Klausimas mokslininkui: Girdėjau, kad visų natūraliųjų skaičių suma yra −1/12. Ar tai kažkoks triukas, ar tai tiesa?

MIPT spaudos tarnybos atsakymas– Taip, tokį rezultatą galima gauti naudojant techniką, vadinamą funkcijos išplėtimu serijoje.

Skaitytojo užduotas klausimas gana sudėtingas, todėl į jį atsakome ne įprastu kelių pastraipų rubrikai „Klausimas mokslininkui“ tekstu, o labai supaprastintu matematinio straipsnio panašumu.

Matematikos moksliniuose straipsniuose, kur reikalaujama įrodyti kokią nors sudėtingą teoremą, pasakojimas suskirstytas į kelias dalis, jose po vieną gali būti įrodomi įvairūs pagalbiniai teiginiai. Manome, kad skaitytojai yra susipažinę su matematikos kursu devyniose klasėse, todėl iš anksto atsiprašome tų, kuriems istorija atrodo per paprasta – abiturientai gali nedelsdami kreiptis į http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation .

Bendra suma

Pradėkime kalbėdami apie tai, kaip galite pridėti visus natūraliuosius skaičius. Natūralūs skaičiai yra skaičiai, naudojami kietiesiems objektams skaičiuoti – jie visi yra sveikieji ir neneigiami. Vaikai pirmiausia mokosi natūralių skaičių: 1, 2, 3 ir pan. Visų natūraliųjų skaičių suma bus formos 1+2+3+... = išraiška ir taip toliau iki begalybės.

Natūraliųjų skaičių serija yra begalinė, nesunku įrodyti: juk prie savavališkai didelio skaičiaus visada galima pridėti vieną. Ar net padauginkite šį skaičių iš savęs, ar net apskaičiuokite jo faktorialą – aišku, kad išeis dar didesnė reikšmė, kuri taip pat bus natūralusis skaičius.

Visos operacijos su be galo didelėmis reikšmėmis yra išsamiai nagrinėjamos matematinės analizės metu, tačiau dabar, kad suprastų tie, kurie dar neišlaikė šio kurso, mes šiek tiek supaprastinsime esmę. Tarkime, kad begalybė, prie kurios buvo pridėta, begalybė, kuri buvo kvadratinė arba begalybės faktorius, taip pat yra begalybė. Galime manyti, kad begalybė yra toks ypatingas matematinis objektas.

O pagal visas matematinės analizės taisykles I semestro rėmuose suma 1+2+3+...+begalybė taip pat yra begalinė. Tai lengva suprasti iš ankstesnės pastraipos: jei ką nors pridėsite prie begalybės, tai vis tiek bus begalybė.

Tačiau 1913 m. puikus savamokslis indų matematikas Srinivasa Ramanujanas Iyengoras sugalvojo būdą, kaip natūraliuosius skaičius sudėti kiek kitaip. Nepaisant to, kad Ramanujanas negavo specialaus išsilavinimo, jo žinios neapsiribojo šiandienos mokyklos kursu – matematikas žinojo apie Eulerio-Maklaurino formulės egzistavimą. Kadangi ji vaidina svarbų vaidmenį tolimesniame pasakojime, ją taip pat reikės papasakoti išsamiau.

Eulerio-Maklaurino formulė

Pradėkime parašydami šią formulę:

Kaip matote, tai gana sudėtinga. Kai kurie skaitytojai gali praleisti šią skiltį visiškai, kai kurie gali perskaityti atitinkamus vadovėlius ar bent jau Vikipedijos straipsnį, o kitiems pateiksime trumpą komentarą. Pagrindinį vaidmenį formulėje atlieka savavališka funkcija f(x), kuri gali būti beveik bet kokia, jei tik turi pakankamai išvestinių. Tiems, kurie nėra susipažinę su šia matematine sąvoka (ir vis dėlto nusprendė perskaityti, kas čia parašyta!), sakykime dar paprasčiau – funkcijos grafikas neturi būti bet kuriame taške smarkiai lūžtanti linija.

Funkcijos išvestinė, jei jos reikšmė itin supaprastinta, yra reikšmė, rodanti, kaip greitai funkcija auga arba mažėja. Geometriniu požiūriu išvestinė yra grafiko liestinės nuolydžio liestinė.

Kairėje formulės pusėje yra suma formos „f(x) reikšmė taške m + f(x) reikšmė taške m+1 + f(x) reikšmė taške m+2 ir taip iki taško m+n“. Be to, skaičiai m ir n yra natūralūs, tai reikėtų ypač pabrėžti.

Dešinėje matome keletą terminų, ir jie atrodo labai sudėtingi. Pirmasis (baigiasi dx) yra funkcijos nuo taško m iki taško n integralas. Rizikuodamas užsitraukti visų rūstybę

Trečiasis narys yra Bernulio skaičių (B 2k) suma, padalyta iš dvigubos skaičiaus k reikšmės faktorialo ir padauginta iš funkcijos f(x) išvestinių taškuose n ir m skirtumo. Be to, tai, kas apsunkina reikalus, yra dar labiau, čia ne tik išvestinė, o 2k-1 eilės išvestinė. Tai yra, visas trečiasis terminas atrodo taip:

Bernulio skaičių B 2 („2“, nes formulėje yra 2k, o pradedame skaičiuoti nuo k=1) padaliname iš faktorialo 2 (kol kas tai tik du) ir padauginame iš pirmos eilės išvestinių skirtumo. (2k-1 su k=1) funkcijos f(x) taškuose n ir m

Bernulio skaičius B 4 („4“, nes formulėje yra 2k, o k dabar lygus 2) padalytas iš faktorialo 4 (1 × 2x3 × 4 \u003d 24) ir padauginamas iš trečiosios eilės išvestinių skirtumo ( 2k-1 su k \u003d 2) funkcijomis f(x) taškuose n ir m

Bernulio skaičių B 6 (žr. aukščiau) padalijame iš koeficiento 6 (1 × 2x3 × 4x5 × 6 \u003d 720) ir padauginame iš funkcijos penktos eilės išvestinių skirtumo (2k-1, kai k \u003d 3) f (x) taškuose n ir m

Sumavimas tęsiamas iki k=p. Skaičiai k ir p gaunami tam tikromis savavališkomis reikšmėmis, kurias galime pasirinkti įvairiai, kartu su m ir n – natūraliaisiais skaičiais, kurie riboja sritį, kurią svarstome funkcija f (x). Tai yra, formulėje yra net keturi parametrai, ir tai, kartu su funkcijos f (x) savavališkumu, atveria daug galimybių tyrinėti.

Likęs kuklus R, deja, čia ne konstanta, bet ir gana gremėzdiška konstrukcija, išreikšta jau minėtais Bernulli skaičiais. Atėjo laikas paaiškinti, kas tai yra, iš kur jis atsirado ir kodėl apskritai matematikai pradėjo svarstyti tokias sudėtingas išraiškas.

