Segni di divisibilità dei numeri su 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 e altri numeri è utile sapere per risolvere velocemente problemi sulla notazione digitale di un numero. Invece di dividere un numero per un altro, è sufficiente controllare una serie di segni, in base ai quali è possibile determinare in modo univoco se un numero è divisibile per un altro completamente (se è un multiplo) o meno.

I principali segni di divisibilità

Portiamo principali segni di divisibilità dei numeri:

• Segno di divisibilità di un numero per "2" Il numero è equamente divisibile per 2 se il numero è pari (l'ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8)
  Esempio: il numero 1256 è un multiplo di 2 perché termina con 6. E il numero 49603 non è divisibile per 2 perché termina con 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "3" Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
  Esempio: il numero 4761 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 18 ed è divisibile per 3. E il numero 143 non è un multiplo di 3 perché la somma delle sue cifre è 8 e non è divisibile per 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "4" Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre del numero sono zero o se il numero composto dalle ultime due cifre è divisibile per 4
  Esempio: il numero 2344 è un multiplo di 4 perché 44 / 4 = 11. E il numero 3951 non è divisibile per 4 perché 51 non è divisibile per 4.
• Segno di divisibilità di un numero per "5" Un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra del numero è 0 o 5
  Esempio: il numero 5830 è divisibile per 5 perché termina con 0. Ma il numero 4921 non è divisibile per 5 perché termina con 1.
• Segno di divisibilità di un numero per "6" Un numero è divisibile per 6 se è divisibile per 2 e 3
  Esempio: Il numero 3504 è multiplo di 6 perché termina con 4 (segno di divisibilità per 2) e la somma delle cifre del numero è 12 ed è divisibile per 3 (segno di divisibilità per 3). E il numero 5432 non è completamente divisibile per 6, sebbene il numero finisca per 2 (si osserva il segno di divisibilità per 2), ma la somma delle cifre è 14 e non è completamente divisibile per 3.
• Segno di divisibilità di un numero per "8" Un numero è divisibile per 8 se le ultime tre cifre del numero sono zero o se il numero composto dalle ultime tre cifre del numero è divisibile per 8
  Esempio: il numero 93112 è divisibile per 8 perché 112 / 8 = 14. E il numero 9212 non è un multiplo di 8 perché 212 non è divisibile per 8.
• Segno di divisibilità di un numero per "9" Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9
  Esempio: Il numero 2916 è multiplo di 9, poiché la somma delle cifre è 18 ed è divisibile per 9. E il numero 831 non è nemmeno divisibile per 9, poiché la somma delle cifre del numero è 12 ed è non è divisibile per 9.
• Segno di divisibilità di un numero per "10" Un numero è divisibile per 10 se termina con 0
  Esempio: il numero 39590 è divisibile per 10 perché termina con 0. E il numero 5964 non è divisibile per 10 perché non termina con 0.
• Segno di divisibilità di un numero per "11" Un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre dei posti dispari è uguale alla somma delle cifre dei posti pari o le somme devono differire per 11
  Esempio: il numero 3762 è divisibile per 11 perché 3 + 6 = 7 + 2 = 9. E il numero 2374 non è divisibile per 11 perché 2 + 7 = 9 e 3 + 4 = 7.
• Segno di divisibilità di un numero per "25" Un numero è divisibile per 25 se termina con 00, 25, 50 o 75
  Esempio: il numero 4950 è un multiplo di 25 perché termina con 50. E 4935 non è divisibile per 25 perché termina con 35.

Criteri di divisibilità per un numero composto

Per scoprire se un dato numero è divisibile per un numero composto, devi scomporre questo numero composto in fattori relativamente primi, di cui sono noti i criteri di divisibilità. I numeri del coprima sono numeri che non hanno divisori comuni diversi da 1. Ad esempio, un numero è divisibile per 15 se è divisibile per 3 e 5.

Consideriamo un altro esempio di divisore composto: un numero è divisibile per 18 se è divisibile per 2 e 9. In questo caso, non puoi scomporre 18 in 3 e 6, poiché non sono coprimi, poiché hanno un divisore comune di 3 Lo verificheremo con l'esempio.

Il numero 456 è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 15, e divisibile per 6, poiché è divisibile sia per 3 che per 2. Ma se dividi manualmente 456 per 18, ottieni il resto. Se, per il numero 456, controlliamo i segni di divisibilità per 2 e 9, è subito chiaro che è divisibile per 2, ma non divisibile per 9, poiché la somma delle cifre del numero è 15 e non è divisibile per 9.

segno di divisibilità

Segno di divisibilità- una regola che consente di determinare in tempi relativamente brevi se un numero è un multiplo di un numero predeterminato senza dover eseguire una divisione effettiva. Di norma, si basa su azioni con una parte delle cifre dall'immissione del numero nel sistema numerico posizionale (di solito decimale).

