I principali segni di divisibilità. Segni di divisibilità, o che non hanno diviso i numeri Per 1, i numeri sono divisibili senza resto

Segno di divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra è divisibile per 2, cioè è pari.

Segno di divisibilità per 3
Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

Divisibilità per 4 segno
Un numero è divisibile per 4 se e solo se il numero delle sue ultime due cifre è zero o divisibile per 4.

Segno di divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se e solo se l'ultima cifra è divisibile per 5 (cioè uguale a 0 o 5).

Segno di divisibilità per 6
Un numero è divisibile per 6 se e solo se è divisibile per 2 e 3.

Segno di divisibilità per 7
Un numero è divisibile per 7 se e solo se il risultato della sottrazione di due volte l'ultima cifra da questo numero senza l'ultima cifra è divisibile per 7 (ad esempio, 259 è divisibile per 7, poiché 25 - (2 9) = 7 è divisibile entro 7).

Segno di divisibilità per 8
Un numero è divisibile per 8 se e solo se le sue ultime tre cifre sono zero o formano un numero divisibile per 8.

Segno di divisibilità per 9
Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.

Segno di divisibilità per 10
Un numero è divisibile per 10 se e solo se termina con zero.

Segno di divisibilità per 11
Un numero è divisibile per 11 se e solo se la somma delle cifre con segni alternati è divisibile per 11 (cioè 182919 è divisibile per 11, poiché 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 è divisibile per 11) - conseguenza del fatto che tutti i numeri della forma 10 n quando divisi per 11 danno un resto di (-1) n .

Segno di divisibilità per 12
Un numero è divisibile per 12 se e solo se è divisibile per 3 e 4.

Segno di divisibilità per 13
Un numero è divisibile per 13 se e solo se il numero delle sue decine, sommato a quattro volte il numero delle unità, è multiplo di 13 (ad esempio, 845 è divisibile per 13, poiché 84 + (4 5) = 104 è divisibile per 13).

Segno di divisibilità per 14
Un numero è divisibile per 14 se e solo se è divisibile per 2 e 7.

Segno di divisibilità per 15
Un numero è divisibile per 15 se e solo se è divisibile per 3 e 5.

Segno di divisibilità per 17
Un numero è divisibile per 17 se e solo se il numero delle sue decine, sommato al numero di unità incrementate di 12, è multiplo di 17 (ad esempio 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Poiché 34 è divisibile per 17, anche 29053 è divisibile per 17). Il segno non è sempre conveniente, ma ha un certo significato in matematica. C'è un modo leggermente più semplice: un numero è divisibile per 17 se e solo se la differenza tra il numero delle sue decine e cinque volte il numero delle unità è un multiplo di 17 (ad esempio, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. poiché 15 non è divisibile per 17, anche 32952 non è divisibile per 17)

Segno di divisibilità per 19
Un numero è divisibile per 19 se e solo se il numero delle sue decine, sommato al doppio delle unità, è multiplo di 19 (ad esempio 646 è divisibile per 19, poiché 64 + (6 2) = 76 è divisibile entro il 19).

Segno di divisibilità per 23
Un numero è divisibile per 23 se e solo se le sue centinaia più la tripla delle sue decine sono un multiplo di 23 (ad esempio, 28842 è divisibile per 23, poiché 288 + (3 * 42) = 414 continua 4 + (3 * 14) = 46 è ovviamente divisibile per 23).

Segno di divisibilità per 25
Un numero è divisibile per 25 se e solo se le sue ultime due cifre sono divisibili per 25 (cioè, formano 00, 25, 50 o 75) o il numero è un multiplo di 5.

Segno di divisibilità per 99
Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 99 se e solo se il numero stesso è divisibile per 99.

Segno di divisibilità per 101
Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi con segni variabili, considerandoli come numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 101 se e solo se il numero stesso è divisibile per 101. Ad esempio, 590547 è divisibile per 101, poiché 59-05+47=101 è divisibile per 101).

Segni di divisibilità

Nota 2

I segni di divisibilità vengono solitamente applicati non al numero stesso, ma a numeri costituiti da cifre che partecipano alla scrittura di questo numero.

I test di divisibilità per i numeri $2, 5$ e $10$ consentono di verificare la divisibilità di un numero solo per un'ultima cifra del numero.

