Question à un scientifique :— J'ai entendu dire que la somme de tous les nombres naturels est −1/12. Est-ce une sorte de truc, ou est-ce vrai ?

Réponse du service de presse du MIPT- Oui, un tel résultat peut être obtenu en utilisant une technique appelée expansion en série d'une fonction.

La question posée par le lecteur est assez complexe, et c'est pourquoi nous y répondons non pas avec le texte habituel de la colonne « Question à un scientifique » de plusieurs paragraphes, mais avec un semblant très simplifié d'article mathématique.

DANS articles scientifiques en mathématiques, où il est nécessaire de prouver un théorème complexe, l'histoire est divisée en plusieurs parties, dans lesquelles diverses affirmations auxiliaires peuvent être prouvées tour à tour. Nous supposons que les lecteurs connaissent le cours de mathématiques de 9e année, nous nous excusons donc par avance auprès de ceux qui trouvent l'histoire trop simple - les diplômés peuvent immédiatement se référer à http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Somme totale

Commençons par parler de la façon dont vous pouvez additionner tous les nombres naturels. Entiers- ce sont des nombres utilisés pour compter des objets entiers - ils sont tous entiers et non négatifs. Ce sont les nombres naturels que les enfants apprennent en premier : 1, 2, 3 et ainsi de suite. La somme de tous les nombres naturels sera une expression de la forme 1+2+3+... = et ainsi de suite à l'infini.

La série des nombres naturels est infinie, c'est facile à prouver : après tout, arbitrairement un grand nombre Vous pouvez toujours en ajouter un. Ou même multiplier ce nombre par lui-même, ou même calculer sa factorielle - il est clair que vous obtiendrez une valeur encore plus grande, qui sera également un nombre naturel.

Toutes les opérations avec des quantités infiniment grandes sont discutées en détail au cours de l'analyse mathématique, mais maintenant, pour que ceux qui n'ont pas encore réussi ce cours nous comprennent, nous allons simplifier quelque peu l'essence. Disons que l'infini auquel on s'ajoute, l'infini au carré ou la factorielle de l'infini est encore l'infini. On peut considérer que l’infini est un objet mathématique si particulier.

Et selon toutes les règles de l'analyse mathématique du premier semestre, la somme 1+2+3+...+infini est également infinie. Cela est facile à comprendre à partir du paragraphe précédent : si vous ajoutez quelque chose à l’infini, ce sera toujours l’infini.

Cependant, en 1913, le brillant mathématicien indien autodidacte Srinivasa Ramanujan Iyengor a trouvé un moyen d'additionner les nombres naturels d'une manière légèrement différente. Malgré le fait que Ramanujan n'a pas reçu d'éducation spéciale, ses connaissances ne se limitaient pas au cours scolaire d'aujourd'hui - le mathématicien connaissait l'existence de la formule d'Euler-Maclaurin. Depuis qu'elle joue rôle important Dans la suite du récit, nous devrons également en parler plus en détail.

Formule d'Euler-Maclaurin

Tout d'abord, écrivons cette formule :

Comme vous pouvez le constater, c'est assez complexe. Certains lecteurs peuvent sauter complètement cette section, d'autres peuvent lire les manuels correspondants ou au moins l'article Wikipédia, et pour le reste, nous ferons un bref commentaire. Le rôle clé dans la formule est joué par une fonction arbitraire f(x), qui peut être presque n'importe quoi tant qu'elle possède un nombre suffisant de dérivées. Pour ceux qui ne sont pas familiers avec ce concept mathématique (et qui ont quand même décidé de lire ce qui a été écrit ici !), disons encore plus simplement : le graphique d'une fonction ne doit pas être une ligne qui se rompt brusquement à aucun moment.

La dérivée d'une fonction, pour simplifier sa signification autant que possible, est une quantité qui montre la rapidité avec laquelle la fonction croît ou diminue. D'un point de vue géométrique, la dérivée est la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique.

A gauche dans la formule il y a une somme de la forme « valeur f(x) au point m + valeur f(x) au point m+1 + valeur f(x) au point m+2 et ainsi de suite jusqu'au point m +n". De plus, les nombres m et n sont des nombres naturels, cela doit être particulièrement souligné.

Sur la droite, nous voyons plusieurs termes, et ils semblent très encombrants. Le premier (se termine par dx) est l'intégrale de la fonction du point m au point n. Au risque de s'attirer les foudres de tous

Le troisième terme est la somme des nombres de Bernoulli (B 2k) divisée par la factorielle de deux fois la valeur du nombre k et multipliée par la différence des dérivées de la fonction f(x) aux points n et m. De plus, pour compliquer encore davantage les choses, il ne s’agit pas simplement d’une dérivée, mais d’une dérivée d’ordre 2k-1. C'est-à-dire que l'ensemble du troisième terme ressemble à ceci :

Nombre de Bernoulli B 2 (« 2 » puisqu'il y a 2k dans la formule, et on commence à additionner avec k=1) diviser par la factorielle 2 (c'est juste un deux pour l'instant) et multiplier par la différence des dérivées du premier ordre (2k-1 avec k=1) fonctions f(x) aux points n et m

Le nombre de Bernoulli B 4 (« 4 » puisqu'il y a 2k dans la formule, et k est maintenant égal à 2) est divisé par la factorielle 4 (1×2x3×4=24) et multiplié par la différence des dérivées du troisième ordre ( 2k-1 pour k=2) fonctions f(x) aux points n et m

Le nombre de Bernoulli B 6 (voir ci-dessus) est divisé par la factorielle 6 (1×2x3×4x5×6=720) et multiplié par la différence des dérivées du cinquième ordre (2k-1 pour k=3) de la fonction f(x ) aux points n et m

La sommation continue jusqu'à k=p. Les nombres k et p sont obtenus par des valeurs arbitraires, que nous pouvons choisir de différentes manières, ainsi que m et n - nombres naturels qui limitent la zone considérée avec la fonction f(x). Autrement dit, la formule contient jusqu'à quatre paramètres, ce qui, associé au caractère arbitraire de la fonction f(x), ouvre de nombreuses possibilités de recherche.

