, classi.

Abbiamo già menzionato come vengono letti i numeri naturali a una cifra. Impariamo a memoria il contenuto delle seguenti tabelle.

E come vengono letti gli altri numeri a due cifre?

Spieghiamo con un esempio. Leggere un numero naturale 74 . Come abbiamo scoperto sopra, questo numero corrisponde a 7 decine e 4 unità, cioè 70 e 4 . Passiamo alle tabelle appena scritte, e al numero 74 leggiamo come: “Settantaquattro” (non si pronuncia l'unione “e”). Se vuoi leggere un numero 74 nella frase: "No 74 mele" (caso genitivo), allora suonerà così: "Non ci sono settantaquattro mele". Un altro esempio. Numero 88 - Questo 80 e 8 , quindi, leggiamo: "Ottantotto". Ed ecco un esempio di frase: "Sta pensando a ottantotto rubli".

Passiamo alla lettura dei numeri naturali a tre cifre.

Per fare questo, dovremo imparare qualche parola in più.

Resta da mostrare come vengono letti i restanti numeri naturali a tre cifre. In questo caso utilizzeremo le competenze già acquisite nella lettura di numeri a una cifra e a due cifre.

Facciamo un esempio. Leggiamo il numero 107 . Questo numero corrisponde 1 cento e 7 unità, cioè 100 e 7 . Passando ai tavoli, leggiamo: "Centosette". Ora diciamo il numero 217 . Questo numero è 200 e 17 , quindi, leggiamo: "Duecentodiciassette". Allo stesso modo, 888 - Questo 800 (ottocento) e 88 (88), leggiamo: "Ottocentottantotto".

Passiamo alla lettura di numeri a più cifre.

Per la lettura, la registrazione di un numero naturale a più cifre è divisa, partendo da destra, in gruppi di tre cifre, mentre nel gruppo più a sinistra possono esserci o 1 , o 2 , o 3 numeri. Questi gruppi sono chiamati classi. Viene chiamata la classe a destra classe di unità. Viene chiamata la classe successiva (da destra a sinistra). classe di migliaia, la classe successiva è classe di milioni, prossimo - classe di miliardi, poi va trilioni di classe. Puoi dare i nomi delle seguenti classi, ma numeri naturali, il cui record è composto 16 , 17 , 18 eccetera. i segni di solito non vengono letti, poiché sono molto difficili da percepire a orecchio.

Guarda esempi di suddivisione di numeri a più cifre in classi (per chiarezza, le classi sono separate l'una dall'altra da un piccolo rientro): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Mettiamo i numeri naturali registrati in una tabella, secondo la quale è facile imparare a leggerli.

Per leggere un numero naturale, chiamiamo da sinistra a destra i numeri che lo compongono per classe e aggiungiamo il nome della classe. Allo stesso tempo, non pronunciamo il nome della classe di unità e saltiamo anche quelle classi che compongono tre cifre 0 . Se il record della classe ha una cifra a sinistra 0 o due cifre 0 , quindi ignora questi numeri 0 e leggi il numero ottenuto scartando queste cifre 0 . Per esempio, 002 letto come "due", e 025 - come "venticinque".

Leggiamo il numero 489 002 secondo le regole date.

Leggiamo da sinistra a destra,

• leggi il numero 489 , che rappresenta la classe dei migliaia, è "quattrocentottantanove";
• sommando il nome della classe, otteniamo "quattrocentoottantanovemila";
• ulteriormente nella classe di unità che vediamo 002 , gli zeri sono a sinistra, quindi li ignoriamo 002 letto come "due";
• non è necessario aggiungere il nome della classe di unità;
• di conseguenza abbiamo 489 002 - quattrocentottantanovemiladue.

Iniziamo a leggere il numero 10 000 501 .

• A sinistra nella classe dei milioni vediamo il numero 10 , leggiamo "dieci";
• aggiungi il nome della classe, abbiamo "dieci milioni";
• dopo vediamo il record 000 nella classe delle migliaia, poiché tutte e tre le cifre sono cifre 0 , quindi saltiamo questa lezione e passiamo a quella successiva;
• la classe di unità rappresenta il numero 501 , che leggiamo "cinquecentouno";
• così, 10 000 501 dieci milioni cinquecentouno.