Altri segni di divisibilità implicano l'analisi di due, tre o più delle ultime cifre di un numero. Ad esempio, il test di divisibilità per $4$ richiede l'analisi di un numero a due cifre, che è composto dalle ultime due cifre del numero; il segno di divisibilità per 8 richiede l'analisi del numero, che è formato dalle ultime tre cifre del numero.

Quando si utilizzano altri criteri di divisibilità, è necessario analizzare tutte le cifre del numero. Ad esempio, quando si utilizza il test di divisibilità $ 3 $ e il test di divisibilità $ 9 $, è necessario trovare la somma di tutte le cifre di un numero e quindi controllare la divisibilità della somma trovata rispettivamente per $ 3 $ o $ 9 $.

I segni di divisibilità in numeri composti combinano molti altri segni. Ad esempio, il criterio di divisibilità per $6$ è l'unione dei criteri di divisibilità per i numeri $2$ e $3$, e il criterio di divisibilità per $12$ è l'unione dei numeri $3$ e $4$.

L'applicazione di alcuni criteri di divisibilità richiede un notevole lavoro computazionale. In questi casi, può essere più semplice eseguire la divisione diretta del numero $a$ per $b$, il che porterà alla decisione sulla questione se il numero dato $a$ può essere diviso per il numero $b$ senza un resto.

$ 2 $ Test di divisibilità

Osservazione 3

Se l'ultima cifra di un intero è divisibile per $2$ senza resto, allora anche il numero è divisibile per $2$ senza resto. In caso contrario, l'intero dato non è divisibile per $2$.

Esempio 1

Determina quali dei numeri proposti sono divisibili per $2: 10, 6 349, -765 386, 29 567. $

Soluzione.

Usiamo il test di divisibilità per $2$, secondo il quale possiamo concludere che i numeri $10$ e $–765 \ 386$ sono divisibili per $2$ senza resto, perché l'ultima cifra di questi numeri è rispettivamente $0$ e $6$. I numeri $6 \ 3494$ e $29 \ 567$ non sono divisibili per $2$ senza resto, perché l'ultima cifra rispettivamente di $9$ e $7$.

Risposta: $10$ e $–765\386$ sono divisibili per $2$, $6\349$ e $29\567$ non sono divisibili per $2$.

Osservazione 4

Gli interi per il risultato della loro divisibilità per $2$ sono divisi per Anche e strano.

$ 3 $ Test di divisibilità

Osservazione 5

Se la somma delle cifre di un intero è divisibile per $3$, allora il numero stesso è divisibile per $3$, altrimenti il ​​numero non è divisibile per $3$.

Esempio 2

Controlla se il numero $123$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Trova la somma delle cifre del numero $123=1+2+3=6$. Perché la somma risultante $6$ è divisibile per $3$, quindi per il criterio di divisibilità per $3$ il numero $123$ è divisibile per $3$.

Risposta: $123⋮3$.

Esempio 3

Controlla se il numero $58$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Trova la somma delle cifre del numero $58=5+8=13$. Perché la somma risultante $13$ non è divisibile per $3$, quindi per il criterio di divisibilità per $3$ il numero $58$ non è divisibile per $3$.

Risposta: $58$ non è divisibile per $3$.

A volte, per verificare la divisibilità di un numero per 3, è necessario applicare più volte il test di divisibilità per $3$. Tipicamente, questo approccio viene utilizzato quando si applicano criteri di divisibilità a numeri molto grandi.

Esempio 4

Controlla se il numero $999 \ 675 \ 444$ è divisibile per $3$.

Soluzione.

Trova la somma delle cifre di $ 999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = $ 57. Se è difficile dire dall'importo ricevuto se è divisibile per $3$, è necessario applicare nuovamente il test di divisibilità e trovare la somma delle cifre dell'importo ricevuto $57=5+7=12$. Perché la somma risultante $12$ è divisibile per $3$, quindi per il criterio di divisibilità per $3$ il numero $999 \ 675 \ 444$ è divisibile per $3$.

Risposta: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

$ 4 $ Test di divisibilità

Osservazione 6

Un intero è divisibile per $4$ se il numero che è composto dalle ultime due cifre del numero dato (nel loro ordine) è divisibile per $4$. Altrimenti, questo numero non è divisibile per $4$.