Le modeste R restant, hélas, n'est pas ici une constante, mais aussi une construction plutôt lourde, exprimée à travers les nombres de Bernoulli déjà mentionnés ci-dessus. Il est maintenant temps d’expliquer de quoi il s’agit, d’où cela vient et pourquoi les mathématiciens ont commencé à considérer des expressions aussi complexes.

Nombres de Bernoulli et extensions de séries

En analyse mathématique, il existe un concept aussi clé que l'expansion des séries. Cela signifie que vous pouvez prendre une fonction et l'écrire non pas directement (par exemple, y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), mais comme une somme infinie d'un ensemble de termes du même type. . Par exemple, de nombreuses fonctions peuvent être représentées comme la somme de fonctions puissance multipliée par certains coefficients - c'est-à-dire qu'un graphique complexe sera réduit à une combinaison de courbes linéaires, quadratiques, cubiques... et ainsi de suite.

Dans la théorie du traitement du signal électrique rôle énorme joue la série dite de Fourier - n'importe quelle courbe peut être développée en une série de sinus et de cosinus différentes périodes; une telle décomposition est nécessaire pour convertir le signal du microphone en une séquence de zéros et de uns à l'intérieur, par exemple, du circuit électronique d'un téléphone mobile. Les développements en séries nous permettent également de considérer des fonctions non élémentaires, et un certain nombre des équations physiques les plus importantes, une fois résolues, donnent des expressions sous la forme d'une série et non sous la forme d'une combinaison finie de fonctions.

Au XVIIe siècle, les mathématiciens ont commencé à étudier de près la théorie des séries. Un peu plus tard, cela a permis aux physiciens de calculer efficacement les processus de chauffage de divers objets et de résoudre de nombreux autres problèmes que nous n'examinerons pas ici. Notons seulement que dans le programme MIPT, comme dans les cours de mathématiques de toutes les grandes universités de physique, au moins un semestre est consacré aux équations avec des solutions sous la forme d'une série ou d'une autre.

Jacob Bernoulli a étudié le problème de la sommation des nombres naturels à la même puissance (1^6 + 2^6 + 3^6 + ... par exemple) et a obtenu des nombres à l'aide desquels d'autres fonctions peuvent être étendues dans la série de puissances mentionnée ci-dessus - par exemple, tan(x). Même si, semble-t-il, la tangente ne ressemble pas beaucoup à une parabole, ni à aucune fonction puissance !

Les polynômes de Bernoulli ont ensuite trouvé leur application non seulement dans les équations de physique mathématique, mais aussi dans la théorie des probabilités. Ceci est en général prévisible (après tout, un certain nombre de processus physiques - tels que le mouvement brownien ou la désintégration nucléaire - sont précisément provoqués par divers types d'accidents), mais mérite néanmoins une mention particulière.

La lourde formule d'Euler-Maclaurin a été utilisée par les mathématiciens à diverses fins. Puisqu'il contient, d'une part, la somme des valeurs des fonctions en certains points, et d'autre part, il y a des intégrales et des développements en séries, en utilisant cette formule on peut (selon ce que l'on sait) comment prendre un intégrale complexe et déterminer la somme de la série.

Srinivasa Ramanujan a proposé une autre application pour cette formule. Il le modifia un peu et obtint l'expression suivante :

Il considérait simplement x comme une fonction f(x) – soit f(x) = x, c'est une hypothèse tout à fait légitime. Mais pour cette fonction, la dérivée première est simplement égale à un, et la seconde et toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro : si nous substituons soigneusement tout dans l'expression ci-dessus et déterminons les nombres de Bernoulli correspondants, alors nous obtiendrons exactement −1/ 12.

Bien entendu, cela a été perçu par le mathématicien indien lui-même comme quelque chose d’extraordinaire. Comme il n'était pas seulement autodidacte, mais aussi un autodidacte talentueux, il n'a pas parlé à tout le monde de la découverte qui a foulé aux pieds les fondements des mathématiques, mais a plutôt écrit une lettre à Godfrey Hardy, un expert reconnu dans le domaine de la théorie des nombres. et analyse mathématique. Soit dit en passant, la lettre contenait une note selon laquelle Hardy voudrait probablement diriger l'auteur vers l'hôpital psychiatrique le plus proche : cependant, le résultat, bien sûr, n'était pas un hôpital, mais un travail commun.

Paradoxe

En résumant tout ce qui précède, nous obtenons ce qui suit : la somme de tous les nombres naturels est égale à −1/12 lorsque l'on utilise une formule spéciale qui vous permet de développer une fonction arbitraire en une certaine série avec des coefficients appelés nombres de Bernoulli. Cependant, cela ne signifie pas que 1+2+3+4 est supérieur à 1+2+3+... et ainsi de suite à l'infini. DANS dans ce cas nous avons affaire à un paradoxe, dû au fait que le développement en série est une sorte d'approximation et de simplification.

Nous pouvons donner un exemple d’un paradoxe mathématique beaucoup plus simple et visuel associé à l’expression d’une chose à travers autre chose. Prenons une feuille de papier dans une boîte et traçons une ligne en escalier, la largeur et la hauteur de la marche étant une boîte. La longueur d'une telle ligne est évidemment égale à deux fois le nombre de cellules, mais la longueur de la diagonale redressant « l'échelle » est égale au nombre de cellules multiplié par la racine de deux. Si vous faites l'échelle très petite, elle aura toujours la même longueur et la ligne brisée, pratiquement impossible à distinguer de la diagonale, sera la racine de deux fois plus grande que cette même diagonale ! Comme vous pouvez le constater, pour des exemples paradoxaux, il n'est pas du tout nécessaire d'écrire de longues formules complexes.

La formule d'Euler-Maclaurin, sans entrer dans les profondeurs de l'analyse mathématique, est la même approximation qu'une ligne brisée au lieu d'une ligne droite. En utilisant cette approximation, vous pouvez obtenir le même −1/12, mais ce n'est pas toujours approprié et justifié. Dans un certain nombre de problèmes de physique théorique, des calculs similaires sont utilisés pour les calculs, mais il s'agit de la pointe même de la recherche, où il est trop tôt pour parler de la représentation correcte de la réalité par des abstractions mathématiques, et les écarts entre les différents calculs sont assez commun.