Bernulli skaičiai ir serijos išplėtimai

Matematinės analizės metu yra tokia pagrindinė sąvoka kaip serijos išplėtimas. Tai reiškia, kad galite paimti kokią nors funkciją ir įrašyti ją ne tiesiogiai (pavyzdžiui, y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), o kaip begalinę to paties tipo terminų aibės sumą . Pavyzdžiui, daugelis funkcijų gali būti pavaizduotos kaip galios funkcijų suma, padauginta iš kai kurių koeficientų – tai yra, sudėtingos formos grafikas bus sumažintas iki tiesinių, kvadratinių, kubinių... ir tt kreivių derinio.

Elektrinio signalo apdorojimo teorijoje didžiulį vaidmenį atlieka vadinamoji Furjė eilutė – bet kurią kreivę galima išplėsti į skirtingų periodų sinusų ir kosinusų eilę; toks skaidymas reikalingas norint paversti signalą iš mikrofono į nulių ir vienetų seką, pavyzdžiui, mobiliojo telefono elektroninėje grandinėje. Serijų išplėtimai taip pat leidžia atsižvelgti į neelementarias funkcijas, o kai kurios svarbiausios fizikinės lygtys, jas išsprendus, pateikia išraiškas serijos, o ne kažkokio baigtinio funkcijų derinio pavidalu.

XVII amžiuje matematikai pradėjo glaudžiai bendradarbiauti su serijų teorija. Kiek vėliau tai leido fizikams efektyviai apskaičiuoti įvairių objektų šildymo procesus ir išspręsti daugybę kitų problemų, kurių čia nenagrinėsime. Atkreipiame dėmesį tik į tai, kad MIPT programoje, kaip ir visų pirmaujančių fizikos universitetų matematikos kursuose, bent vienas semestras skiriamas lygtims su sprendiniais vienos ar kitos serijos pavidalu.

Jacobas Bernoulli ištyrė natūraliųjų skaičių sumavimo tokiu pat laipsniu problemą (pavyzdžiui, 1^6 + 2^6 + 3^6 + ...) ir gavo skaičius, kurie gali būti naudojami kitoms funkcijoms išplėsti į aukščiau minėtas laipsnių eilutes. - pavyzdžiui, tg(x). Nors, atrodytų, liestinė nėra labai panaši bent į parabolę, bent jau į bet kokią galios funkciją!

Bernulio daugianariai vėliau buvo pritaikyti ne tik matematinės fizikos lygtyse, bet ir tikimybių teorijoje. Tai apskritai yra nuspėjama (juk nemažai fizinių procesų, tokių kaip Brauno judėjimas ar branduolių irimas, yra būtent dėl ​​įvairių nelaimingų atsitikimų), tačiau vis tiek verta paminėti.

Sunkią Eulerio-Maklaurino formulę matematikai naudojo įvairiems tikslams. Kadangi, viena vertus, joje yra tam tikruose taškuose esančių funkcijų reikšmių suma, kita vertus, yra ir integralų, ir serijų išplėtimų, naudojant šią formulę galima (priklausomai nuo to, ką žinome) kaip paimti kompleksinį integralą ir nustatyti serijų sumą.

Srinivasa Ramanujan sugalvojo kitą šios formulės pritaikymą. Jis jį šiek tiek pakeitė ir gavo tokią išraišką:

Kaip f(x) funkciją jis laikė tiesiog x – tegul f(x) = x, tai visiškai teisėta prielaida. Tačiau šiai funkcijai pirmoji išvestinė yra tiesiog lygi vienetui, o antroji ir visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui: jei viskas atsargiai pakeičiama į aukščiau pateiktą išraišką ir nustatomi atitinkami Bernoulli skaičiai, tada tiksliai –1/12 pasirodyti.

Tai, žinoma, pats indų matematikas suprato kaip neįprastą dalyką. Kadangi jis buvo ne šiaip savamokslis, bet ir talentingas savamokslis, apie atradimą, pakoregavusį matematikos pagrindus, visiems nepasakojo, o parašė laišką Godfrey'ui Hardy, pripažintam skaičių teorijos ir matematikos ekspertui. analizė. Beje, laiške buvo užrašas, kad Hardy tikriausiai norėtų autoriui nurodyti artimiausią psichiatrijos ligoninę: tačiau rezultatas, žinoma, buvo ne ligoninė, o bendras darbas.

Paradoksas

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gauname taip: visų natūraliųjų skaičių suma yra lygi –1/12, kai naudojama speciali formulė, leidžianti išplėsti savavališką funkciją į seriją su koeficientais, vadinamais Bernulio skaičiais. Tačiau tai nereiškia, kad 1+2+3+4 yra didesnis nei 1+2+3+... ir taip toliau iki begalybės. Šiuo atveju susiduriame su paradoksu, kuris atsiranda dėl to, kad išplėtimas į seriją yra tam tikras aproksimavimas ir supaprastinimas.

Galima pateikti daug paprastesnio ir akivaizdesnio matematinio paradokso pavyzdį, susijusį su vieno dalyko išraiška kažkuo kitu. Paimkime popieriaus lapą į dėžutę ir viename langelyje nubrėžkime laiptuotą liniją, kurioje būtų nurodytas žingsnio plotis ir aukštis. Akivaizdu, kad tokios linijos ilgis lygus dvigubam langelių skaičiui, tačiau įstrižainės, tiesinančios „kopėčias“, ilgis lygus langelių skaičiui, padaugintam iš dviejų šaknies. Jei kopėčias padarysite labai seklias, jos vis tiek bus tokio pat ilgio, o nutrūkusi linija, praktiškai nesiskirianti nuo įstrižainės, pasirodys du kartus tos pačios įstrižainės šaknis! Kaip matote, paradoksaliams pavyzdžiams nebūtina rašyti ilgų sudėtingų formulių.

Jei nesileidžiate į matematinės analizės lauką, Eulerio-Maklaurino formulė yra tokia pati aproksimacija, kaip trūkinė linija, o ne tiesi linija. Naudodamiesi šiuo aproksimavimu, galite gauti tą patį −1/12, tačiau tai toli gražu ne visada tinkama ir pagrįsta. Daugelyje teorinės fizikos uždavinių tokie skaičiavimai naudojami skaičiavimams, tačiau tai yra pats pažangiausias tyrimų taškas, kai dar per anksti kalbėti apie teisingą tikrovės atvaizdavimą matematinėmis abstrakcijomis ir skirtingų skaičiavimų neatitikimus. kiti yra gana dažni.

Taigi, vakuumo energijos tankio įverčiai, pagrįsti kvantinio lauko teorija ir pagrįsti astrofiziniais stebėjimais, skiriasi daugiau nei 120 dydžių kategorijų. Tai yra 10^120 galios kartų. Tai viena iš neišspręstų šiuolaikinės fizikos problemų; čia aiškiai šviečia pro mūsų žinių apie visatą spragą. Arba problema yra tinkamų matematinių metodų, leidžiančių apibūdinti mus supantį pasaulį, trūkumas. Teoriniai fizikai kartu su matematikais bando rasti būdų, kaip aprašyti fizikinius procesus, kuriuose nebus divergentiškų (į begalybę einančių) serijų, tačiau tai toli gražu nėra lengva užduotis.