Esempio 5

Controlla se i numeri $123 \ 567$ e $48 \ 612$ sono divisibili per $4$.

Soluzione.

Il numero a due cifre composto dalle ultime due cifre di $ 123 \ 567 $ è $ 67 $. Il numero $67$ non è divisibile per $4$, perché $67\div 4=16 (resto 3)$. Ciò significa che il numero $123 \ 567$, secondo il criterio di divisibilità per $4$, non è divisibile per $44,44.

Il numero a due cifre composto dalle ultime due cifre di $ 48 \ 612 $ è $ 12 $. Il numero $12$ è divisibile per $4$ perché $12\div 4=3$. Quindi anche il numero $48 \ 612$ è divisibile per $4$ secondo il criterio della divisibilità per $4$.

Risposta: $123 \ 567$ non è divisibile per $4, 48 \ 612$ è divisibile per $4$.

Nota 7

Se le ultime due cifre di un dato numero sono zeri, allora il numero è divisibile per $4$.

Questa conclusione è dovuta al fatto che questo numero è divisibile per $ 100 $ e da allora $100$ è divisibile per $4$, quindi anche il numero è divisibile per $4$.

$ 5 $ Test di divisibilità

Nota 8

Se l'ultima cifra di un intero è $0$ o $5$, l'intero è divisibile per $5$ e non è divisibile per $5$ in tutti gli altri casi.

Esempio 6

Determina quali dei numeri proposti sono divisibili per $5: 10, 6 349, -765 385, 29 567. $

Soluzione.

Usiamo il test di divisibilità per $5$, secondo il quale possiamo concludere che i numeri $10$ e $–765 385$ sono divisibili per $5$ senza resto, perché l'ultima cifra di questi numeri è rispettivamente $0$ e $5$. I numeri $6 \ 349$ e $29 \ 567$ non sono divisibili per $5$ senza resto, perché l'ultima cifra rispettivamente di $9$ e $7$.


Una serie di articoli su segni di divisibilità continua segno di divisibilità per 3. Questo articolo fornisce innanzitutto la formulazione del criterio di divisibilità per 3 e fornisce esempi dell'applicazione di questo criterio per scoprire quali degli interi dati sono divisibili per 3 e quali no. Viene inoltre data la prova del test di divisibilità per 3. Vengono anche considerati approcci per stabilire la divisibilità per 3 di numeri dati come valore di qualche espressione.

Navigazione della pagina.

Segno di divisibilità per 3, esempi

Iniziamo con formulazioni del test di divisibilità per 3: un intero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, se la somma delle sue cifre non è divisibile per 3, allora il numero stesso non è divisibile per 3.

Dalla suddetta formulazione risulta chiaro che il segno di divisibilità per 3 non può essere utilizzato senza la capacità di eseguire. Inoltre, per la corretta applicazione del segno di divisibilità per 3, è necessario sapere che di tutti i numeri 3, 6 e 9 sono divisibili per 3 e che i numeri 1, 2, 4, 5, 7 e 8 non sono divisibili entro 3.

Ora possiamo considerare il più semplice esempi di applicazione del test di divisibilità per 3. Scopri se il numero −42 è divisibile per 3. Per fare ciò, calcoliamo la somma delle cifre del numero −42, è uguale a 4+2=6. Poiché 6 è divisibile per 3, allora, in virtù del criterio di divisibilità per 3, si può sostenere che anche il numero −42 è divisibile per 3. Ma l'intero positivo 71 non è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 7+1=8 e 8 non è divisibile per 3.

0 è divisibile per 3? Per rispondere a questa domanda non è necessario il test di divisibilità per 3, qui è necessario ricordare il corrispondente proprietà di divisibilità, che afferma che zero è divisibile per qualsiasi intero. Quindi 0 è divisibile per 3.

In alcuni casi, per dimostrare che un dato numero ha o non ha la capacità di essere divisibile per 3, il test di divisibilità per 3 deve essere applicato più volte di seguito. Facciamo un esempio.

Esempio.

Mostra che il numero 907444812 è divisibile per 3.

Soluzione.