Ainsi, les estimations de la densité d'énergie du vide basées sur la théorie quantique des champs et basées sur des observations astrophysiques diffèrent de plus de 120 ordres de grandeur. C'est-à-dire 10 ^ 120 fois. C’est l’un des problèmes non résolus de la physique moderne ; Cela révèle clairement une lacune dans notre connaissance de l’Univers. Ou bien le problème réside dans le manque de méthodes mathématiques adaptées pour décrire le monde qui nous entoure. Les physiciens théoriciens, en collaboration avec les mathématiciens, tentent de trouver des moyens de décrire des processus physiques dans lesquels des séries divergentes (allant à l'infini) n'apparaîtront pas, mais c'est loin d'être la tâche la plus simple.

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Définition. Entiers- ce sont les nombres qui servent à compter : 1, 2, 3, ..., n, ...

L'ensemble des nombres naturels est généralement désigné par le symbole N(de lat. naturel- naturel).

Les nombres naturels dans le système de nombres décimaux s'écrivent à l'aide de dix chiffres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

L’ensemble des nombres naturels est ensemble commandé, c'est à dire. pour tout nombre naturel m et n, l'une des relations suivantes est vraie :

• ou m = n (m est égal à n),
• ou m > n (m supérieur à n ),
• ou m< n (m меньше n ).

• Le moins naturel numéro - un (1)
• Il n’existe pas de plus grand nombre naturel.
• Zéro (0) n'est pas un nombre naturel.

L'ensemble des nombres naturels est infini, puisque pour tout nombre n, il existe toujours un nombre m supérieur à n

Parmi les nombres naturels voisins, le nombre qui se trouve à gauche de n est appelé numéro précédent m, et le numéro qui se trouve à droite s'appelle suivant après n.

Opérations sur les nombres naturels

Les opérations fermées sur les nombres naturels (opérations qui aboutissent à des nombres naturels) comprennent les opérations arithmétiques suivantes :

• Ajout
• Multiplication
• Exponentiation a b , où a est la base et b est l'exposant. Si la base et l’exposant sont des nombres naturels, alors le résultat sera un nombre naturel.

De plus, deux autres opérations sont envisagées. D'un point de vue formel, ce ne sont pas des opérations sur des nombres naturels, puisque leur résultat ne sera pas toujours un nombre naturel.

• Soustraction(Dans ce cas, le Minuend doit être supérieur au Subtrahend)
• Division

Classes et rangs

Le lieu est la position (position) d'un chiffre dans un enregistrement numérique.

Le rang le plus bas est celui de droite. Le rang le plus significatif est celui de gauche.

Exemple:

5 - unités, 0 - dizaines, 7 - centaines,
2 - des milliers, 4 - des dizaines de milliers, 8 - des centaines de milliers,
3 - millions, 5 - dizaines de millions, 1 - centaines de millions

Pour faciliter la lecture, les nombres naturels sont divisés en groupes de trois chiffres chacun, en commençant par la droite.

Classe- un groupe de trois chiffres dans lequel le numéro est divisé, en partant de la droite. La dernière classe peut être composée de trois, deux ou un chiffres.

• La première classe est la classe de parts ;
• La deuxième classe est celle des milliers ;
• La troisième classe est celle des millions ;
• La quatrième classe est celle des milliards ;
• Cinquième classe - classe de milliers de milliards ;
• Sixième classe - classe de quadrillions (quadrillions) ;
• La septième classe est la classe des quintillions (quintillions) ;
• Huitième classe - classe sextillion ;
• Neuvième classe - classe septillion ;

Exemple:

34 - milliards 456 millions 196 mille 45

Comparaison des nombres naturels

1. Comparer des nombres naturels avec différents nombres de chiffres

   Parmi les nombres naturels, celui qui comporte le plus de chiffres est le plus grand

2. Comparer des nombres naturels avec un nombre égal de chiffres

   Comparez les nombres petit à petit, en commençant par le chiffre le plus significatif. Celui qui a le plus d'unités au rang le plus élevé du même nom est le plus grand.

Exemple:

3466 > 346 - puisque le nombre 3466 se compose de 4 chiffres et le nombre 346 se compose de 3 chiffres.

34666 < 245784 - puisque le nombre 34666 se compose de 5 chiffres et le nombre 245784 se compose de 6 chiffres.

Exemple:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Le deuxième nombre naturel avec un nombre égal de chiffres est plus grand, puisque 6 > 2.

Le nombre le plus simple est entier naturel. Ils sont utilisés dans Vie courante pour compter des objets, c'est-à-dire pour calculer leur nombre et leur ordre.

Qu'est-ce qu'un nombre naturel : nombres naturels nommer les nombres qui sont utilisés pour compter les articles ou pour indiquer le numéro de série de tout article de tous les éléments homogènes articles.

Entiers- ce sont des nombres commençant à un. Ils se forment naturellement lors du comptage.Par exemple, 1,2,3,4,5... -premiers nombres naturels.

Le plus petit nombre naturel- un. Il n’existe pas de plus grand nombre naturel. En comptant le nombre Zéro n’est pas utilisé, donc zéro est un nombre naturel.

Série naturelle Nombres est la suite de tous les nombres naturels. Écrire des nombres naturels :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Dans la série naturelle, chaque nombre est supérieur au précédent un par un.

Combien y a-t-il de nombres dans la série naturelle ? La série naturelle est infinie ; le plus grand nombre naturel n'existe pas.

Décimal puisque 10 unités de n’importe quel chiffre forment 1 unité du chiffre le plus élevé. Positionnellement donc comment la signification d'un chiffre dépend de sa place dans le nombre, c'est-à-dire de la catégorie où il est écrit.

Classes de nombres naturels.

Tout nombre naturel peut être écrit en utilisant 10 chiffres arabes :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pour lire les nombres naturels, on les divise, en partant de la droite, en groupes de 3 chiffres chacun. 3 premiers les nombres à droite sont la classe d'unités, les 3 suivants sont la classe des milliers, puis les classes des millions, des milliards etetc. Chacun des chiffres de la classe est appelé sondécharge.

Comparaison des nombres naturels.

Parmi 2 nombres naturels, le plus petit est celui qui est appelé plus tôt lors du comptage. Par exemple, nombre 7 moins 11 (écrit ainsi :7 < 11 ). Lorsqu'un nombre est supérieur au second, cela s'écrit ainsi :386 > 99 .

Tableau des chiffres et classes de nombres.