Esistono diverse semplici regole che consentono di trovare piccoli divisori di un numero nel sistema dei numeri decimali:

Segno di divisibilità per 2

Segno di divisibilità per 3

Divisibilità per 4 segno

Segno di divisibilità per 5

Segno di divisibilità per 6

Segno di divisibilità per 7

Segno di divisibilità per 8

Segno di divisibilità per 9

Segno di divisibilità per 10

Segno di divisibilità per 11

Segno di divisibilità per 12

Segno di divisibilità per 13

Segno di divisibilità per 14

Segno di divisibilità per 15

Segno di divisibilità per 17

Segno di divisibilità per 19

Segno di divisibilità per 23

Segno di divisibilità per 25

Segno di divisibilità per 99

Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 99 se e solo se il numero stesso è divisibile per 99.

Segno di divisibilità per 101

Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi con segni variabili, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 101 se e solo se il numero stesso è divisibile per 101. Ad esempio, 590547 è divisibile per 101, poiché 59-05+47=101 è divisibile per 101).

Segno di divisibilità per 2 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di due se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per la stessa potenza.

Segno di divisibilità per 5 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di 5 se e solo se il numero formato dalle sue ultime n cifre è divisibile per la stessa potenza.

Segno di divisibilità per 10 n − 1

Dividiamo il numero in gruppi di n cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può contenere da 1 a n cifre) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli numeri di n cifre. Tale importo è divisibile per 10 n− 1 se e solo se il numero stesso è divisibile per 10 n − 1 .

Segno di divisibilità per 10 n

Un numero è divisibile per l'ennesima potenza di dieci se e solo se lo sono le sue ultime n cifre

Segni di divisibilità dei numeri- si tratta di regole che consentono, senza dividere, di scoprire in tempi relativamente brevi se tale numero è divisibile per uno dato senza resto.
Un po 'di segni di divisibilità abbastanza semplice, alcuni più difficili. In questa pagina troverai sia i segni di divisibilità dei numeri primi, come ad esempio 2, 3, 5, 7, 11, sia i segni di divisibilità dei numeri composti, come 6 o 12.
Spero che queste informazioni ti saranno utili.
Buon apprendimento!

Segno di divisibilità per 2

Questo è uno dei segni più semplici di divisibilità. Suona così: se il record di un numero naturale termina con una cifra pari, allora è pari (diviso senza resto per 2), e se il record di un numero termina con una cifra dispari, allora questo numero è dispari.
In altre parole, se l'ultima cifra di un numero è 2 , 4 , 6 , 8 o 0 - il numero è divisibile per 2, altrimenti non è divisibile
Ad esempio, numeri: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sono divisibili per 2 perché pari.
Un numero: 23 5 , 137 , 2303
non sono divisibili per 2 perché dispari.

Segno di divisibilità per 3

Questo segno di divisibilità ha regole completamente diverse: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora anche il numero è divisibile per 3; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 3, il numero non è divisibile per 3.
Quindi, per capire se un numero è divisibile per 3, basta sommare i numeri che lo compongono.
Si presenta così: 3987 e 141 sono divisi per 3, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - divisibile senza resto per 3), e nella seconda 1+4+1= 6 (6:3=2 - divisibile anche per 3 senza resto).
Ma i numeri: 235 e 566 non sono divisibili per 3, perché 2+3+5= 10 e 5+6+6= 17 (e sappiamo che né 10 né 17 possono essere divisi per 3 senza resto).

Divisibilità per 4 segno

Questo test di divisibilità sarà più complicato. Se le ultime 2 cifre del numero formano un numero divisibile per 4 o è 00, allora il numero è divisibile per 4, altrimenti questo numero non è divisibile per 4 senza resto.
Ad esempio: 1 00 e 3 64 sono divisibili per 4, perché nel primo caso il numero finisce in 00 , e nel secondo 64 , che a sua volta è divisibile per 4 senza resto (64:4=16)
Numeri 3 57 e 8 86 non sono divisibili per 4 perché nessuno dei due 57 nessuno dei due 86 non sono divisibili per 4, e quindi non corrispondono a questo criterio di divisibilità.