La somma delle cifre di 907444812 è 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Per scoprire se 39 è divisibile per 3, calcoliamo la sua somma di cifre: 3+9=12 . E per scoprire se 12 è divisibile per 3, troviamo la somma delle cifre del numero 12, abbiamo 1+2=3. Poiché abbiamo ottenuto il numero 3, che è divisibile per 3, quindi, a causa del segno di divisibilità per 3, il numero 12 è divisibile per 3. Pertanto, 39 è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre è 12 e 12 è divisibile per 3. Infine, 907333812 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è 39 e 39 è divisibile per 3.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione di un altro esempio.

Esempio.

Il numero −543205 è divisibile per 3?

Soluzione.

Calcoliamo la somma delle cifre di questo numero: 5+4+3+2+0+5=19 . A sua volta, la somma delle cifre del numero 19 è 1+9=10 e la somma delle cifre del numero 10 è 1+0=1 . Avendo ottenuto il numero 1, che non è divisibile per 3, dal criterio di divisibilità per 3 consegue che 10 non è divisibile per 3. Pertanto, 19 non è divisibile per 3, perché la somma delle sue cifre è 10 e 10 non è divisibile per 3. Pertanto, il numero originale −543205 non è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre, pari a 19, non è divisibile per 3.

Risposta:

No.

Vale la pena notare che la divisione diretta di un dato numero per 3 permette anche di concludere se il numero dato è divisibile per 3 oppure no. Con ciò vogliamo dire che non va trascurata la divisione a favore del segno di divisibilità per 3. Nell'ultimo esempio, 543205 per 3 , ci assicureremmo che 543205 non sia nemmeno divisibile per 3 , da cui potremmo dire che anche −543205 non è divisibile per 3.

Prova del test di divisibilità per 3

La seguente rappresentazione del numero a ci aiuterà a dimostrare il segno di divisibilità per 3. Qualsiasi numero naturale a possiamo , dopo di che ci permette di ottenere una rappresentazione della forma , dove a n , a n−1 , ..., a 0 sono le cifre da sinistra a destra nella notazione del numero a . Per chiarezza, diamo un esempio di tale rappresentazione: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Ora scriviamo un numero di uguaglianze abbastanza ovvie: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 e così via.

Sostituendo in uguaglianza a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 invece di 10 , 100 , 1 000 e così via espressioni 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 e così via, otteniamo
.

E consenti di riscrivere l'uguaglianza risultante come segue:

Espressione è la somma delle cifre di a. Indichiamolo per brevità e comodità con la lettera A, cioè prendiamo . Quindi otteniamo una rappresentazione del numero a della forma, che useremo per provare il test di divisibilità per 3.

Inoltre, per dimostrare il test di divisibilità per 3, abbiamo bisogno delle seguenti proprietà di divisibilità:

  • che un intero a sia divisibile per un intero b è necessario e sufficiente che a sia divisibile per il modulo di b;
  • se nell'uguaglianza a=s+t tutti i termini, eccetto qualcuno, sono divisibili per un intero b, allora anche questo termine è divisibile per b.

Ora siamo completamente preparati e possiamo portare a termine prova di divisibilità per 3, per comodità, formuliamo questa caratteristica come condizione necessaria e sufficiente per la divisibilità per 3 .

Teorema.

Perché un intero a sia divisibile per 3, è necessario e sufficiente che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3.

Prova.

Per a=0 il teorema è ovvio.

Se a è diverso da zero, allora il modulo di a è un numero naturale, quindi la rappresentazione è possibile, dove è la somma delle cifre del numero a.

Poiché la somma e il prodotto degli interi è un intero, allora è un intero, quindi per definizione di divisibilità, il prodotto è divisibile per 3 per ogni a 0 , a 1 , …, a n .

Se la somma delle cifre del numero a è divisibile per 3, cioè A è divisibile per 3, allora, in virtù della proprietà di divisibilità indicata prima del teorema, è divisibile per 3, quindi a è divisibile per 3 . Questo dimostra la sufficienza.

Se a è divisibile per 3, allora è divisibile per 3, quindi per la stessa proprietà di divisibilità il numero A è divisibile per 3, cioè la somma delle cifre del numero a è divisibile per 3. Questo dimostra la necessità.

Altri casi di divisibilità per 3

A volte gli interi non vengono specificati in modo esplicito, ma come valore di un dato valore della variabile. Ad esempio, il valore di un'espressione per alcuni n naturali è un numero naturale. È chiaro che con una tale specificazione dei numeri, la divisione diretta per 3 non aiuterà a stabilirne la divisibilità per 3, e il segno di divisibilità per 3 non sarà sempre applicabile. Considereremo ora diversi approcci per risolvere tali problemi.