Unité de 1ère classe	1er chiffre de l'unité 2ème chiffre des dizaines 3ème place en centaines
2ème classe mille	1er chiffre de l'unité de milliers 2e chiffre des dizaines de milliers 3ème catégorie centaines de milliers
millions de 3ème classe	1er chiffre de l'unité de millions 2ème catégorie dizaines de millions 3ème catégorie centaines de millions
Des milliards de 4ème classe	1er chiffre de l'unité de milliards 2ème catégorie dizaines de milliards 3ème catégorie centaines de milliards

Les nombres à partir de la 5e année sont considérés comme de grands nombres. Les unités de la 5ème classe sont des milliards, 6ème classe - quadrillions, 7e classe - quintillions, 8e classe - sextillions, 9e classe - eptillions. Propriétés de base des nombres naturels. Commutativité de l'addition . une + b = b + une Commutativité de la multiplication. ab = ba Associativité de l'addition. (une + b) + c = une + (b + c) Associativité de la multiplication. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : Opérations sur les nombres naturels. 4. La division des nombres naturels est l'opération inverse de la multiplication. Si b ∙ c = une, Que Formules de division : une : 1 = une une : une = 1, une ≠ 0 0 : une = 0, une ≠ 0 (UN∙ b) : c = (a:c) ∙ b (UN∙ b) : c = (b:c) ∙ une Expressions numériques et égalités numériques. Une notation où les nombres sont reliés par des signes d'action est expression numérique. Par exemple, 10∙3+4 ; (60-2∙5):10. Les enregistrements où 2 expressions numériques sont combinées avec un signe égal sont égalités numériques. L’égalité a des côtés gauche et droit. L'ordre d'exécution des opérations arithmétiques. L'addition et la soustraction de nombres sont des opérations du premier degré, tandis que la multiplication et la division sont des opérations du deuxième degré. Lorsqu'une expression numérique consiste en des actions d'un seul degré, elles sont exécutées séquentiellement de gauche à droite. Lorsque les expressions consistent en des actions du premier et du deuxième degrés uniquement, alors les actions sont exécutées en premier. deuxième degré, puis - les actions du premier degré. Lorsqu'il y a des parenthèses dans une expression, les actions entre parenthèses sont effectuées en premier. Par exemple, 36 :(10-4)+3∙5= 36 :6+15 = 6+15 = 21.

Entiers Ils nous sont très familiers et naturels. Et cela n’est pas surprenant, puisque leur connaissance commence dès les premières années de notre vie à un niveau intuitif.

Les informations contenues dans cet article créent une compréhension de base des nombres naturels, révèlent leur objectif et inculquent les compétences d'écriture et de lecture des nombres naturels. Pour une meilleure compréhension du matériel, les exemples et illustrations nécessaires sont fournis.

Navigation dans les pages.

Nombres naturels – représentation générale.

L'avis suivant n'est pas dénué de logique : l'émergence de la tâche de compter les objets (premier, deuxième, troisième objet, etc.) et de la tâche d'indiquer le nombre d'objets (un, deux, trois objets, etc.) a conduit à la création d'un outil pour le résoudre, tel était l'instrument entiers.

De cette phrase il ressort clairement le but principal des nombres naturels– contenir des informations sur le nombre d'articles ou le numéro de série d'un article donné dans l'ensemble d'articles considéré.

Pour qu’une personne puisse utiliser des nombres naturels, ils doivent être d’une manière ou d’une autre accessibles à la fois à la perception et à la reproduction. Si vous exprimez chaque nombre naturel, il deviendra alors perceptible à l'oreille, et si vous représentez un nombre naturel, alors il pourra être vu. Ce sont les moyens les plus naturels de transmettre et de percevoir les nombres naturels.

Commençons donc par acquérir les compétences nécessaires pour représenter (écrire) et exprimer (lire) les nombres naturels, tout en apprenant leur signification.

Notation décimale d'un nombre naturel.

Nous devons d’abord décider par où commencer lors de l’écriture des nombres naturels.

Rappelons les images des personnages suivants (nous les montrerons séparés par des virgules) : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Les images présentées sont un enregistrement de ce qu'on appelle Nombres. Convenons immédiatement de ne pas retourner, incliner ou autrement déformer les chiffres lors de l'enregistrement.

Admettons maintenant que dans la notation de tout nombre naturel, seuls les chiffres indiqués peuvent être présents et aucun autre symbole ne peut être présent. Admettons également que les chiffres dans la notation d'un nombre naturel ont la même hauteur, sont disposés en ligne les uns après les autres (sans quasiment aucune indentation) et à gauche il y a un chiffre autre que le chiffre 0 .

Voici quelques exemples d’écriture correcte de nombres naturels : 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (veuillez noter : les retraits entre les nombres ne sont pas toujours les mêmes, nous en discuterons davantage lors de la révision). D’après les exemples ci-dessus, il ressort clairement que la notation d’un nombre naturel ne contient pas nécessairement tous les chiffres 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; tout ou partie des chiffres impliqués dans l’écriture d’un nombre naturel peuvent être répétés.

Des postes 014 , 0005 , 0 , 0209 ne sont pas des enregistrements de nombres naturels, puisqu'il y a un chiffre à gauche 0 .

L'écriture d'un nombre naturel, réalisée en tenant compte de toutes les exigences décrites dans ce paragraphe, s'appelle notation décimale d'un nombre naturel.

De plus, nous ne ferons pas de distinction entre les nombres naturels et leur écriture. Expliquons cela : plus loin dans le texte, nous utiliserons des expressions comme « étant donné un nombre naturel 582 ", ce qui signifiera qu'on donne un nombre naturel dont la notation a la forme 582 .

Nombres naturels au sens du nombre d'objets.

Le moment est venu de comprendre la signification quantitative que porte l'entier naturel écrit. La signification des nombres naturels en termes de numérotation des objets est discutée dans l'article comparaison des nombres naturels.

Commençons par les nombres naturels dont les entrées coïncident avec les entrées de chiffres, c'est-à-dire avec des nombres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Et 9 .

Imaginons que nous ouvrions les yeux et voyions un objet, par exemple, comme celui-ci. Dans ce cas, nous pouvons écrire ce que nous voyons 1 article. L'entier naturel 1 se lit comme " un" (déclinaison du chiffre « un », ainsi que d'autres chiffres, nous donnerons au paragraphe), pour le nombre 1 un autre nom a été adopté - " unité».