Puslapio naršymas:

Apibrėžimas. Sveikieji skaičiai- tai yra skaičiai, kurie naudojami skaičiuojant: 1, 2, 3, ..., n, ...

Natūraliųjų skaičių aibė dažniausiai žymima simboliu N(iš lat. naturalis- natūralus).

Natūralūs skaičiai dešimtainėje skaičių sistemoje rašomi naudojant dešimt skaitmenų:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natūraliųjų skaičių aibė yra užsakytas komplektas, t.y. bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n yra teisingas vienas iš šių ryšių:

• arba m = n (m lygus n ),
• arba m > n (m yra didesnis nei n ),
• arba m< n (m меньше n ).

• Mažiausiai natūralus skaičius – vienetas (1)
• Didžiausio natūraliojo skaičiaus nėra.
• Nulis (0) nėra natūralusis skaičius.

Natūraliųjų skaičių aibė yra begalinė, nes bet kuriam skaičiui n visada yra skaičius m, kuris yra didesnis už n

Iš gretimų natūraliųjų skaičių vadinamas skaičius, esantis kairėje nuo skaičiaus n ankstesnis skaičius n, ir skambinama dešinėje esančiu numeriu po n.

Veiksmai su natūraliaisiais skaičiais

Uždarosios operacijos su natūraliaisiais skaičiais (operacijos, iš kurių gaunami natūralieji skaičiai) apima šias aritmetines operacijas:

• Papildymas
• Daugyba
• Eksponentiškumas a b , kur a yra laipsnio bazė, o b yra rodiklis. Jei bazė ir rodiklis yra natūralūs skaičiai, tada rezultatas bus natūralusis skaičius.

Be to, svarstomos dar dvi operacijos. Formaliu požiūriu tai nėra operacijos su natūraliaisiais skaičiais, nes jų rezultatas ne visada bus natūralusis skaičius.

• Atimtis(Tuo pačiu metu sumažintas dydis turi būti didesnis nei atimtas)
• Padalinys

Klasės ir rangai

Iškrova – skaitmens padėtis (padėtis) skaičiaus įraše.

Žemiausias rangas yra dešinėje. Aukščiausia tvarka yra kairiausia.

Pavyzdys:

5 - vienetai, 0 - dešimtys, 7 - šimtai,
2 - tūkstančiai, 4 - dešimtys tūkstančių, 8 - šimtai tūkstančių,
3 – milijonai, 5 – dešimtys milijonų, 1 – šimtai milijonų

Kad būtų lengviau skaityti, natūralūs skaičiai skirstomi į grupes po tris skaitmenis, pradedant iš dešinės.

Klasė- trijų skaitmenų grupė, į kurią skaičius padalintas, pradedant iš dešinės. Paskutinė klasė gali būti trijų, dviejų arba vieno skaitmens.

• Pirmoji klasė yra vienetų klasė;
• Antroji klasė yra tūkstančių klasė;
• Trečioji klasė yra milijonų klasė;
• Ketvirta klasė yra milijardų klasė;
• Penktoji klasė yra trilijonų klasė;
• Šeštoji klasė yra kvadrilijonų (kvadrilijonų) klasė;
• Septintoji klasė – kvintilijonų (kvintilijonų) klasė;
• Aštunta klasė yra sekstilijonų klasė;
• Devintoji klasė yra septilono klasė;

Pavyzdys:

34 – milijardai 456 milijonai 196 tūkstančiai 45

Natūraliųjų skaičių palyginimas

1. Natūralių skaičių su skirtingu skaitmenų skaičiumi palyginimas

   Iš natūraliųjų skaičių didesnis yra tas, kuriame yra daugiau skaitmenų

2. Natūralių skaičių palyginimas su tuo pačiu skaitmenų skaičiumi

   Palyginkite skaičius po truputį, pradėdami nuo reikšmingiausio skaitmens. Daugiau nei tai, kuri turi daugiau vienetų aukščiausiame to paties pavadinimo skaitmenyje

Pavyzdys:

3466 > 346 – kadangi skaičius 3466 susideda iš 4 skaitmenų, o skaičius 346 – iš 3 skaitmenų.

34666 < 245784 - nes 34666 turi 5 skaitmenis, o 245784 - 6 skaitmenis.

Pavyzdys:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Antrasis natūralusis skaičius su tuo pačiu skaitmenų skaičiumi yra didesnis, nes 6 > 2.

Paprasčiausias skaičius yra natūralusis skaičius. Jie naudojami kasdieniame gyvenime skaičiuojant daiktų, t.y. apskaičiuoti jų skaičių ir tvarką.

Kas yra natūralusis skaičius: natūraliuosius skaičiusįvardykite naudojamus skaičius skaičiuojant elementus arba nurodyti bet kurios prekės serijos numerį iš visų vienarūšių daiktų.

Sveikieji skaičiaiyra skaičiai, prasidedantys nuo vieno. Skaičiuojant jie susidaro natūraliai.Pavyzdžiui, 1,2,3,4,5... -pirmieji natūralieji skaičiai.

mažiausias natūralusis skaičius- vienas. Didžiausio natūraliojo skaičiaus nėra. Skaičiuojant skaičių nulis nenaudojamas, todėl nulis yra natūralusis skaičius.

natūralių skaičių serija yra visų natūraliųjų skaičių seka. Parašykite natūraliuosius skaičius:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Natūraliaisiais skaičiais kiekvienas skaičius yra vienu daugiau nei ankstesnis.

Kiek skaičių yra natūraliojoje eilutėje? Natūralioji eilutė yra begalinė, nėra didžiausio natūraliojo skaičiaus.

Dešimtainė, nes 10 bet kurios kategorijos vienetų sudaro 1 aukščiausios eilės vienetą. pozicinis taip kaip skaitmens reikšmė priklauso nuo jo vietos skaičiuje, t.y. iš kategorijos, kurioje jis įrašytas.

Natūraliųjų skaičių klasės.

Bet koks natūralusis skaičius gali būti parašytas naudojant 10 arabiškų skaitmenų:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Norint perskaityti natūraliuosius skaičius, jie skirstomi, pradedant iš dešinės, į grupes po 3 skaitmenis. 3 pirmas skaičiai dešinėje yra vienetų klasė, kiti 3 yra tūkstančių klasė, tada milijonų, milijardų irir tt Kiekvienas klasės skaitmuo vadinamas josiškrovimas.

Natūraliųjų skaičių palyginimas.

Iš 2 natūraliųjų skaičių skaičius, kuris skaičiuojant vadinamas anksčiau, yra mažesnis. Pavyzdžiui, numeris 7 mažiau 11 (parašyta taip:7 < 11 ). Kai vienas skaičius didesnis už antrą, rašoma taip:386 > 99 .

Skaičių ir skaičių klasių lentelė.