L'essenza di questi approcci è rappresentare l'espressione originale come un prodotto di più fattori, e se almeno uno dei fattori è divisibile per 3, allora, a causa della corrispondente proprietà di divisibilità, sarà possibile concludere che l'intero il prodotto è divisibile per 3.

A volte questo approccio consente di implementare. Consideriamo una soluzione di esempio.

Esempio.

Il valore dell'espressione è divisibile per 3 per ogni n naturale?

Soluzione.

L'uguaglianza è evidente. Usiamo la formula binomiale di Newton:

Nell'ultima espressione, prendiamo 3 tra parentesi e otteniamo . Il prodotto risultante è divisibile per 3, poiché contiene un fattore 3, e il valore dell'espressione tra parentesi per n naturale è un numero naturale. Pertanto, è divisibile per 3 per ogni n naturale.

Risposta:

Sì.

In molti casi, dimostrare la divisibilità per 3 consente . Analizziamo la sua applicazione nella risoluzione di un esempio.

Esempio.

Dimostra che per ogni n naturale il valore dell'espressione è divisibile per 3 .

Soluzione.

Per la dimostrazione utilizziamo il metodo dell'induzione matematica.

In n=1 il valore dell'espressione è , e 6 è divisibile per 3 .

Supponiamo che il valore dell'espressione sia divisibile per 3 quando n=k , cioè divisibile per 3 .

Tenendo conto che è divisibile per 3 , mostreremo che il valore dell'espressione per n=k+1 è divisibile per 3 , cioè mostreremo che è divisibile per 3.

Facciamo alcune trasformazioni:

L'espressione è divisa per 3 e l'espressione è divisibile per 3, quindi la loro somma è divisibile per 3.

Quindi il metodo dell'induzione matematica ha dimostrato la divisibilità per 3 per ogni n naturale.

Mostriamo un altro approccio alla dimostrazione della divisibilità per 3 . Se mostriamo che per n=3 m , n=3 m+1 e n=3 m+2 , dove m è un intero arbitrario, il valore di qualche espressione (con variabile n ) è divisibile per 3 , allora questo si dimostrerà divisibilità dell'espressione per 3 per qualsiasi intero n . Considera questo approccio quando risolvi l'esempio precedente.

In questo modo, poiché ogni n naturale è divisibile per 3.

Risposta:

Sì.

Bibliografia.

  • Vilenkin N.Ya. ecc. Matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.
  • Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
  • Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dei numeri.
  • Kulikov L.Ya. e altri Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: Libro di testo per studenti di fiz.-mat. specialità degli istituti pedagogici.

Segni di divisibilità dei numeri- si tratta di regole che consentono, senza dividere, di scoprire in tempi relativamente brevi se tale numero è divisibile per uno dato senza resto.
Un po 'di segni di divisibilità abbastanza semplice, alcuni più difficili. In questa pagina troverai sia i segni di divisibilità dei numeri primi, come ad esempio 2, 3, 5, 7, 11, sia i segni di divisibilità dei numeri composti, come 6 o 12.
Spero che queste informazioni ti saranno utili.
Buon apprendimento!

Segno di divisibilità per 2

Questo è uno dei segni più semplici di divisibilità. Suona così: se il record di un numero naturale termina con una cifra pari, allora è pari (diviso senza resto per 2), e se il record di un numero termina con una cifra dispari, allora questo numero è dispari.
In altre parole, se l'ultima cifra di un numero è 2 , 4 , 6 , 8 o 0 - il numero è divisibile per 2, altrimenti non è divisibile
Ad esempio, numeri: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sono divisibili per 2 perché pari.
Un numero: 23 5 , 137 , 2303
non sono divisibili per 2 perché dispari.

Segno di divisibilità per 3

Questo segno di divisibilità ha regole completamente diverse: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora anche il numero è divisibile per 3; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 3, il numero non è divisibile per 3.
Quindi, per capire se un numero è divisibile per 3, basta sommare i numeri che lo compongono.
Si presenta così: 3987 e 141 sono divisi per 3, perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - divisibile senza resto per 3), e nella seconda 1+4+1= 6 (6:3=2 - divisibile anche per 3 senza resto).
Ma i numeri: 235 e 566 non sono divisibili per 3, perché 2+3+5= 10 e 5+6+6= 17 (e sappiamo che né 10 né 17 possono essere divisi per 3 senza resto).