Cependant, le terme « unité » a plusieurs valeurs, en plus de l'entier naturel 1 , appelons quelque chose considéré dans son ensemble. Par exemple, n’importe quel élément parmi plusieurs peut être appelé une unité. Par exemple, toute pomme d'un ensemble de pommes est une unité, toute volée d'oiseaux d'un ensemble de volées d'oiseaux est également une unité, etc.

Maintenant, nous ouvrons les yeux et voyons : . Autrement dit, nous voyons un objet et un autre objet. Dans ce cas, nous pouvons écrire ce que nous voyons 2 sujet. Entier naturel 2 , lit " deux».

De même, - 3 sujet (lire " trois" sujet), - 4 (« quatre") sujet, - 5 (« cinq»), - 6 (« six»), - 7 (« Sept»), - 8 (« huit»), - 9 (« neuf") articles.

Ainsi, à partir de la position considérée, les nombres naturels 1 , 2 , 3 , …, 9 indiquer quantité articles.

Un nombre dont la notation coïncide avec la notation d'un chiffre 0 , appelé " zéro" Le nombre zéro n'est PAS un nombre naturel, cependant, il est généralement considéré avec les nombres naturels. N'oubliez pas : zéro signifie l'absence de quelque chose. Par exemple, zéro élément n’est pas un seul élément.

Dans les paragraphes suivants de l'article, nous continuerons à révéler la signification des nombres naturels en termes d'indication de quantités.

Nombres naturels à un chiffre.

Évidemment, l'enregistrement de chacun des nombres naturels 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 se compose d'un caractère - un chiffre.

Définition.

Nombres naturels à un chiffre– ce sont des nombres naturels dont l'écriture est constituée d'un signe - un chiffre.

Listons tous les nombres naturels à un chiffre : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Il existe au total neuf nombres naturels à un chiffre.

Nombres naturels à deux et trois chiffres.

Tout d’abord, définissons les nombres naturels à deux chiffres.

Définition.

Nombres naturels à deux chiffres– ce sont des nombres naturels dont l'enregistrement est constitué de deux signes - deux chiffres (différents ou identiques).

Par exemple, un nombre naturel 45 – des nombres à deux chiffres 10 , 77 , 82 également à deux chiffres, et 5 490 , 832 , 90 037 – pas à deux chiffres.

Voyons quelle est la signification des nombres à deux chiffres, tandis que nous nous appuierons sur la signification quantitative des nombres naturels à un chiffre que nous connaissons déjà.

Pour commencer, introduisons le concept dix.

Imaginons cette situation - nous avons ouvert les yeux et vu un ensemble composé de neuf objets et d'un autre objet. Dans ce cas, ils parlent de 1 dix (une douzaine) d'articles. Si l’on considère ensemble une dizaine et une autre dizaine, alors on parle de 2 dizaines (deux douzaines). Si nous ajoutons encore dix à deux dizaines, nous aurons trois dizaines. En poursuivant ce processus, nous obtiendrons quatre dizaines, cinq dizaines, six dizaines, sept dizaines, huit dizaines et enfin neuf dizaines.

Nous pouvons maintenant passer à l’essence des nombres naturels à deux chiffres.

Pour ce faire, considérons un nombre à deux chiffres comme deux nombres à un chiffre - l'un est à gauche dans la notation d'un nombre à deux chiffres, l'autre est à droite. Le chiffre de gauche indique le nombre de dizaines et le chiffre de droite indique le nombre d'unités. De plus, s'il y a un chiffre à droite d'un nombre à deux chiffres 0 , alors cela signifie l'absence d'unités. C’est tout l’intérêt des nombres naturels à deux chiffres en termes d’indication de quantités.

Par exemple, un nombre naturel à deux chiffres 72 correspond 7 des dizaines et 2 unités (c'est-à-dire 72 pommes est un ensemble de sept douzaines de pommes et deux autres pommes), et le nombre 30 réponses 3 des dizaines et 0 il n'y a pas d'unités, c'est-à-dire des unités qui ne sont pas combinées en dizaines.

Répondons à la question : « Combien y a-t-il de nombres naturels à deux chiffres ? Réponds leur 90 .

Passons à la définition des nombres naturels à trois chiffres.

Définition.

Nombres naturels dont la notation consiste en 3 panneaux - 3 des nombres (différents ou répétitifs) sont appelés à trois chiffres.

Des exemples de nombres naturels à trois chiffres sont 372 , 990 , 717 , 222 . Entiers 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 ne sont pas à trois chiffres.

Pour comprendre la signification inhérente aux nombres naturels à trois chiffres, nous avons besoin du concept des centaines.

L’ensemble des dix dizaines est 1 cent (cent). Cent cent c'est 2 des centaines. Deux cents et cent autres font trois cents. Et ainsi de suite, nous avons quatre cents, cinq cents, six cents, sept cents, huit cents et enfin neuf cents.

Considérons maintenant un nombre naturel à trois chiffres comme trois nombres naturels à un chiffre, se succédant de droite à gauche dans la notation d'un nombre naturel à trois chiffres. Le chiffre de droite indique le nombre d'unités, le chiffre suivant indique le nombre de dizaines et le chiffre suivant indique le nombre de centaines. Nombres 0 par écrit, un nombre à trois chiffres signifie l'absence de dizaines et (ou) d'unités.

Ainsi, un nombre naturel à trois chiffres 812 correspond 8 des centaines, 1 dix et 2 unités; nombre 305 - trois cents ( 0 dizaines, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dizaines qui ne soient pas combinées en centaines) et 5 unités; nombre 470 – quatre cents et sept dizaines (il n'y a pas d'unités non combinées en dizaines) ; nombre 500 – cinq cents (il n’y a pas de dizaines non combinées en centaines, ni d’unités non combinées en dizaines).

De même, on peut définir quatre chiffres, cinq chiffres, six chiffres, etc. nombres naturels.

Nombres naturels à plusieurs chiffres.

Passons donc à la définition des nombres naturels à valeurs multiples.

Définition.

Nombres naturels à plusieurs chiffres- ce sont des nombres naturels dont la notation est composée de deux ou trois ou quatre, etc. panneaux. En d’autres termes, les nombres naturels à plusieurs chiffres sont à deux chiffres, à trois chiffres, à quatre chiffres, etc. Nombres.