1 klasės vienetas	1 vieneto skaitmuo 2 vieta dešimt 3 šimtukų rangas
2 klasės tūkst	1-ojo skaitmens tūkstantiniai vienetai 2-as skaitmuo dešimtys tūkstančių 3 vieta šimtai tūkstančių
3 klasė milijonai	1-ojo skaitmens vienetai mln 2-as skaitmuo dešimtys milijonų 3 skaitmuo šimtai milijonų
4 klasė milijardai	1-ojo skaitmens vienetai milijardai 2-as skaitmuo dešimtys milijardų 3 skaitmuo šimtai milijardų

Skaičiai nuo 5 klasės ir vyresni yra dideli skaičiai. 5 klasės vienetai - trilijonai, 6-oji klasė - kvadrilijonai, 7 klasė - kvintilijonai, 8 klasė - sekstilijonai, 9 klasė - epitilijonai. Pagrindinės natūraliųjų skaičių savybės. Sudėjimo komutaciškumas . a + b = b + a Daugybos komutaciškumas. ab=ba Papildymo asociatyvumas. (a + b) + c = a + (b + c) Daugybos asociatyvumas. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu: Veiksmai su natūraliaisiais skaičiais. 4. Natūraliųjų skaičių dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija. Jeigu b ∙ c \u003d a, tada Padalijimo formulės: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (a∙ b) : c = (a:c) ∙ b (a∙ b) : c = (b:c) ∙ a Skaitinės išraiškos ir skaitinės lygybės. Žymėjimas, kai skaičiai yra sujungti veiksmo ženklais, yra skaitinė išraiška. Pavyzdžiui, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Įrašai, kuriuose lygybės ženklas sujungia 2 skaitines išraiškas, yra skaitines lygybes. Lygybė turi kairę ir dešinę pusę. Aritmetinių veiksmų atlikimo tvarka. Skaičių sudėjimas ir atėmimas yra pirmojo laipsnio operacijos, o daugyba ir dalyba yra antrojo laipsnio operacijos. Kai skaitinė išraiška susideda iš tik vieno laipsnio veiksmų, tada jie atliekami nuosekliai iš kairės į dešinę. Kai išraiškos susideda tik iš pirmojo ir antrojo laipsnio veiksmų, tada pirmiausia atliekami veiksmai antrojo laipsnio, o paskui – pirmojo laipsnio veiksmus. Kai reiškinyje yra skliaustų, pirmiausia atliekami skliausteliuose esantys veiksmai. Pavyzdžiui, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Sveikieji skaičiai mums labai pažįstamas ir natūralus. Ir tai nenuostabu, nes pažintis su jais prasideda nuo pirmųjų mūsų gyvenimo metų intuityviu lygiu.

Šiame straipsnyje pateikta informacija sukuria pagrindinį supratimą apie natūraliuosius skaičius, atskleidžia jų paskirtį, ugdo natūraliųjų skaičių rašymo ir skaitymo įgūdžius. Norint geriau įsisavinti medžiagą, pateikiami reikalingi pavyzdžiai ir iliustracijos.

Puslapio naršymas.

Natūralūs skaičiai yra bendras vaizdas.

Šioje nuomonėje netrūksta logiškos logikos: atsirado objektų skaičiavimo problema (pirmasis, antrasis, trečiasis objektas ir kt.) ir objektų skaičiaus nurodymo problema (vienas, du, trys objektai ir kt.) iki jos sprendimo įrankio sukūrimo, šis įrankis buvo sveikieji skaičiai.

Šis pasiūlymas parodo pagrindinė natūraliųjų skaičių paskirtis- turėti informaciją apie bet kokių prekių skaičių arba tam tikros prekės serijos numerį nagrinėjamame prekių rinkinyje.

Kad žmogus naudotų natūraliuosius skaičius, jie turi būti kokiu nors būdu prieinami tiek suvokimui, tiek dauginimuisi. Jei įgarsinsite kiekvieną natūralųjį skaičių, jis taps suvokiamas ausimi, o jei pavaizduosite natūralųjį skaičių, tada jį bus galima pamatyti. Tai yra natūraliausi natūraliųjų skaičių perteikimo ir suvokimo būdai.

Taigi, pradėkime įgyti natūraliųjų skaičių vaizdavimo (rašymo) ir įgarsinimo (skaitymo) įgūdžių, mokydamiesi jų reikšmės.

Natūralaus skaičiaus dešimtainis žymėjimas.

Pirmiausia turėtume nuspręsti, kuo remsimės rašydami natūraliuosius skaičius.

Įsimink šių simbolių atvaizdus (rodome atskirtus kableliais): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Rodomi vaizdai yra įrašas apie vadinamąjį numeriai. Iš karto susitarkime, kad rašydami skaičių neapverstume, nepakreiptume ir kitaip neiškraiptume.

Dabar sutinkame, kad bet kurio natūralaus skaičiaus žymėjime gali būti tik nurodyti skaitmenys ir negali būti jokių kitų simbolių. Taip pat sutinkame, kad natūralaus skaičiaus žymėjimo skaitmenys yra vienodo aukščio, yra išdėstyti eilutėje vienas po kito (beveik be įtraukų), o kairėje yra skaitmuo, kuris skiriasi nuo skaitmens 0 .

Štai keletas teisingo natūraliųjų skaičių žymėjimo pavyzdžių: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (pastaba: įtraukos tarp skaičių ne visada yra vienodos, daugiau apie tai bus aptarta peržiūrint). Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių matyti, kad natūralusis skaičius nebūtinai turi visus skaitmenis 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; kai kurie arba visi skaitmenys, dalyvaujantys rašant natūralųjį skaičių, gali pasikartoti.

Įrašai 014 , 0005 , 0 , 0209 nėra natūraliųjų skaičių įrašai, nes kairėje yra skaitmuo 0 .

Iškviečiamas natūraliojo skaičiaus įrašas, atliktas atsižvelgiant į visus šiame punkte aprašytus reikalavimus natūraliojo skaičiaus dešimtainis žymėjimas.

Toliau neskirsime natūraliųjų skaičių ir jų žymėjimo. Paaiškinkime tai: toliau tekste tokios frazės kaip „duotas natūralusis skaičius 582 “, o tai reikš, kad pateikiamas natūralusis skaičius, kurio žymėjimas turi formą 582 .

Natūralūs skaičiai objektų skaičiaus prasme.

Atėjo laikas spręsti kiekybinę reikšmę, kurią neša įrašytas natūralusis skaičius. Natūraliųjų skaičių reikšmė numeravimo objektų atžvilgiu nagrinėjama straipsnyje natūraliųjų skaičių palyginimas.

Pradėkime nuo natūraliųjų skaičių, kurių įrašai sutampa su skaitmenų įrašais, tai yra su skaičiais 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ir 9 .

Įsivaizduokite, kad atidarėme akis ir pamatėme, pavyzdžiui, kokį nors objektą. Tokiu atveju galime rašyti tai, ką matome 1 tema. Natūralusis skaičius 1 skaitomas kaip " vienas"(skaitmens "vienas" deklinacija, kaip ir kiti skaitmenys, pateiksime pastraipoje), skaičiui 1 priėmė kitą vardą - " vienetas».