Facciamolo senza spiegazioni dettagliate: 1 789 090 221 214 - "un trilione settecentottantanove miliardi novanta milioni duecentoventunomila duecento quattordici".

Quindi, la base dell'abilità di leggere i numeri naturali a più cifre è la capacità di suddividere i numeri a più cifre in classi, la conoscenza dei nomi delle classi e la capacità di leggere i numeri a tre cifre.

Le cifre di un numero naturale, il valore della cifra.

Scrivendo un numero naturale, il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione. Ad esempio, un numero naturale 539 corrisponde 5 centinaia 3 decine e 9 unità, da cui la figura 5 nella voce del numero 539 definisce il numero di centinaia, una cifra 3 è il numero di decine e la cifra 9 - numero di unità. Si dice che il numero 9 sta in piedi cifra delle unità e numero 9 è un valore della cifra dell'unità, numero 3 sta in piedi decine di posti e numero 3 è un decine di valore posizionale, e il numero 5 - in centinaia di posti e numero 5 è un centinaia di valore posizionale.

Così, scarico- questa è, da un lato, la posizione della cifra nella notazione di un numero naturale e, dall'altra, il valore di questa cifra, determinato dalla sua posizione.

Ai ranghi sono stati dati dei nomi. Se guardi i numeri nel record di un numero naturale da destra a sinistra, le seguenti cifre corrisponderanno ad essi: unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni e presto.

I nomi delle categorie sono utili da ricordare quando sono presentati sotto forma di tabella. Scriviamo una tabella contenente i nomi di 15 cifre.

Si noti che il numero di cifre di un dato numero naturale è uguale al numero di caratteri coinvolti nella scrittura di questo numero. Pertanto, la tabella registrata contiene i nomi delle cifre di tutti i numeri naturali, il cui record contiene fino a 15 caratteri. Anche le cifre seguenti hanno i loro nomi, ma sono usate molto raramente, quindi non ha senso menzionarle.

Usando la tabella delle cifre, è conveniente determinare le cifre di un dato numero naturale. Per fare ciò, devi scrivere questo numero naturale in questa tabella in modo che ci sia una cifra in ogni cifra e la cifra più a destra sia nella cifra delle unità.

Facciamo un esempio. Scriviamo un numero naturale 67 922 003 942 nella tabella, e le cifre e i valori di queste cifre diventeranno chiaramente visibili.

Nella registrazione di questo numero, la cifra 2 sta al posto delle unità, cifra 4 - al posto delle decine, digit 9 - nel posto delle centinaia, ecc. Presta attenzione ai numeri 0 , che sono nelle cifre di decine di migliaia e centinaia di migliaia. Numeri 0 in queste cifre significa l'assenza di unità di queste cifre.

Dovremmo anche menzionare la cosiddetta categoria più bassa (più bassa) e più alta (più alta) di un numero naturale multivalore. Grado inferiore (junior). qualsiasi numero naturale multivalore è la cifra delle unità. La cifra più alta (più alta) di un numero naturaleè la cifra corrispondente alla cifra più a destra nel record di questo numero. Ad esempio, la cifra meno significativa del numero naturale 23004 è la cifra delle unità e la cifra più alta è la cifra delle decine di migliaia. Se nella notazione di un numero naturale ci spostiamo di cifre da sinistra a destra, allora ogni cifra successiva inferiore (più giovane) il precedente. Ad esempio, la cifra di migliaia è inferiore alla cifra di decine di migliaia, in particolare la cifra di migliaia è inferiore alla cifra di centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, ecc. Se, nella notazione di un numero naturale, ci spostiamo in cifre da destra a sinistra, allora ogni cifra successiva più alto (più vecchio) il precedente. Ad esempio, la cifra delle centinaia è più vecchia della cifra delle decine e, ancor di più, è più vecchia della cifra delle unità.