Disons tout de suite qu'un ensemble composé de dix cents est mille, mille mille c'est un million, un milliard c'est un milliard, mille milliards c'est mille milliards. Mille milliards, mille milliards, etc. peuvent également recevoir leur propre nom, mais cela n'est pas particulièrement nécessaire.

Alors, quelle est la signification des nombres naturels à plusieurs chiffres ?

Regardons un nombre naturel à plusieurs chiffres comme des nombres naturels à un chiffre se succédant les uns après les autres de droite à gauche. Le chiffre de droite indique le nombre d'unités, le chiffre suivant est le nombre de dizaines, le suivant est le nombre de centaines, puis le nombre de milliers, puis le nombre de dizaines de milliers, puis les centaines de milliers, puis le nombre. de millions, puis le nombre de dizaines de millions, puis de centaines de millions, puis – le nombre de milliards, puis – le nombre de dizaines de milliards, puis – des centaines de milliards, puis – des milliards, puis – des dizaines de milliards, puis – des centaines de milliards et ainsi de suite.

Par exemple, un nombre naturel à plusieurs chiffres 7 580 521 correspond 1 unité, 2 douzaines, 5 des centaines, 0 milliers, 8 des dizaines de milliers, 5 des centaines de milliers et 7 des millions.

Ainsi, nous avons appris à regrouper les unités en dizaines, dizaines en centaines, centaines en milliers, milliers en dizaines de milliers, etc., et avons découvert que les nombres dans la notation d'un nombre naturel à plusieurs chiffres indiquent le nombre correspondant de l'entier. groupes ci-dessus.

Lecture des nombres naturels, cours.

Nous avons déjà mentionné comment sont lus les nombres naturels à un chiffre. Apprenons par cœur le contenu des tableaux suivants.

Comment les nombres à deux chiffres restants sont-ils lus ?

Expliquons avec un exemple. Lisons le nombre naturel 74 . Comme nous l'avons découvert plus haut, ce numéro correspond à 7 des dizaines et 4 unités, c'est-à-dire 70 Et 4 . Nous nous tournons vers les tableaux que nous venons d'enregistrer, et le nombre 74 on le lit ainsi : « soixante-quatorze » (on ne prononce pas la conjonction « et »). Si vous avez besoin de lire un numéro 74 dans la phrase : "Non 74 pommes" (cas génitif), alors cela ressemblera à ceci : "Il n'y a pas soixante-quatorze pommes." Un autre exemple. Nombre 88 - Ce 80 Et 8 , c'est pourquoi nous lisons : « Quatre-vingt-huit ». Et voici un exemple de phrase : « Il pense à quatre-vingt-huit roubles. »

Passons à la lecture des nombres naturels à trois chiffres.

Pour ce faire, nous devrons apprendre quelques nouveaux mots supplémentaires.

Il reste à montrer comment les nombres naturels restants à trois chiffres sont lus. Dans ce cas, nous utiliserons les compétences que nous avons déjà acquises en matière de lecture de nombres à un et deux chiffres.

Regardons un exemple. Lisons le numéro 107 . Ce numéro correspond 1 cent et 7 unités, c'est-à-dire 100 Et 7 . En nous tournant vers les tables, nous lisons : « Cent sept ». Maintenant disons le numéro 217 . Ce numéro est 200 Et 17 , c'est pourquoi nous lisons : « Deux cent dix-sept ». De même, 888 - Ce 800 (huit cents) et 88 (quatre-vingt-huit), nous lisons : « Huit cent quatre-vingt-huit ».

Passons à la lecture des nombres à plusieurs chiffres.

Pour lire, l'enregistrement d'un nombre naturel à plusieurs chiffres est divisé, en partant de la droite, en groupes de trois chiffres, et dans le groupe le plus à gauche, il peut y avoir soit 1 , ou 2 , ou 3 Nombres. Ces groupes sont appelés Des classes. La classe de droite s'appelle catégorie de parts. La classe qui la suit (de droite à gauche) s'appelle classe de milliers, cours suivant - million de classe, suivant - milliard de classe, vient ensuite classe de mille milliards. On peut donner les noms des classes suivantes, mais des nombres naturels dont la notation consiste en 16 , 17 , 18 etc. les signes ne sont généralement pas lus, car ils sont très difficiles à percevoir à l'oreille.

Regardez des exemples de division de nombres à plusieurs chiffres en classes (pour plus de clarté, les classes sont séparées les unes des autres par un petit retrait) : 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Mettons les nombres naturels écrits dans un tableau qui permet d'apprendre facilement à les lire.

Pour lire un nombre naturel, on appelle ses nombres constitutifs par classe de gauche à droite et on ajoute le nom de la classe. Dans le même temps, nous ne prononçons pas le nom de la classe d'unités et ignorons également les classes qui constituent trois chiffres. 0 . Si l'entrée de classe a un numéro à gauche 0 ou deux chiffres 0 , alors nous ignorons ces chiffres 0 et lisez le nombre obtenu en écartant ces nombres 0 . Par exemple, 002 lire comme « deux », et 025 - comme dans « vingt-cinq ».

Lisons le numéro 489 002 selon les règles données.

On lit de gauche à droite,

• lire le numéro 489 , représentant la classe des milliers, est « quatre cent quatre-vingt-neuf » ;
• ajoutez le nom de la classe, nous obtenons « quatre cent quatre-vingt-neuf mille » ;
• plus loin dans la classe d'unités, nous voyons 002 , il y a des zéros à gauche, on les ignore, donc 002 lire comme « deux » ;
• il n'est pas nécessaire d'ajouter le nom de la classe d'unités ;
• à la fin nous avons 489 002 - « quatre cent quatre-vingt-neuf mille deux ».

Commençons à lire le numéro 10 000 501 .

• A gauche dans la classe des millions on voit le nombre 10 , lisez « dix » ;
• ajoutez le nom de la classe, nous avons « dix millions » ;
• puis nous voyons l'entrée 000 dans la classe des milliers, puisque les trois chiffres sont des chiffres 0 , puis nous sautons ce cours et passons au suivant ;
• la catégorie de parts représente le nombre 501 , que l'on lit « cinq cent un » ;
• Ainsi, 10 000 501 - dix millions cinq cent un.