Tačiau terminas „vienetas“ yra daugiareikšmis, be natūraliojo skaičiaus 1 , vadinami tuo, kas laikoma visuma. Pavyzdžiui, bet kuris vienas elementas iš jų rinkinio gali būti vadinamas vienetu. Pavyzdžiui, bet koks obuolys iš daugelio obuolių yra vienas, bet koks paukščių pulkas iš daugybės paukščių pulkų taip pat yra vienas ir pan.

Dabar atveriame akis ir matome: Tai yra, mes matome vieną objektą ir kitą objektą. Tokiu atveju galime rašyti tai, ką matome 2 tema. Natūralusis skaičius 2 , skaitoma kaip " du».

Taip pat, - 3 tema (skaityti " trys» tema), - 4 (« keturi"") temos, - 5 (« penkios»), - 6 (« šeši»), - 7 (« septyni»), - 8 (« aštuoni»), - 9 (« devynios“) elementus.

Taigi, iš nagrinėjamos padėties, natūralieji skaičiai 1 , 2 , 3 , …, 9 nurodyti suma daiktų.

Skaičius, kurio žymėjimas sutampa su skaitmens žymėjimu 0 , vadinamas " nulis“. Skaičius nulis NĖRA natūralusis skaičius, tačiau dažniausiai jis laikomas kartu su natūraliaisiais skaičiais. Atminkite: nulis reiškia kažko nebuvimą. Pavyzdžiui, nulis elementų nėra vienas elementas.

Tolesnėse straipsnio pastraipose ir toliau atskleisime natūraliųjų skaičių reikšmę nurodant kiekį.

vienženklius natūraliuosius skaičius.

Akivaizdu, kad kiekvieno natūraliojo skaičiaus įrašas 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 susideda iš vieno ženklo – vieno skaitmens.

Apibrėžimas.

Vienženkliai natūralūs skaičiai yra natūralūs skaičiai, kurių įrašas susideda iš vieno ženklo – vieno skaitmens.

Išvardykime visus vienaženklius natūraliuosius skaičius: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Yra devyni vienaženkliai natūralieji skaičiai.

Dviženkliai ir triženkliai natūralūs skaičiai.

Pirmiausia pateikiame dviženklių natūraliųjų skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Dviženkliai natūralūs skaičiai- tai yra natūralūs skaičiai, kurių įrašą sudaro du simboliai - du skaitmenys (skirtingi arba vienodi).

Pavyzdžiui, natūralusis skaičius 45 - dviženkliai, skaičiai 10 , 77 , 82 taip pat dviženklis 5 490 , 832 , 90 037 - ne dviženklis.

Išsiaiškinkime, kokią reikšmę turi dviženkliai skaičiai, o pradėsime nuo mums jau žinomų vienaženklių natūraliųjų skaičių kiekybinės reikšmės.

Pirmiausia pristatykime koncepciją dešimt.

Įsivaizduokime tokią situaciją – atsimerkę pamatėme rinkinį, susidedantį iš devynių objektų ir dar vieno objekto. Šiuo atveju kalbama apie 1 dešimt (viena tuzinas) prekių. Jei kartu laikome vieną dešimtį ir dar vieną dešimt, tada kalbama apie 2 dešimtys (dvi dešimtys). Jei prie dviejų dešimčių pridėsime dar dešimt, turėsime tris dešimtukus. Tęsdami šį procesą gausime keturias dešimtis, penkias dešimtis, šešias dešimtis, septynias dešimtis, aštuonias dešimtis ir galiausiai devynias dešimtis.

Dabar galime pereiti prie dviženklių natūraliųjų skaičių esmės.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite dviženklį skaičių kaip du vienaženklius skaičius - vienas yra kairėje dviženklio skaičiaus žymėjime, kitas yra dešinėje. Skaičius kairėje rodo dešimčių skaičių, o skaičius dešinėje – vienetų skaičių. Be to, jei dviženklio skaičiaus įraše dešinėje yra skaitmuo 0 , tai reiškia, kad vienetų nėra. Tai yra visa dviženklių natūraliųjų skaičių esmė nurodant sumą.

Pavyzdžiui, dviženklis natūralusis skaičius 72 atitinka 7 dešimtys ir 2 vienetų (ty 72 obuoliai yra septynių dešimčių obuolių ir dar dviejų obuolių rinkinys), ir skaičius 30 atsakymai 3 dešimtys ir 0 nėra vienetų, tai yra vienetų, kurie nėra sujungti į dešimtis.

Atsakykime į klausimą: „Kiek yra dviženklių natūraliųjų skaičių“? Atsakymas: juos 90 .

Mes kreipiamės į triženklių natūraliųjų skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Natūralūs skaičiai, kurių žymėjimas susideda iš 3 ženklai - 3 vadinami skaitmenys (skirtingi arba pasikartojantys). triženklis.

Natūralių triženklių skaičių pavyzdžiai yra 372 , 990 , 717 , 222 . Sveikieji skaičiai 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nėra trijų skaitmenų.

Norint suprasti triženklių natūraliųjų skaičių reikšmę, mums reikia šios sąvokos šimtai.

Dešimčių dešimčių rinkinys yra 1 šimtas (šimtas). Šimtas ir šimtas yra 2 šimtai. Du šimtai ir kitas šimtas yra trys šimtai. Ir taip toliau, turime keturis šimtus, penkis šimtus, šešis šimtus, septynis šimtus, aštuonis šimtus ir galiausiai devynis šimtus.

Dabar pažiūrėkime į triženklį natūralųjį skaičių kaip į tris vienaženklius natūraliuosius skaičius, einančius vienas po kito iš dešinės į kairę triženklio natūralaus skaičiaus žymėjime. Skaičius dešinėje nurodo vienetų skaičių, kitas skaičius – dešimtis, kitas skaičius – šimtus. Skaičiai 0 triženklio skaičiaus įraše reiškia dešimčių ir (ar) vienetų nebuvimą.

Taigi, triženklis natūralusis skaičius 812 atitinka 8 šimtai 1 dešimtukas ir 2 vienetai; numerį 305 - trys šimtai 0 dešimtys, tai yra, dešimtys nesujungiamos į šimtus, ne) ir 5 vienetai; numerį 470 - keturi šimtai septyni dešimtukai (nėra vienetų, kurie nebūtų sujungti į dešimtis); numerį 500 - penki šimtai (dešimtukai nesujungti į šimtus, o vienetai nesujungti į dešimtis, ne).

Panašiai galima apibrėžti keturženklį, penkiaženklį, šešiaženklį ir pan. natūraliuosius skaičius.

Daugiareikšmiai natūralūs skaičiai.

Taigi, mes kreipiamės į daugiareikšmių natūraliųjų skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Daugiareikšmiai natūralūs skaičiai- tai yra natūralūs skaičiai, kurių įrašas susideda iš dviejų, trijų, keturių ir pan. ženklai. Kitaip tariant, daugiaženkliai natūralūs skaičiai yra dviženkliai, triženkliai, keturženkliai ir kt. numeriai.