Divisibilità per 4 segno

Questo test di divisibilità sarà più complicato. Se le ultime 2 cifre del numero formano un numero divisibile per 4 o è 00, allora il numero è divisibile per 4, altrimenti questo numero non è divisibile per 4 senza resto.
Ad esempio: 1 00 e 3 64 sono divisibili per 4, perché nel primo caso il numero finisce in 00 , e nel secondo 64 , che a sua volta è divisibile per 4 senza resto (64:4=16)
Numeri 3 57 e 8 86 non sono divisibili per 4 perché nessuno dei due 57 nessuno dei due 86 non sono divisibili per 4, e quindi non corrispondono a questo criterio di divisibilità.

Segno di divisibilità per 5

E ancora, abbiamo un segno di divisibilità piuttosto semplice: se il record di un numero naturale termina con la cifra 0 o 5, allora questo numero è divisibile senza resto per 5. Se il record del numero termina con una cifra diversa, allora il numero senza resto non è divisibile per 5.
Ciò significa che tutti i numeri che terminano in cifre 0 e 5 , ad esempio 1235 5 e 43 0 , rientrano nella regola e sono divisibili per 5.
E, ad esempio, 1549 3 e 56 4 non terminano con 5 o 0, il che significa che non possono essere divisibili per 5 senza resto.

Segno di divisibilità per 6

Davanti a noi c'è un numero composto 6, che è il prodotto dei numeri 2 e 3. Quindi anche il segno di divisibilità per 6 è composto: affinché un numero sia divisibile per 6, deve corrispondere a due segni di divisibilità allo stesso tempo: il segno di divisibilità per 2 e il segno di divisibilità per 3. Allo stesso tempo, si noti che un numero composto come 4 ha un segno di divisibilità individuale, perché è un prodotto del numero 2 per se stesso . Ma torniamo al test di divisibilità per 6.
I numeri 138 e 474 sono pari e corrispondono ai segni di divisibilità per 3 (1+3+8=12, 12:3=4 e 4+7+4=15, 15:3=5), il che significa che sono divisibile per 6. Ma 123 e 447, sebbene siano divisibili per 3 (1+2+3=6, 6:3=2 e 4+4+7=15, 15:3=5), ma sono dispari, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 2, e quindi non corrispondono al criterio di divisibilità per 6.

Segno di divisibilità per 7

Questo criterio di divisibilità è più complicato: un numero è divisibile per 7 se il risultato della sottrazione dell'ultima cifra dal numero di decine di questo numero è divisibile per 7 o è uguale a 0.
Sembra piuttosto confuso, ma in pratica è semplice. Guarda tu stesso: numero 95 9 è divisibile per 7 perché 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 è divisibile per 7 senza resto). Inoltre, se ci sono difficoltà con il numero ottenuto durante le trasformazioni (a causa delle sue dimensioni, è difficile capire se è divisibile per 7 o meno, allora questa procedura può essere continuata tutte le volte che si ritiene opportuno).
Per esempio, 45 5 e 4580 1 hanno segni di divisibilità per 7. Nel primo caso, tutto è abbastanza semplice: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Nel secondo caso, faremo questo: 4580 -2*1=4580-2=4578. È difficile per noi capire se 457 8 per 7, quindi ripetiamo il processo: 457 -2*8=457-16=441. E ancora useremo il segno di divisibilità, poiché abbiamo ancora un numero di tre cifre davanti a noi 44 1. Quindi, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, cioè 42 è divisibile per 7 senza resto, il che significa che anche 45801 è divisibile per 7.
Ed ecco i numeri 11 1 e 34 5 non è divisibile per 7 perché 11 -2*1=11-2=9 (9 non è equamente divisibile per 7) e 34 -2*5=34-10=24 (24 non è equamente divisibile per 7).

Segno di divisibilità per 8

Il segno di divisibilità per 8 suona così: se le ultime 3 cifre formano un numero divisibile per 8, oppure è 000, allora il numero dato è divisibile per 8.
Numeri 1 000 o 1 088 sono divisibili per 8: il primo finisce con 000 , il secondo 88 :8=11 (divisibile per 8 senza resto).
Ed ecco i numeri 1 100 o 4 757 non sono divisibili per 8 perché i numeri 100 e 757 non sono divisibili per 8 senza resto.