Faisons cela sans explication détaillée : 1 789 090 221 214 - « un billion sept cent quatre-vingt-neuf milliards quatre-vingt-dix millions deux cent vingt et un mille deux cent quatorze ».

Ainsi, la base de la compétence de lecture de nombres naturels à plusieurs chiffres est la capacité de diviser les nombres à plusieurs chiffres en classes, la connaissance des noms de classes et la capacité de lire des nombres à trois chiffres.

Les chiffres d'un nombre naturel, la valeur du chiffre.

Lors de l'écriture d'un nombre naturel, la signification de chaque chiffre dépend de sa position. Par exemple, un nombre naturel 539 correspond 5 des centaines, 3 des dizaines et 9 unités, donc le chiffre 5 en écrivant le numéro 539 détermine le nombre de centaines, chiffre 3 – le nombre de dizaines et le chiffre 9 - nombre d'unités. En même temps, ils disent que le chiffre 9 les coûts en chiffre des unités et numéro 9 est valeur du chiffre de l'unité, nombre 3 les coûts en place des dizaines et numéro 3 est valeur de position des dizaines, et le chiffre 5 -V lieu de centaines et numéro 5 est valeur de position des centaines.

Ainsi, décharge- d'une part, il s'agit de la position d'un chiffre dans la notation d'un nombre naturel, et d'autre part, de la valeur de ce chiffre, déterminée par sa position.

Les catégories reçoivent des noms. Si vous regardez les nombres dans la notation d'un nombre naturel de droite à gauche, alors ils correspondront aux chiffres suivants : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers, millions, dizaines de millions et bientôt.

Il est pratique de mémoriser les noms des catégories lorsqu’elles sont présentées sous forme de tableau. Écrivons un tableau contenant les noms de 15 catégories.

Notez que le nombre de chiffres d'un nombre naturel donné est égal au nombre de caractères impliqués dans l'écriture de ce nombre. Ainsi, le tableau enregistré contient les noms des chiffres de tous les nombres naturels, dont l'enregistrement contient jusqu'à 15 caractères. Les rangs suivants ont également leurs propres noms, mais ils sont très rarement utilisés, il est donc inutile de les mentionner.

À l'aide d'un tableau de chiffres, il est pratique de déterminer les chiffres d'un nombre naturel donné. Pour ce faire, vous devez écrire ce nombre naturel dans ce tableau de manière à ce qu'il y ait un chiffre dans chaque chiffre et que le chiffre le plus à droite soit dans le chiffre des unités.

Donnons un exemple. Écrivons un nombre naturel 67 922 003 942 dans le tableau, et les chiffres et la signification de ces chiffres deviendront clairement visibles.

Le nombre dans ce numéro est 2 se trouve à la place des unités, chiffre 4 – à la place des dizaines, chiffre 9 – à la place des centaines, etc. Il faut faire attention aux chiffres 0 , situés dans les catégories de dizaines de milliers et de centaines de milliers. Nombres 0 dans ces chiffres signifie l'absence d'unités de ces chiffres.

Il convient également de mentionner le chiffre dit le plus bas (le plus jeune) et le plus élevé (le plus significatif) d'un nombre naturel à plusieurs chiffres. Rang le plus bas (junior) de tout nombre naturel à plusieurs chiffres est le chiffre des unités. Le chiffre le plus élevé (le plus significatif) d'un nombre naturel est le chiffre correspondant au chiffre le plus à droite dans l'enregistrement de ce numéro. Par exemple, le chiffre de poids faible de l’entier naturel 23 004 est le chiffre des unités et le chiffre le plus élevé est le chiffre des dizaines de milliers. Si dans la notation d'un nombre naturel nous nous déplaçons par chiffres de gauche à droite, alors chaque chiffre suivant inférieur (plus jeune) le précédent. Par exemple, le rang des milliers est inférieur au rang des dizaines de milliers, et plus encore le rang des milliers est inférieur au rang des centaines de milliers, des millions, des dizaines de millions, etc. Si dans la notation d'un nombre naturel nous nous déplaçons par chiffres de droite à gauche, alors chaque chiffre suivant plus grand (plus vieux) le précédent. Par exemple, le chiffre des centaines est plus ancien que le chiffre des dizaines, et plus encore que le chiffre des unités.

Dans certains cas (par exemple, lors d'une addition ou d'une soustraction), ce n'est pas l'entier naturel lui-même qui est utilisé, mais la somme des termes numériques de cet entier naturel.

En bref sur le système de nombres décimaux.

Ainsi, nous nous sommes familiarisés avec les nombres naturels, leur signification inhérente et la manière d'écrire les nombres naturels à l'aide de dix chiffres.

En général, la méthode d'écriture des nombres à l'aide de signes est appelée système de numérotation. La signification d'un chiffre dans une notation numérique peut ou non dépendre de sa position. Les systèmes numériques dans lesquels la valeur d'un chiffre dans un nombre dépend de sa position sont appelés positionnel.

Ainsi, les nombres naturels que nous avons examinés et la méthode de leur écriture indiquent que nous utilisons un système de numérotation positionnelle. Il est à noter que le numéro occupe une place particulière dans cette numérotation. 10 . En effet, on compte par dizaines : dix unités sont combinées en une dizaine, une douzaine de dizaines sont combinées en une centaine, une douzaine de centaines sont combinées en mille, et ainsi de suite. Nombre 10 appelé base système de numérotation donné, et le système de numérotation lui-même est appelé décimal.

En plus du système de nombres décimaux, il en existe d'autres, par exemple, en informatique, on utilise le système de nombres positionnels binaires, et on rencontre le système sexagésimal lorsque nous parlons de sur la mesure du temps.

Bibliographie.

• Mathématiques. Tous les manuels pour la 5e année des établissements d'enseignement général.

Les mathématiques sont issues de la philosophie générale vers le VIe siècle avant JC. e., et à partir de ce moment sa marche victorieuse à travers le monde a commencé. Chaque étape du développement a introduit quelque chose de nouveau - le comptage élémentaire a évolué, s'est transformé en calcul différentiel et intégral, les siècles ont passé, les formules sont devenues de plus en plus confuses, et le moment est venu où « les mathématiques les plus complexes ont commencé - tous les nombres en ont disparu ». Mais quelle en était la base ?