Iš karto pasakykime, kad rinkinys, susidedantis iš dešimties šimtų, yra tūkstantis, tūkstantis tūkstančių yra vienas milijonas, yra tūkstantis milijonų vienas milijardas, yra tūkstantis milijardų vienas trilijonas. Tūkstančiai trilijonų, tūkstančiams trilijonų ir tt taip pat gali būti pavadinti savo vardais, tačiau tam nėra ypatingo poreikio.

Taigi, kokia yra daugiareikšmių natūraliųjų skaičių prasmė?

Pažiūrėkime į daugiaženklį natūralųjį skaičių kaip į vienženklius natūraliuosius skaičius, einančius vienas po kito iš dešinės į kairę. Skaičius dešinėje rodo vienetų skaičių, kitas skaičius yra dešimtys, kitas - šimtų skaičius, tada tūkstančių skaičius, kitas - dešimtys tūkstančių, kitas - šimtai tūkstančių , kitas yra milijonų skaičius, kitas yra dešimčių milijonų skaičius, kitas yra šimtai milijonų, kitas - milijardų skaičius, tada - dešimčių milijardų skaičius, tada - šimtai milijardų, tada - trilijonai, tada - dešimtys trilijonų, tada - šimtai trilijonų ir pan.

Pavyzdžiui, daugiaženklis natūralusis skaičius 7 580 521 atitinka 1 vienetas, 2 tuzinai, 5 šimtai 0 tūkstančiai 8 dešimtys tūkstančių 5 šimtai tūkstančių ir 7 milijonai.

Taip išmokome sugrupuoti vienetus į dešimtis, dešimtis į šimtus, šimtus į tūkstančius, tūkstančius į dešimtis tūkstančių ir tt ir išsiaiškinome, kad daugiaženklio natūralaus skaičiaus įraše esantys skaičiai nurodo atitinkamą skaičių. aukščiau esančios grupės.

Natūralių skaičių, klasių skaitymas.

Jau minėjome, kaip skaitomi vienženkliai natūralieji skaičiai. Išmokime atmintinai šių lentelių turinį.

O kaip skaitomi kiti dviženkliai skaičiai?

Paaiškinkime pavyzdžiu. Natūralaus skaičiaus skaitymas 74 . Kaip sužinojome aukščiau, šis skaičius atitinka 7 dešimtys ir 4 vienetai, tai yra 70 ir 4 . Atsigręžiame į ką tik parašytas lenteles ir skaičių 74 skaitome taip: „Septyniasdešimt keturi“ (sąjungos „ir“ netariame). Jei norite perskaityti skaičių 74 sakinyje: „Ne 74 obuoliai“ (gimdyvioji raidė), tada skambės taip: „Nėra septyniasdešimt keturių obuolių“. Kitas pavyzdys. Skaičius 88 - tai yra 80 ir 8 , todėl skaitome: „Aštuoniasdešimt aštuoni“. O štai sakinio pavyzdys: „Galvoja apie aštuoniasdešimt aštuonis rublius“.

Pereikime prie triženklių natūraliųjų skaičių skaitymo.

Norėdami tai padaryti, turėsime išmokti dar keletą naujų žodžių.

Belieka parodyti, kaip skaitomi likę triženkliai natūralieji skaičiai. Tokiu atveju panaudosime jau įgytus vienženklių ir dviženklių skaičių skaitymo įgūdžius.

Paimkime pavyzdį. Paskaitykime skaičių 107 . Šis skaičius atitinka 1 šimtas ir 7 vienetai, tai yra 100 ir 7 . Vartydami lenteles skaitome: „Šimtas septyni“. Dabar pasakykime skaičių 217 . Šis skaičius yra 200 ir 17 , todėl skaitome: „Du šimtai septyniolika“. Taip pat, 888 - tai yra 800 (aštuoni šimtai) ir 88 (aštuoniasdešimt aštuoni), skaitome: „Aštuoni šimtai aštuoniasdešimt aštuoni“.

Mes pereiname prie daugiaženklių skaičių skaitymo.

Skaitymui daugiaženklio natūralaus skaičiaus įrašas dalijamas, pradedant iš dešinės, į trijų skaitmenų grupes, o kairiojoje tokioje grupėje gali būti arba 1 , arba 2 , arba 3 numeriai. Šios grupės vadinamos klases. Dešinėje esanti klasė vadinama vieneto klasė. Iškviečiama kita klasė (iš dešinės į kairę). tūkstantinė klasė, kita klasė yra milijonų klasė, Kitas - milijardų klasė, tada eina trilijono klasės. Galite nurodyti šių klasių pavadinimus, bet natūraliuosius skaičius, kurių įrašą sudaro 16 , 17 , 18 ir tt ženklai paprastai neskaitomi, nes juos labai sunku suvokti ausimi.

Pažvelkite į kelių skaitmenų skaičių padalijimo į klases pavyzdžius (aiškumo dėlei klasės yra atskirtos viena nuo kitos maža įtrauka): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Užrašytus natūraliuosius skaičius sudėkime į lentelę, pagal kurią lengva išmokti juos skaityti.

Norėdami perskaityti natūralųjį skaičių, skambiname iš kairės į dešinę skaičius, sudarančius jį pagal klasę, ir pridedame klasės pavadinimą. Tuo pačiu metu mes netariame vienetų klasės pavadinimo, taip pat praleidžiame tas klases, kurios sudaro tris skaitmenis 0 . Jei klasės įrašo kairėje yra skaitmuo 0 arba du skaitmenys 0 , tada nekreipkite dėmesio į šiuos skaičius 0 ir perskaitykite skaičių, gautą atmetus šiuos skaitmenis 0 . Pavyzdžiui, 002 skaityti kaip „du“ ir 025 - kaip „dvidešimt penki“.

Paskaitykime skaičių 489 002 pagal pateiktas taisykles.

Skaitome iš kairės į dešinę,

• perskaityti numerį 489 , reiškiantis tūkstančių klasę, yra „keturi šimtai aštuoniasdešimt devyni“;
• pridėkite klasės pavadinimą, gausime „keturi šimtai aštuoniasdešimt devyni tūkstančiai“;
• toliau mūsų matomoje vienetų klasėje 002 , nuliai yra kairėje, todėl jų nepaisome 002 skaityti kaip "du";
• vieneto klasės pavadinimo pridėti nereikia;
• dėl to mes turime 489 002 - keturi šimtai aštuoniasdešimt devyni tūkstančiai du.

Pradėkime skaityti skaičių 10 000 501 .

• Kairėje milijonų klasėje matome skaičių 10 , skaitome "dešimt";
• pridėkite klasės pavadinimą, turime „dešimt milijonų“;
• toliau pamatysime įrašą 000 tūkstančių klasėje, nes visi trys skaitmenys yra skaitmenys 0 , tada praleidžiame šią klasę ir pereiname prie kitos;
• vieneto klasė reiškia skaičių 501 , kurį skaitome „penki šimtai vienas“;
• taigi, 10 000 501 dešimt milijonų penki šimtai vienas.