Segno di divisibilità per 5

E ancora, abbiamo un segno di divisibilità piuttosto semplice: se il record di un numero naturale termina con la cifra 0 o 5, allora questo numero è divisibile senza resto per 5. Se il record del numero termina con una cifra diversa, allora il numero senza resto non è divisibile per 5.
Ciò significa che tutti i numeri che terminano in cifre 0 e 5 , ad esempio 1235 5 e 43 0 , rientrano nella regola e sono divisibili per 5.
E, ad esempio, 1549 3 e 56 4 non terminano con 5 o 0, il che significa che non possono essere divisibili per 5 senza resto.

Segno di divisibilità per 6

Davanti a noi c'è un numero composto 6, che è il prodotto dei numeri 2 e 3. Quindi anche il segno di divisibilità per 6 è composto: affinché un numero sia divisibile per 6, deve corrispondere a due segni di divisibilità allo stesso tempo: il segno di divisibilità per 2 e il segno di divisibilità per 3. Allo stesso tempo, si noti che un numero composto come 4 ha un segno di divisibilità individuale, perché è un prodotto del numero 2 per se stesso . Ma torniamo al test di divisibilità per 6.
I numeri 138 e 474 sono pari e corrispondono ai segni di divisibilità per 3 (1+3+8=12, 12:3=4 e 4+7+4=15, 15:3=5), il che significa che sono divisibile per 6. Ma 123 e 447, sebbene siano divisibili per 3 (1+2+3=6, 6:3=2 e 4+4+7=15, 15:3=5), ma sono dispari, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 2, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 6.

Segno di divisibilità per 7

Questo criterio di divisibilità è più complicato: un numero è divisibile per 7 se il risultato della sottrazione dell'ultima cifra dal numero di decine di questo numero è divisibile per 7 o è uguale a 0.
Sembra piuttosto confuso, ma in pratica è semplice. Guarda tu stesso: numero 95 9 è divisibile per 7 perché 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 è divisibile per 7 senza resto). Inoltre, se ci sono difficoltà con il numero ottenuto durante le trasformazioni (a causa delle sue dimensioni, è difficile capire se è divisibile per 7 o meno, allora questa procedura può essere continuata tutte le volte che si ritiene opportuno).
Per esempio, 45 5 e 4580 1 hanno segni di divisibilità per 7. Nel primo caso, tutto è abbastanza semplice: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Nel secondo caso, faremo questo: 4580 -2*1=4580-2=4578. È difficile per noi capire se 457 8 per 7, quindi ripetiamo il processo: 457 -2*8=457-16=441. E ancora useremo il segno di divisibilità, poiché abbiamo ancora un numero di tre cifre davanti a noi 44 1. Quindi, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, cioè 42 è divisibile per 7 senza resto, il che significa che anche 45801 è divisibile per 7.
Ed ecco i numeri 11 1 e 34 5 non è divisibile per 7 perché 11 -2*1=11-2=9 (9 non è equamente divisibile per 7) e 34 -2*5=34-10=24 (24 non è equamente divisibile per 7).

Segno di divisibilità per 8

Il segno di divisibilità per 8 suona così: se le ultime 3 cifre formano un numero divisibile per 8, oppure è 000, allora il numero dato è divisibile per 8.
Numeri 1 000 o 1 088 sono divisibili per 8: il primo finisce con 000 , il secondo 88 :8=11 (divisibile per 8 senza resto).
Ed ecco i numeri 1 100 o 4 757 non sono divisibili per 8 perché i numeri 100 e 757 non sono divisibili per 8 senza resto.

Segno di divisibilità per 9

Questo segno di divisibilità è simile al segno di divisibilità per 3: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, allora anche il numero è divisibile per 9; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 9, il numero non è divisibile per 9.
Ad esempio: 3987 e 144 sono divisibili per 9 perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - divisibile senza resto per 9), e nella seconda 1+4+4= 9 (9:9=1 - divisibile anche senza resto per 9).
Ma i numeri: 235 e 141 non sono divisibili per 9, perché 2+3+5= 10 e 1+4+1= 6 (e sappiamo che né 10 né 6 possono essere divisi per 9 senza resto).

Segni di divisibilità per 10, 100, 1000 e altre unità di bit

Ho combinato questi criteri di divisibilità perché possono essere descritti allo stesso modo: un numero è divisibile per un'unità di bit se il numero di zeri alla fine del numero è maggiore o uguale al numero di zeri in una data unità di bit.
In altre parole, ad esempio, abbiamo numeri come questo: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . tutti divisibili per 1 0 ; 46400 e 867 000 sono anche divisibili per 1 00 ; e solo uno di loro - 867 000 divisibile per 1 000 .
Tutti i numeri che terminano con zero inferiori a un'unità di bit non sono divisibili per quell'unità di bit, ad esempio 600 30 e 7 93 non condividere 1 00 .