In alcuni casi (ad esempio, quando si eseguono addizioni o sottrazioni), non viene utilizzato il numero naturale stesso, ma la somma dei termini di bit di questo numero naturale.

Brevemente sul sistema dei numeri decimali.

Quindi, abbiamo fatto conoscenza con i numeri naturali, con il significato in essi intrinseco e il modo di scrivere i numeri naturali usando dieci cifre.

In generale, viene chiamato il metodo di scrittura dei numeri usando i segni sistema numerico. Il valore di una cifra in una voce numerica può dipendere o meno dalla sua posizione. Vengono chiamati i sistemi numerici in cui il valore di una cifra in una voce di numero dipende dalla sua posizione posizionale.

Pertanto, i numeri naturali che abbiamo considerato e il metodo per scriverli indicano che stiamo usando un sistema numerico posizionale. Va notato che un posto speciale in questo sistema numerico ha il numero 10 . In effetti, il punteggio è espresso in decine: dieci unità vengono combinate in dieci, dieci decine vengono combinate in cento, dieci centinaia in mille e così via. Numero 10 chiamata base dato sistema numerico e viene chiamato il sistema numerico stesso decimale.

Oltre al sistema numerico decimale, ce ne sono altri, ad esempio in informatica, viene utilizzato il sistema numerico posizionale binario e incontriamo il sistema sessagesimale quando si tratta di misurare il tempo.

Bibliografia.

• Matematica. Eventuali libri di testo per 5 classi di istituzioni educative.

La matematica emerse dalla filosofia generale intorno al VI secolo aC. e., e da quel momento iniziò la sua marcia vittoriosa intorno al mondo. Ogni fase dello sviluppo ha introdotto qualcosa di nuovo: il conteggio elementare si è evoluto, trasformato in calcolo differenziale e integrale, i secoli sono cambiati, le formule sono diventate sempre più confuse e è arrivato il momento in cui "è iniziata la matematica più complessa - tutti i numeri sono scomparsi da essa". Ma qual era la base?

L'inizio del tempo

I numeri naturali sono apparsi insieme alle prime operazioni matematiche. Una volta una spina dorsale, due spine, tre spine... Sono apparse grazie agli scienziati indiani che ne hanno dedotto la prima posizionale

La parola "posizionalità" significa che la posizione di ogni cifra in un numero è rigorosamente definita e corrisponde alla sua categoria. Ad esempio, i numeri 784 e 487 sono gli stessi numeri, ma i numeri non sono equivalenti, poiché il primo comprende 7 centinaia, mentre il secondo solo 4. L'innovazione degli indiani fu ripresa dagli arabi, che portarono i numeri al forma che ora conosciamo.

Nei tempi antichi, ai numeri veniva dato un significato mistico, Pitagora credeva che il numero fosse alla base della creazione del mondo insieme agli elementi principali: fuoco, acqua, terra, aria. Se consideriamo tutto solo dal lato matematico, allora che cos'è un numero naturale? Il campo dei numeri naturali è indicato come N ed è una serie infinita di numeri interi e positivi: 1, 2, 3, … + ∞. Zero è escluso. Viene utilizzato principalmente per contare gli articoli e indicare l'ordine.

Cosa c'è in matematica? Assiomi di Peano

Il campo N è il campo base su cui si basa la matematica elementare. Nel tempo, i campi dei numeri interi, razionali,

Il lavoro del matematico italiano Giuseppe Peano rese possibile l'ulteriore strutturazione dell'aritmetica, ne conseguì la formalità e aprì la strada a ulteriori conclusioni che andarono oltre il campo N.

Che cos'è un numero naturale è stato chiarito in precedenza con un linguaggio semplice, di seguito considereremo una definizione matematica basata sugli assiomi di Peano.

• Uno è considerato un numero naturale.
• Il numero che segue un numero naturale è un numero naturale.
• Non esiste un numero naturale prima dell'uno.
• Se il numero b segue sia il numero c che il numero d, allora c=d.
• L'assioma dell'induzione, che a sua volta mostra cos'è un numero naturale: se qualche affermazione che dipende da un parametro è vera per il numero 1, allora assumiamo che funzioni anche per il numero n dal campo dei numeri naturali N. Allora l'affermazione vale anche per n =1 dal campo dei numeri naturali N.