Padarykime tai be išsamių paaiškinimų: 1 789 090 221 214 - "vienas trilijonas septyni šimtai aštuoniasdešimt devyni milijardai devyniasdešimt milijonų du šimtai dvidešimt vienas tūkstantis du šimtai keturiolika".

Taigi, daugiaženklių natūraliųjų skaičių skaitymo įgūdžių pagrindas yra gebėjimas suskirstyti daugiaženklius skaičius į klases, klasių pavadinimų žinojimas ir gebėjimas skaityti triženklius skaičius.

Natūralaus skaičiaus skaitmenys, skaitmens reikšmė.

Rašant natūralųjį skaičių, kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Pavyzdžiui, natūralusis skaičius 539 atitinka 5 šimtai 3 dešimtys ir 9 vienetų, taigi ir pav 5 numerio įraše 539 apibrėžia šimtų skaičių, skaitmenį 3 yra dešimčių skaičius ir skaitmuo 9 - vienetų skaičius. Sakoma, kad skaičius 9 atsistoja vienetų skaitmuo ir numeris 9 yra vieneto skaitmenų vertė, numeris 3 atsistoja dešimčių vieta ir numeris 3 yra dešimčių vietinė vertė, ir numerį 5 - į šimtų vieta ir numeris 5 yra šimtai vietinės vertės.

Šiuo būdu, iškrovimas- tai, viena vertus, yra skaitmens vieta natūralaus skaičiaus žymėjime, kita vertus, šio skaitmens reikšmė, nustatoma pagal jo padėtį.

Gretai buvo pavadinti. Jei pažvelgsite į natūraliojo skaičiaus įrašo skaičius iš dešinės į kairę, tada juos atitiks šie skaitmenys: vienetai, dešimtys, šimtai, tūkstančiai, dešimtys tūkstančių, šimtai tūkstančių, milijonai, dešimtys milijonų ir taip toliau.

Kategorijų pavadinimus patogu atsiminti, kai jie pateikiami lentelės pavidalu. Parašykime lentelę su 15 skaitmenų pavadinimais.

Atkreipkite dėmesį, kad tam tikro natūralaus skaičiaus skaitmenų skaičius yra lygus simbolių, dalyvaujančių rašant šį skaičių, skaičiui. Taigi įrašytoje lentelėje yra visų natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimai, kurių įraše yra iki 15 simbolių. Šie skaitmenys taip pat turi savo pavadinimus, tačiau jie naudojami labai retai, todėl nėra prasmės jų minėti.

Naudojant skaitmenų lentelę, patogu nustatyti tam tikro natūraliojo skaičiaus skaitmenis. Norėdami tai padaryti, į šią lentelę turite įrašyti šį natūralųjį skaičių taip, kad kiekviename skaitmenyje būtų vienas skaitmuo, o dešinysis skaitmuo būtų vienetų skaitmuo.

Paimkime pavyzdį. Parašykime natūralųjį skaičių 67 922 003 942 lentelėje, o skaitmenys ir šių skaitmenų reikšmės bus aiškiai matomos.

Šio numerio įraše skaitmuo 2 stovi vienetais vieta, skaitmuo 4 - dešimties vietoje, skaitmuo 9 - šimtuose ir kt. Atkreipkite dėmesį į skaičius 0 , kurios yra dešimčių tūkstančių ir šimtų tūkstančių skaitmenys. Skaičiai 0 šiuose skaitmenyse reiškia šių skaitmenų vienetų nebuvimą.

Taip pat reikėtų paminėti daugiareikšmio natūraliojo skaičiaus vadinamąją žemiausią (mažiausią) ir aukščiausią (aukščiausią) kategorijas. Žemesnis (jaunesnysis) rangas bet koks daugiareikšmis natūralusis skaičius yra vieneto skaitmuo. Didžiausias (didžiausias) natūraliojo skaičiaus skaitmuo yra skaitmuo, atitinkantis šio skaičiaus įraše esantį dešinįjį skaitmenį. Pavyzdžiui, mažiausias natūralaus skaičiaus 23004 skaitmuo yra vieneto skaitmuo, o didžiausias skaitmuo yra dešimčių tūkstančių skaitmuo. Jei natūralaus skaičiaus žymėjime judame skaitmenimis iš kairės į dešinę, tai kiekvienas kitas skaitmuo žemesnis (jaunesnis) ankstesnįjį. Pavyzdžiui, tūkstančių skaitmuo yra mažesnis nei dešimčių tūkstančių skaitmuo, ypač tūkstantinis skaitmuo yra mažesnis už šimtų tūkstančių, milijonų, dešimčių milijonų ir kt. Jei natūralaus skaičiaus žymėjime judame skaitmenimis iš dešinės į kairę, tada kiekvienas kitas skaitmuo aukštesnis (vyresnis) ankstesnįjį. Pavyzdžiui, šimtų skaitmuo yra senesnis nei dešimčių skaitmuo, o juo labiau jis yra senesnis nei vienetų skaitmuo.

Kai kuriais atvejais (pavyzdžiui, atliekant sudėjimą ar atimtį) naudojamas ne pats natūralusis skaičius, o šio natūraliojo skaičiaus bitų narių suma.

Trumpai apie dešimtainę skaičių sistemą.

Taigi, susipažinome su natūraliaisiais skaičiais, su jiems būdinga reikšme ir būdu, kaip rašyti natūraliuosius skaičius naudojant dešimt skaitmenų.

Apskritai vadinamas skaičių rašymo naudojant ženklus metodas skaičių sistema. Skaičiaus reikšmė skaičiaus įraše gali priklausyti nuo jo padėties arba nepriklausyti. Iškviečiamos skaičių sistemos, kuriose skaitmens reikšmė skaičiaus įraše priklauso nuo jo padėties pozicinis.

Taigi, mūsų apsvarstyti natūralieji skaičiai ir jų rašymo būdas rodo, kad naudojame pozicinių skaičių sistemą. Reikėtų pažymėti, kad šioje skaičių sistemoje specialioje vietoje yra skaičius 10 . Iš tiesų, balas laikomas dešimtimis: dešimt vienetų sujungiami į dešimt, dešimt dešimčių sujungiami į šimtą, dešimt šimtų į tūkstantį ir t.t. Skaičius 10 paskambino pagrindu duota skaičių sistema, o pati skaičių sistema vadinama dešimtainis.

Be dešimtainių skaičių sistemos, yra ir kitų, pavyzdžiui, kompiuterių moksle naudojama dvejetainė pozicinė skaičių sistema, o matuojant laiką susiduriame su šešešialine sistema.

Bibliografija.

• Matematika. Bet kokie vadovėliai 5 ugdymo įstaigų klasėms.

Matematika atsirado iš bendrosios filosofijos maždaug VI amžiuje prieš Kristų. e., ir nuo to momento prasidėjo jos pergalingas žygis aplink pasaulį. Kiekvienas raidos etapas įvesdavo kažką naujo – elementarus skaičiavimas evoliucionavo, virto diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu, keitėsi šimtmečiai, formulės darėsi vis painesnės ir atėjo momentas, kai „prasidėjo sudėtingiausia matematika – iš jos dingo visi skaičiai“. Bet kas buvo pagrindas?