Segno di divisibilità per 11

Per scoprire se un numero è divisibile per 11, devi ottenere la differenza tra la somma delle cifre pari e dispari di questo numero. Se questa differenza è uguale a 0 o divisibile per 11 senza resto, il numero stesso è divisibile per 11 senza resto.
Per chiarire, propongo di prendere in considerazione degli esempi: 2 35 4 è divisibile per 11 perché ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 è anche divisibile per 11 perché ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ed ecco 1 1 1 o 4 35 4 non è divisibile per 11, poiché nel primo caso otteniamo (1 + 1) - 1 =1, e nel secondo ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Segno di divisibilità per 12

Il numero 12 è composto. Il suo segno di divisibilità è la corrispondenza ai segni di divisibilità per 3 e per 4 contemporaneamente.
Ad esempio, 300 e 636 corrispondono sia ai segni di divisibilità per 4 (le ultime 2 cifre sono zeri o divisibili per 4) sia ai segni di divisibilità per 3 (la somma delle cifre e il primo e il secondo numero sono divisibili per 3 ), e quindi sono divisibili per 12 senza resto.
Ma 200 o 630 non sono divisibili per 12, perché nel primo caso il numero corrisponde solo al segno di divisibilità per 4, e nel secondo - solo al segno di divisibilità per 3. Ma non entrambi i segni contemporaneamente.

Segno di divisibilità per 13

Un segno di divisibilità per 13 è che se il numero di decine di un numero, sommato alle unità di questo numero moltiplicato per 4, è un multiplo di 13 o uguale a 0, allora il numero stesso è divisibile per 13.
Prendi per esempio 70 2. Così 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 è equamente divisibile per 13), quindi 70 2 è divisibile per 13 senza resto. Un altro esempio è il numero 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Il numero 130 è divisibile per 13 senza resto, il che significa che il numero dato corrisponde al segno di divisibilità per 13.
Se prendiamo i numeri 12 5 o 21 2, quindi otteniamo 12 +4*5=32 e 21 +4*2=29 rispettivamente, e né 32 né 29 sono divisibili per 13 senza resto, il che significa che i numeri dati non sono divisibili per 13 senza resto.

Divisibilità dei numeri

Come si può vedere da quanto sopra, si può presumere che uno qualsiasi dei numeri naturali possa essere abbinato con il proprio segno di divisibilità individuale o un segno "composito" se il numero è un multiplo di diversi numeri diversi. Ma come mostra la pratica, sostanzialmente più grande è il numero, più complessa è la sua caratteristica. Forse il tempo dedicato alla verifica del criterio di divisibilità può essere uguale o maggiore della divisione stessa. Ecco perché di solito utilizziamo il più semplice dei test di divisibilità.

m e n c'è un numero intero K e nk= m, quindi il numero m diviso per n

L'uso delle abilità di divisibilità semplifica i calcoli e aumenta proporzionalmente la velocità della loro esecuzione. Analizziamo nel dettaglio la caratteristica principale caratteristiche di divisibilità.

Il criterio più semplice di divisibilità per unità: tutti i numeri sono divisibili per uno. È altrettanto elementare e con segni di divisibilità per Due, cinque, dieci. Un numero pari può essere diviso per due, o uno con una cifra finale di 0, per cinque - un numero con una cifra finale di 5 o 0. Solo quei numeri con una cifra finale di 0 saranno divisi per dieci, per 100 - solo quei numeri le cui due cifre finali sono zeri, accesi 1000 - solo quelli con tre zeri finali.

Per esempio:

Il numero 79516 può essere diviso per 2, poiché termina con 6, un numero pari; 9651 non è divisibile per 2, poiché 1 è una cifra dispari; 1790 è divisibile per 2 perché la cifra finale è zero. 3470 sarà diviso per 5 (la cifra finale è 0); 1054 non è divisibile per 5 (finale 4). 7800 sarà diviso per 10 e 100; 542000 è divisibile per 10, 100, 1000.

Caratteristica meno conosciuta, ma molto facile da usare caratteristiche di divisibilità sul 3 e 9 , 4 , 6 e 8, 25 . Ci sono anche caratteristiche di divisibilità per 7, 11, 13, 17, 19 e così via, ma in pratica sono usati molto meno frequentemente.