Le début du temps

Les nombres naturels sont apparus avec les premières opérations mathématiques. Une colonne vertébrale, deux épines, trois épines... Elles sont apparues grâce aux scientifiques indiens qui ont développé le premier système positionnel.

Le mot « positionnalité » signifie que l'emplacement de chaque chiffre dans un nombre est strictement défini et correspond à son rang. Par exemple, les nombres 784 et 487 sont les mêmes nombres, mais les nombres ne sont pas équivalents, puisque le premier comprend 7 centaines, tandis que le second n'en comprend que 4. L'innovation indienne a été reprise par les Arabes, qui ont amené les nombres sous la forme que nous connaissons maintenant.

Dans les temps anciens, les chiffres étaient donnés sens mystique, Pythagore croyait que le nombre était à la base de la création du monde avec les éléments de base - le feu, l'eau, la terre et l'air. Si nous considérons tout uniquement du côté mathématique, alors qu'est-ce qu'un nombre naturel ? Le corps des nombres naturels est noté N et est une série infinie de nombres entiers et positifs : 1, 2, 3, … + ∞. Zéro est exclu. Utilisé principalement pour compter les articles et indiquer la commande.

Qu'est-ce que c'est en mathématiques ? Les axiomes de Peano

Le champ N est le champ de base sur lequel reposent les mathématiques élémentaires. Au fil du temps, les champs entiers, rationnels,

Les travaux du mathématicien italien Giuseppe Peano ont rendu possible la structuration plus poussée de l'arithmétique, ont atteint sa formalité et ont préparé le terrain pour d'autres conclusions qui dépassaient le domaine N.

Ce qu'est un nombre naturel a été clarifié plus tôt dans un langage simple ; nous examinerons ci-dessous la définition mathématique basée sur les axiomes de Peano.

• Un est considéré comme un nombre naturel.
• Le nombre qui suit un nombre naturel est un nombre naturel.
• Il n’y a pas d’entier naturel avant un.
• Si le nombre b suit à la fois le nombre c et le nombre d, alors c=d.
• Un axiome d'induction, qui à son tour montre ce qu'est un nombre naturel : si une affirmation qui dépend d'un paramètre est vraie pour le nombre 1, alors nous supposons qu'elle fonctionne également pour le nombre n du corps des nombres naturels N. Alors l'affirmation est également vraie pour n = 1 à partir du corps des nombres naturels N.

Opérations de base pour le domaine des nombres naturels

Puisque le champ N a été le premier pour les calculs mathématiques, les domaines de définition et les plages de valeurs d'un certain nombre d'opérations ci-dessous lui appartiennent. Ils sont fermés et non. La principale différence est que les opérations fermées sont garanties de laisser le résultat dans l'ensemble N, quels que soient les nombres impliqués. Il suffit qu'ils soient naturels. Le résultat d’autres interactions numériques n’est plus aussi clair et dépend directement du type de nombres impliqués dans l’expression, car il peut contredire la définition principale. Donc, opérations clôturées :

• addition - x + y = z, où x, y, z sont inclus dans le champ N ;
• multiplication - x * y = z, où x, y, z sont inclus dans le champ N ;
• exponentiation - x y, où x, y sont inclus dans le champ N.

Les opérations restantes, dont le résultat peut ne pas exister dans le contexte de la définition de « qu'est-ce qu'un nombre naturel », sont les suivantes :

Propriétés des nombres appartenant au champ N

Tout autre raisonnement mathématique sera basé sur les propriétés suivantes, les plus triviales, mais non moins importantes.

• La propriété commutative de l'addition est x + y = y + x, où les nombres x, y sont inclus dans le champ N. Ou le fameux « la somme ne change pas en changeant la place des termes ».
• La propriété commutative de la multiplication est x * y = y * x, où les nombres x, y sont inclus dans le champ N.
• La propriété combinatoire de l'addition est (x + y) + z = x + (y + z), où x, y, z sont inclus dans le champ N.
• La propriété de correspondance de la multiplication est (x * y) * z = x * (y * z), où les nombres x, y, z sont inclus dans le champ N.
• propriété distributive - x (y + z) = x * y + x * z, où les nombres x, y, z sont inclus dans le champ N.

Tableau de Pythagore

L’une des premières étapes dans la connaissance par les élèves de la structure entière des mathématiques élémentaires après avoir compris par eux-mêmes quels nombres sont appelés nombres naturels est la table de Pythagore. Il peut être considéré non seulement du point de vue scientifique, mais aussi comme un monument scientifique de grande valeur.

Cette table de multiplication a subi de nombreuses évolutions au fil du temps : le zéro en a été supprimé, et les nombres de 1 à 10 se représentent eux-mêmes, sans tenir compte des ordres (centaines, milliers...). Il s'agit d'un tableau dans lequel les en-têtes de lignes et de colonnes sont des nombres et le contenu des cellules où ils se croisent est égal à leur produit.

Dans la pratique de l'enseignement au cours des dernières décennies, il est apparu nécessaire de mémoriser la table de Pythagore « dans l'ordre », c'est-à-dire que la mémorisation passait en premier. La multiplication par 1 a été exclue car le résultat était un multiplicateur de 1 ou plus. Pendant ce temps, dans le tableau, à l'œil nu, vous pouvez remarquer une régularité : le produit des nombres augmente d'un pas, ce qui est égal au titre de la ligne. Ainsi, le deuxième facteur nous montre combien de fois nous devons prendre le premier pour obtenir le produit souhaité. Ce système est beaucoup plus pratique que celui qui était pratiqué au Moyen Âge : même en comprenant ce qu'est un nombre naturel et à quel point il est trivial, les gens ont réussi à compliquer leur comptage quotidien en utilisant un système basé sur les puissances de deux.

Le sous-ensemble comme berceau des mathématiques

Sur ce moment le domaine des nombres naturels N n'est considéré que comme l'un des sous-ensembles des nombres complexes, mais cela ne les rend pas moins précieux en science. Les nombres naturels sont la première chose qu'un enfant apprend en étudiant lui-même et le monde. Un doigt, deux doigts... Grâce à cela, une personne développe une pensée logique, ainsi que la capacité de déterminer la cause et de déduire l'effet, ouvrant la voie à de grandes découvertes.