Laiko pradžia

Natūralūs skaičiai atsirado kartu su pirmaisiais matematiniais veiksmais. Kartą stuburas, du stuburai, trys stuburai... Jie atsirado Indijos mokslininkų dėka, kurie išvedė pirmąjį pozicinį

Žodis „poziciškumas“ reiškia, kad kiekvieno skaitmens vieta skaičiuje yra griežtai apibrėžta ir atitinka jo kategoriją. Pavyzdžiui, skaičiai 784 ir 487 yra tie patys skaičiai, tačiau skaičiai nėra lygiaverčiai, nes pirmasis apima 7 šimtus, o antrasis tik 4. Indų naujovę perėmė arabai, kurie atnešė skaičius į forma, kurią žinome dabar.

Senovėje skaičiams buvo suteikta mistinė reikšmė, Pitagoras tikėjo, kad skaičiumi yra pasaulio sukūrimo pagrindas kartu su pagrindiniais elementais – ugnimi, vandeniu, žeme, oru. Jei viską vertintume tik iš matematinės pusės, tai kas yra natūralusis skaičius? Natūraliųjų skaičių laukas žymimas N ir yra begalinė skaičių, kurie yra sveikieji ir teigiami: 1, 2, 3, … + ∞, serija. Nulis neįtraukiamas. Jis daugiausia naudojamas prekių skaičiavimui ir tvarkai nurodyti.

Kas yra matematikoje? Peano aksiomos

Laukas N yra pagrindinis laukas, kuriuo remiasi elementarioji matematika. Laikui bėgant sveikųjų skaičių laukai, racionalūs,

Italų matematiko Giuseppe Peano darbai leido toliau struktūrizuoti aritmetiką, pasiekė jos formalumą ir atvėrė kelią tolimesnėms išvadoms, kurios peržengė N sritį.

Kas yra natūralusis skaičius, anksčiau buvo paaiškinta paprasta kalba, toliau apžvelgsime matematinį apibrėžimą, pagrįstą Peano aksiomomis.

• Vienas laikomas natūraliuoju skaičiumi.
• Skaičius, einantis po natūraliojo skaičiaus, yra natūralusis skaičius.
• Natūralaus skaičiaus prieš vieną nėra.
• Jei skaičius b seka ir skaičių c, ir skaičių d, tai c=d.
• Indukcijos aksioma, kuri savo ruožtu parodo, kas yra natūralusis skaičius: jei koks nors teiginys, priklausantis nuo parametro, yra teisingas skaičiui 1, tai darome prielaidą, kad jis veikia ir skaičiui n iš natūraliųjų skaičių lauko N. Tada teiginys teisingas ir n =1 iš natūraliųjų skaičių N lauko.

Pagrindinės natūraliųjų skaičių lauko operacijos

Kadangi laukas N tapo pirmuoju matematiniams skaičiavimams, į jį nurodo ir apibrėžimo sritys, ir daugelio toliau pateiktų operacijų verčių diapazonai. Jie yra uždaryti ir ne. Pagrindinis skirtumas yra tas, kad uždaros operacijos garantuoja, kad rezultatas bus N aibėje, nesvarbu, kokie skaičiai yra susiję. Pakanka, kad jie būtų natūralūs. Likusios skaitinės sąveikos rezultatas nebėra toks vienareikšmis ir tiesiogiai priklauso nuo to, kokie skaičiai yra įtraukti į išraišką, nes tai gali prieštarauti pagrindiniam apibrėžimui. Taigi, uždarytos operacijos:

• priedas - x + y = z, kur x, y, z įtraukiami į lauką N;
• daugyba - x * y = z, kur x, y, z įtraukti į N lauką;
• eksponencija - x y , kur x, y yra įtraukti į N lauką.

Likusios operacijos, kurių rezultatas gali nebūti apibrėžimo „kas yra natūralusis skaičius“ kontekste, yra šios:

Skaičių, priklausančių laukui N, savybės

Visi tolesni matematiniai samprotavimai bus pagrįsti šiomis savybėmis, pačiomis trivialiausiomis, bet ne mažiau svarbiomis.

• Komutacinė sudėties savybė yra x + y = y + x, kur skaičiai x, y yra įtraukti į lauką N. Arba gerai žinomas "suma nekinta pasikeitus terminų vietoms".
• Komutacinė daugybos savybė yra x * y = y * x, kur skaičiai x, y yra įtraukti į lauką N.
• Asociatyvioji sudėjimo savybė yra (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z įtraukti į lauką N.
• Asociatyvi daugybos savybė yra (x * y) * z = x * (y * z), kur skaičiai x, y, z yra įtraukti į lauką N.
• pasiskirstymo savybė - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaičiai x, y, z įtraukti į lauką N.

Pitagoro stalas

Pitagoro lentelė yra vienas iš pirmųjų žingsnių mokiniams, kai jie patys supranta, kurie skaičiai vadinami natūraliais. Jį galima laikyti ne tik mokslo požiūriu, bet ir vertingu mokslo paminklu.

Ši daugybos lentelė laikui bėgant buvo pakeista: iš jos buvo pašalintas nulis, o skaičiai nuo 1 iki 10 reiškia save, neatsižvelgiant į eiles (šimtus, tūkstančius ...). Tai lentelė, kurioje eilučių ir stulpelių antraštės yra skaičiai, o jų sankirtos langelių turinys lygus jų sandaugai.

Mokymo praktikoje pastaraisiais dešimtmečiais atsirado poreikis mintinai išmokti pitagoro lentelę „tvarkoje“, tai yra, įsiminti buvo pirmoje vietoje. Dauginimas iš 1 buvo atmestas, nes rezultatas buvo 1 arba didesnis. Tuo tarpu lentelėje plika akimi matosi raštas: skaičių sandauga auga vienu žingsniu, kuris lygus eilutės pavadinimui. Taigi antrasis veiksnys parodo, kiek kartų reikia vartoti pirmąjį, kad gautume norimą produktą. Ši sistema yra daug patogesnė nei viduramžiais: net ir suprasdami, kas yra natūralusis skaičius ir koks jis trivialus, žmonės sugebėjo apsunkinti kasdienį skaičiavimą, naudodami sistemą, pagrįstą dviejų laipsniais.

Poaibis kaip matematikos lopšys

Šiuo metu natūraliųjų skaičių laukas N laikomas tik vienu iš kompleksinių skaičių poaibių, tačiau tai nedaro jų mažiau vertingų moksle. Natūralusis skaičius yra pirmas dalykas, kurį vaikas išmoksta tyrinėdamas save ir jį supantį pasaulį. Vienas pirštas, du pirštai... Jo dėka žmogus lavina loginį mąstymą, taip pat gebėjimą nustatyti priežastį ir išvesti pasekmes, atveriant kelią dideliems atradimams.