Una caratteristica della divisione per 3 e per 9.

Sul tre e/o su nove senza resto, verranno divisi quei numeri per i quali il risultato della somma delle cifre è un multiplo di tre e/o nove.

Per esempio:

Il numero 156321, risultato dell'addizione 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 sarà diviso per 3 e diviso per 9, rispettivamente, il numero stesso può essere diviso per 3 e 9. Il numero 79123 non sarà diviso per 3 o 9, in modo che la somma delle sue cifre (22) non sia divisibile per questi numeri.

Una caratteristica della divisione per 4, 8, 16 e così via.

Un numero può essere diviso senza resto per quattro, se le sue ultime due cifre sono zeri o sono un numero che può essere diviso per 4. In tutti gli altri casi, la divisione senza resto non è possibile.

Per esempio:

Il numero 75300 è divisibile per 4, poiché le ultime due cifre sono zeri; 48834 non è divisibile per 4 perché le ultime due cifre danno 34, che non è divisibile per 4; 35908 è divisibile per 4, poiché le ultime due cifre di 08 danno il numero 8 divisibile per 4.

Un principio simile è applicabile al criterio di divisibilità per otto. Un numero è divisibile per otto se le sue ultime tre cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 8. In caso contrario, il quoziente ottenuto dalla divisione non sarà un intero.

Stesse proprietà per la divisione per 16, 32, 64 ecc., ma non vengono utilizzati nei calcoli quotidiani.

Una caratteristica della divisibilità per 6.

Il numero è divisibile per sei, se è divisibile sia per due che per tre, con tutte le altre opzioni, la divisione senza resto è impossibile.

Per esempio:

126 è divisibile per 6, poiché è divisibile sia per 2 (il numero pari finale è 6) sia per 3 (la somma delle cifre 1 + 2 + 6 = 9 è divisibile per tre)

Una caratteristica della divisibilità per 7.

Il numero è divisibile per Sette se la differenza del suo doppio ultimo numero e "il numero rimasto senza l'ultima cifra" è divisibile per sette, allora il numero stesso è divisibile per sette.

Per esempio:

Il numero è 296492. Prendiamo l'ultima cifra "2", raddoppiala, esce 4. Sottrai 29649 - 4 = 29645. È problematico scoprire se è divisibile per 7, quindi analizzato nuovamente. Successivamente, raddoppiamo l'ultima cifra "5", risulta 10. Sottraiamo 2964 - 10 = 2954. Il risultato è lo stesso, non è chiaro se sia divisibile per 7, quindi continuiamo l'analisi. Analizziamo con l'ultima cifra "4", doppia, risulta 8. Sottrai 295 - 8 = 287. Confrontiamo duecentottantasette - non è divisibile per 7, in relazione a ciò continuiamo la ricerca. Per analogia, l'ultima cifra "7", raddoppiata, esce 14. Sottrai 28 - 14 \u003d 14. Il numero 14 è divisibile per 7, quindi il numero originale è divisibile per 7.

Una caratteristica della divisibilità per 11.

Sul undici sono divisibili solo quei numeri per i quali il risultato della somma delle cifre poste in posti dispari o è uguale alla somma delle cifre poste in posti pari, oppure è diverso per un numero divisibile per undici.

Per esempio:

Il numero 103.785 è divisibile per 11, poiché la somma delle cifre in posizione dispari, 1 + 3 + 8 = 12, è uguale alla somma delle cifre in posizione pari, 0 + 7 + 5 = 12. Il numero 9.163.627 è divisibile per 11, poiché la somma delle cifre in posizione dispari è 9 + 6 + 6 + 7 = 28 e la somma delle cifre in posizione pari è 1 + 3 + 2 = 6; la differenza tra i numeri 28 e 6 è 22, e questo numero è divisibile per 11. Il numero 461.025 non è divisibile per 11, poiché i numeri 4 + 1 + 2 = 7 e 6 + 0 + 5 = 11 non sono uguali a tra loro e la loro differenza 11 - 7 = 4 non è divisibile per 11.

Una caratteristica della divisibilità per 25.

Sul venticinque dividerà i numeri le cui due cifre finali sono zeri o formerà un numero che può essere diviso per venticinque (cioè i numeri che terminano con 00, 25, 50 o 75). Negli altri casi, il numero non può essere diviso interamente per 25.

Per esempio:

9450 è divisibile per 25 (finisce con 50); 5085 non è divisibile per 25.