Operazioni di base per il campo dei numeri naturali

Poiché il campo N è diventato il primo per i calcoli matematici, ad esso si riferiscono sia i domini di definizione che gli intervalli di valori di una serie di operazioni sottostanti. Sono chiusi e non. La differenza principale è che è garantito che le operazioni chiuse lascino un risultato all'interno dell'insieme N, indipendentemente dai numeri coinvolti. Basta che siano naturali. Il risultato delle restanti interazioni numeriche non è più così inequivocabile e dipende direttamente dal tipo di numeri coinvolti nell'espressione, poiché potrebbe contraddire la definizione principale. Quindi, operazioni chiuse:

• addizione - x + y = z, dove x, y, z sono inclusi nel campo N;
• moltiplicazione - x * y = z, dove x, y, z sono inclusi nel campo N;
• esponenziazione - x y , dove x, y sono inclusi nel campo N.

Le restanti operazioni, il cui risultato potrebbe non esistere nel contesto della definizione "cos'è un numero naturale", sono le seguenti:

Proprietà dei numeri appartenenti al campo N

Tutti gli ulteriori ragionamenti matematici saranno basati sulle seguenti proprietà, le più banali, ma non per questo meno importanti.

• La proprietà commutativa dell'addizione è x + y = y + x, dove i numeri x, y sono compresi nel campo N. Oppure il noto "la somma non cambia da un cambiamento nei luoghi dei termini".
• La proprietà commutativa della moltiplicazione è x * y = y * x, dove i numeri x, y sono inclusi nel campo N.
• La proprietà associativa dell'addizione è (x + y) + z = x + (y + z), dove x, y, z sono inclusi nel campo N.
• La proprietà associativa della moltiplicazione è (x * y) * z = x * (y * z), dove i numeri x, y, z sono inclusi nel campo N.
• proprietà di distribuzione - x (y + z) = x * y + x * z, dove i numeri x, y, z sono inclusi nel campo N.

Tavola pitagorica

Uno dei primi passi nella conoscenza dell'intera struttura della matematica elementare da parte degli scolari, dopo aver capito da soli quali numeri sono chiamati naturali, è la tavola pitagorica. Può essere considerato non solo dal punto di vista scientifico, ma anche come un prezioso monumento scientifico.

Questa tabella di moltiplicazione ha subito una serie di modifiche nel tempo: da essa è stato rimosso lo zero e i numeri da 1 a 10 si denotano da soli, senza tener conto degli ordini (centinaia, migliaia ...). È una tabella in cui le intestazioni di righe e colonne sono numeri e il contenuto delle celle della loro intersezione è uguale al loro prodotto.

Nella pratica dell'insegnamento degli ultimi decenni c'è stata la necessità di memorizzare la tavola pitagorica "in ordine", cioè la memorizzazione è stata prima. La moltiplicazione per 1 è stata esclusa perché il risultato era 1 o maggiore. Nel frattempo, nella tabella ad occhio nudo, puoi vedere uno schema: il prodotto dei numeri cresce di un passo, che è uguale al titolo della riga. Quindi, il secondo fattore ci mostra quante volte dobbiamo prendere il primo per ottenere il prodotto desiderato. Questo sistema è molto più conveniente di quello praticato nel Medioevo: anche capendo cos'è un numero naturale e quanto sia banale, le persone sono riuscite a complicare il loro conteggio quotidiano utilizzando un sistema basato sui poteri del due.

Sottoinsieme come culla della matematica

Al momento, il campo dei numeri naturali N è considerato solo come uno dei sottoinsiemi dei numeri complessi, ma questo non li rende meno preziosi nella scienza. Un numero naturale è la prima cosa che un bambino impara studiando se stesso e il mondo che lo circonda. Un dito, due dita ... Grazie a lui, una persona sviluppa il pensiero logico, oltre alla capacità di determinare la causa e dedurre l'effetto, aprendo la strada a grandi scoperte.