Segno di divisibilità per 9

Questo segno di divisibilità è simile al segno di divisibilità per 3: se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, allora anche il numero è divisibile per 9; Se la somma delle cifre di un numero non è divisibile per 9, il numero non è divisibile per 9.
Ad esempio: 3987 e 144 sono divisibili per 9 perché nel primo caso 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - divisibile senza resto per 9), e nella seconda 1+4+4= 9 (9:9=1 - divisibile anche senza resto per 9).
Ma i numeri: 235 e 141 non sono divisibili per 9, perché 2+3+5= 10 e 1+4+1= 6 (e sappiamo che né 10 né 6 possono essere divisi per 9 senza resto).

Segni di divisibilità per 10, 100, 1000 e altre unità di bit

Ho combinato questi criteri di divisibilità perché possono essere descritti allo stesso modo: un numero è divisibile per un'unità di bit se il numero di zeri alla fine del numero è maggiore o uguale al numero di zeri in una data unità di bit.
In altre parole, ad esempio, abbiamo numeri come questo: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . tutti divisibili per 1 0 ; 46400 e 867 000 sono anche divisibili per 1 00 ; e solo uno di loro - 867 000 divisibile per 1 000 .
Tutti i numeri che terminano con zero inferiori a un'unità di bit non sono divisibili per quell'unità di bit, ad esempio 600 30 e 7 93 non condividere 1 00 .

Segno di divisibilità per 11

Per scoprire se un numero è divisibile per 11, devi ottenere la differenza tra la somma delle cifre pari e dispari di questo numero. Se questa differenza è uguale a 0 o divisibile per 11 senza resto, il numero stesso è divisibile per 11 senza resto.
Per chiarire, propongo di prendere in considerazione degli esempi: 2 35 4 è divisibile per 11 perché ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 è anche divisibile per 11 perché ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ed ecco 1 1 1 o 4 35 4 non è divisibile per 11, poiché nel primo caso otteniamo (1 + 1) - 1 =1, e nel secondo ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Segno di divisibilità per 12

Il numero 12 è composto. Il suo segno di divisibilità è la corrispondenza ai segni di divisibilità per 3 e per 4 contemporaneamente.
Ad esempio, 300 e 636 corrispondono sia ai segni di divisibilità per 4 (le ultime 2 cifre sono zeri o divisibili per 4) sia ai segni di divisibilità per 3 (la somma delle cifre e il primo e il secondo numero sono divisibili per 3 ), e quindi sono divisibili per 12 senza resto.
Ma 200 o 630 non sono divisibili per 12, perché nel primo caso il numero corrisponde solo al segno di divisibilità per 4, e nel secondo - solo al segno di divisibilità per 3. Ma non entrambi i segni contemporaneamente.

Segno di divisibilità per 13

Un segno di divisibilità per 13 è che se il numero di decine di un numero, sommato alle unità di questo numero moltiplicato per 4, è un multiplo di 13 o uguale a 0, allora il numero stesso è divisibile per 13.
Prendi per esempio 70 2. Così 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 è equamente divisibile per 13), quindi 70 2 è divisibile per 13 senza resto. Un altro esempio è il numero 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Il numero 130 è divisibile per 13 senza resto, il che significa che il numero dato corrisponde al segno di divisibilità per 13.
Se prendiamo i numeri 12 5 o 21 2, quindi otteniamo 12 +4*5=32 e 21 +4*2=29 rispettivamente, e né 32 né 29 sono divisibili per 13 senza resto, il che significa che i numeri dati non sono divisibili per 13 senza resto.

Divisibilità dei numeri

Come si può vedere da quanto sopra, si può presumere che uno qualsiasi dei numeri naturali possa essere abbinato con il proprio segno di divisibilità individuale o un segno "composito" se il numero è un multiplo di diversi numeri diversi. Ma come mostra la pratica, fondamentalmente più grande è il numero, più complesso è il suo attributo. Forse il tempo dedicato alla verifica del criterio di divisibilità può essere uguale o maggiore della divisione stessa. Ecco perché di solito utilizziamo il più semplice dei criteri di divisibilità.

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